1、1勾股定理与实际问题知识精讲一勾股定理与实际问题利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1认真审题，读懂题目，理解题意；2根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系；3根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；4作答三点剖析一考点：勾股定理与实际问题二重难点：利用勾股定理解决实际问题三易错点：把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系题模精讲题模一：勾股定理与实际问题例 3.1.1 如图，有两棵树，一棵高 12米，另一棵高 6米，两树相距 8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行_米【答案】 10【解析】 如图，设大树高为 AB=12m，小树高为 C
2、D=6m，过 C点作 CEAB 于 E，则四边形EBDC是矩形，连接 AC，EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6（m） ，在 RtAEC 中，AC=10（m） 故小鸟至少飞行 10m故答案为：102682例 3.1.2 如图，点 A处有一所中学，点 A到公路 MN的距离为 80米，假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？MNA【答案】 会受到影响，影响时间为 24s【解析】 会受到影响因为 当拖拉机距离中学 100以外时，
3、不受影响，故 MN801上距离 A点 100m处为受到影响的临界点 B，作 AH MN于 H，有 ，260BAH这样的点有两个，故影响的距离为 120m，影响时间为 12083.64s例 3.1.3 如图，一根长 5米的竹篙 AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端 A距离墙根 4米，点 P为竹篙的中点（1）若竹篙顶端 A下滑 1米，则底端 B向外滑行了多少米？（2）若竹篙 AB沿墙下滑，则在下滑过程中，点 P到墙根端点 C的距离是否发生变化？试说明理由【答案】 （1）竹篙顶端 A下滑 1米，则底端 B向外滑行了 1米；（2）竹篙在下滑过程中，点 P到墙根端点 C的距离保持 2.5m不变【解析】 （1
4、）设竹篙顶端下滑 1米到 点，底端向外滑行到 点1 1B3由题意得 m， m，1A113CA在 Rt 中：B24B在 Rt ACB中： 23m11C即竹篙顶端 A下滑 1米，则底端 B向外滑行了 1米（2）竹篙在下滑过程中，点 P到墙根点 C的距离不变理由：连接 CP，在 ACB中， ， ， m90C12.5A所以竹篙在下滑过程中，点 P到墙根端点 C的距离保持 2.5m不变例 3.1.4 如图，轮船从点 A处出发，先航行至位于点 A的南偏西 15且与点 A相距100km的点 B处，再航行至位于点 B的北偏东 75且与点 B相距 200km的点 C处（1）求点 C与点 A的距离（精确到 1km
5、） ；（2）确定点 C相对于点 A的方向（参考数据： 1.414， 1.732）23【答案】 （1）173km（2）点 C位于点 A的南偏东 75方向【解析】 （1）如右图，过点 A作 ADBC 于点 D，ABE=BAF=15，4由图得，ABC=EBC-ABE=EBC-BAF=75-15=60，在 RtABD 中，ABC=60，AB=100，BD=50，AD=50 ，3CD=BC-BD=200-50=150，在 RtACD 中，由勾股定理得：AC= =100 173（km） 2ADC3答：点 C与点 A的距离约为 173km（2）在ABC 中，AB 2+AC2=1002+（100 ） 2=40
6、000，3BC2=2002=40000，AB 2+AC2=BC2，BAC=90，CAF=BAC-BAF=90-15=75答：点 C位于点 A的南偏东 75方向随堂练习随练 3.1 如图，受台风的影响，一棵树在离地面 6m处折断，树顶落在离树干底部 8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是_m【答案】 16【解析】 由题意得 m， m，8BC6A在直角 ABC中，根据勾股定理得： 米2810所以大树的高度是 米1065随练 3.2 如图，河流两岸 a、b 互相平行，点 A、B 是河岸 a上的两座建筑物，点 C、D 是河岸 b上的两点，A、B 的距离约为 200米某人在河岸 b上的点 P处测得
7、APC=75，BPD=30，则河流的宽度约为_米【答案】 100【解析】 过点 P作 PEAB 于点 E，APC=75，BPD=30，APB=75，BAP=APC=75，APB=BAP，AB=PB=200m，ABP=30，PE= PB=100m12故答案为：100随练 3.3 如图， OA OB与点 O， cm， cm，小猫在点 B处发现有一只老鼠45A15B自点 A出发正沿着 AO方向匀速跑向点 O，小猫立即从 B处出发，并以相同的速度匀速直线前进去拦截老鼠，在点 C处截住小老鼠，求小猫跑过的路程 BC的长度【答案】 小猫跑过的路程 BC的长度为 25cm【解析】 由题意知 ，BCA设 cm
8、，则 cm，OCx45x（ ）又 cm，且 OBC为直角三角形，15 ，22B整理得 ，解得 ，4（ ） 20则 cm， cm06随练 3.4 如图，校园内有两棵树，相距 12米，一棵树 AB高 13米，另一棵树 CD高 8米（1）一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？（2）如果两树之间的地面（线段 BC）上有一些食物，小鸟要从一棵树的顶端飞到地面找食吃，再飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【答案】 （1）小鸟至少要飞 13米；（2）小鸟至少要飞 米365【解析】 （1）如图，作 DE AB于点 E，根据题意得：米， 米，1385AEBACD12DBC故由勾股定理得：
9、 米，2故小鸟至少要飞 13米；（2）延长 DC至 F点，作 FG BC交 AB的延长线于点 G，连接 AF，在 Rt AGF中， 米，221365AG故小鸟至少要飞 米365随练 3.5 超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为 100米的点 P处这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A处行驶到 B处所用的时间为 秒且 ，myx60AO45BPO（1）求 A、 B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时 70千米的限制速度？（参考数据： ， ） 21.3.77OPBA 万【答案】 （1） （2）没有
10、10(3)AB【解析】 该题考察的是解三角形（1）在 Rt BOP中 ， ，9OP， ，45P1 分10OB在 Rt AOP中， ，A，6 tanA2 分103(米)3 分B（2） (米/秒) 4 分031)4v此 车 速 度 =25(31)0.7318.2518.25米/秒 千米/小时65.7，.此车没有超过限制速度5 分随练 3.6 一个长为 10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底 6m（1）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端下滑多少米？（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【答案】 （1）它的顶端下滑动 米；（2）滑动的距离为 2米851
11、【解析】 （1）在 ABC中， ， 米， 米，由勾股定理得90ACB6BC米，8AC 中， ， 米， 米，由勾股定理得 米，1B9011715A 米185（2）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为 x米，8根据题意，得 ，解得221068xx2x随练 3.7 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 A点出发，沿北偏东 60方向走了 km到达 B点，然后再沿北偏西 30方向走了 100km到达目的地 C点，求出103A、 C两点之间的距离【答案】 A、 C两点之间的距离为 200km【解析】 AD BE 60BED ， ，3181806390BAECB在 Rt ABC中， ，3A0 ，22C
