1、- 1 -上海市金山区 2018 届高三数学上学期期末质量监控试题(满分：150 分，完卷时间：120 分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1若全集 U=R，集合 A=x|x0 或 x2，则 UA= 2不等式 01x的解为 3方程组 532y的增广矩阵是 4若复数 z=2i（i 为虚数单位） ，则 z= 5已知 F1、 F2是椭圆 1952yx的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点，则| PF1| PF2|的最大值是_ 6已知 x， y 满足 203，则目
2、标函数 k=2x+y 的最大值为 7从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得为黑桃” ，则概率 P(A B)= （结果用最简分数表示） 8已知点 A(2，3)、点 B(2， 3)，直线 l 过点 P(1，0)，若直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 9. 数列 an的通项公式是 an=2n1(nN *)，数列 bn的通项公式是 bn=3n(nN *)，令集合A=a1， a2， an， B=b1， b2， bn， nN *将集合 A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为 cn则数列 cn的前 2
3、8 项的和 S28= 10向量 i、 j是平面直角坐标系 x 轴、 y 轴的基本单位向量，且| a i|+| 2 j|= 5，则 |2|ia的取值范围为 11某地区原有森林木材存有量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为 10a，设 an为第 n 年末后该地区森林木材存量，则 an= - 2 -12关于函数 ()1xf，给出以下四个命题：(1)当 x0 时， y=f(x)单调递减且没有最值；(2)方程 f(x)=kx+b(k0)一定有实数解；(3)如果方程 f(x)=m(m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f(x)是偶函数且有最小值其中假命题
4、的序号是 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13若非空集合 A、 B、 C 满足 A B=C，且 B 不是 A 的子集，则( )(A) “x C”是“ x A”的充分条件但不是必要条件(B) “x C”是“ x A”的必要条件但不是充分条件 (C) “x C”是“ x A”的充要条件 (D) “x C”既不是“ x A”的充分条件也不是“ x A”的必要条件14将如图所示的一个 Rt ABC（ C=90）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )15二项式( 3
5、ix)10(i 为虚数单位)的展开式中第 8 项是( )(A) 135x7 (B)135x7 (C)360 3i x7 (D)360 3i x7 16给出下列四个命题：(1)函数 y=arccosx (1 x1)的反函数为 y=cosx(xR) ；(2)函数 12mxy(mN) 为奇函数；(3)参数方程 221tyt(tR) 所表示的曲线是圆；(4)函数 f(x)=sin2x )3(x，当 x2017 时， f(x) 恒成立其中真命题的个数为( )(A) 4 个 (B) 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个第 14 题图 (A) (B) (C) (D).CBA- 3 -三、解答题（本大题共有
6、 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， E， F 分别是 BB1、 CD 的中点(1) 求三棱锥 FAA1E 的体积；(2) 求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数 f(x)= 3sin2x+cos2x1 (xR) (1) 写出函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在 ABC 中，角 A，
7、 B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 f(B)=0， 23CA，且a+c=4，求 b 的值19(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)设 P(x, y)为函数 f(x)= a2(x D， D 为定义域)图像上的一个动点， O 为坐标原点，| OP|为点 O 与点 P 两点间的距离(1) 若 a=3， D=3，4，求| OP|的最大值与最小值；(2) 若 D=1，2，是否存在实数 a，使得| OP|的最小值不小于 2？若存在，请求出 a 的- 4 -取值范围；若不存在，则说明理由20(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5
8、分，第 3 小题满分 7 分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线 ： y2=2px (p0)的一条弦， C 是 AB 的中点，过点 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D，若 A、 B 两点纵坐标之差的绝对值|BAy=a (a0)，则 ADB 的面积 S ADB= pa163试运用上述定理求解以下各题：(1) 若 p=2， AB 所在直线的方程为 y=2x4， C 是 AB 的中点，过 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线 的交点为 D，求 S ADB；(2) 已知 AB 是抛物线 ： y2=2px (p0)的一条弦， C 是 AB 的中点，过点 C 且平行于 x轴的直线与抛物线的
9、交点为 D， E、 F 分别为 AD 和 BD 的中点，过 E、 F 且平行于 x 轴的直线与抛物线 ： y2=2px (p0)分别交于点 M、 N，若 A、 B 两点纵坐标之差的绝对值 |BAy=a (a0)，求 S AMD和 S BND； (3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线： y2=2px (p0)与弦 AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积 21(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)若 数 列 an中 存 在 三 项 ， 按 一 定 次 序 排 列 构 成 等 比 数 列 ， 则 称 an为 “等 比 源
10、 数 列 ”(1) 已知数列 an中， a1=2， an+1=2an1求数列 an的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列 an是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3) 已知数列 an为等差数列，且 a10， anZ( nN *)，求证： an为“等比源数列”参考答案- 5 -(满分：150 分，完卷时间：120 分钟) 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1 A=x|00)的一条弦，M 是 AD 的中点，且 A、 D 两点纵坐标之差为定值，| yAyD|= a(a0)，6 分由已知的结论，得 S AMD= pa
11、168)2(33，8 分同理可得 S BND= pa16)(33；9 分(3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于 x轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。操作无限重复下去- 7 -第一次操作，增加的面积为 S AMD和 S BND= pa164)2(33，10 分第二次操作，增加了 4 个三角形，面积共增加了)(233，12 分第三次操作，增加了 8 个三角形，面积共增加了 pa164)8(33，14 分可得到一个公比为 14的无穷等比数列，随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦 AB围成的 “弓形” ，15 分因此“弓
12、形面积” )41(641lim3nnpaS pa2316 分 21解(1) 由 an+1=2an1，得 an+11=2(an1)，且 a11=1，所以数列 an1是首项为1，公比为2的等比数列，2分所以 an1=2n1，所以，数列 an的通项公式为 a n=2n1+14分(2)数列 an不是“等比源数列” ，用反证法证明如下：假设数列 an是“等比源数列” ，则存在三项 am， an， ak (m n k)按一定次序排列构成等比数列，因为 an=2n1+1，所以 am an ak， 7分所以 an2=amak，得 (2 n1+1)2=(2m1+1)(2k1+1)，即2 2nm1+2nm+12k
13、12km=1，又 m n k， m， n， kN* ，所以2 nm11， nm+11， k11， km1，所以2 2nm1+2nm+12k12km为偶数，与2 2nm1+2nm+12k12km=1矛盾，所以，数列 an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列，综上可得，数列 an不是“等比源数列” ； 10分(3)不妨设等差数列 an的公差 d0，当 d=0时，等差数列 an为非零常数数列，数列 an为“等比源数列” ；- 8 -当 d0时，因为 anZ ，则 d1，且 dZ ，所以数列 an中必有一项 am0，12分 为了使得 an为“等比源数列” ，只需要 an中存在第 n项，第 k项( m n k)，使得 an2=amak成立，即 am+(nm)d2=amam+(km)d，即( nm)2 am+(nm)d= am(km)成立，15分当 n=am+m， k=2am+amd+m时，上式成立，所以 an中存在 am， an， ak成等比数列，所以，数列 an为“等比源数列” 18分注意：第(3)题批改时注意答案的验证
