1、重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.221第一讲函数 不等式 数列 极限 数学归纳法（教师版）一 能力培养1,归纳 猜想 证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力二 问题探讨问题 1 数列 满足 , ,( ).na1222naaN(I)求 的通项公式 ; (II)求 的最小值;n 10n(III)设函数 是 与 的最大者,求 的最小值 .()f10na()f问题 2 已知定义在 R 上的函数 和数列 满足下列条件 :()fxna, ( =2,3,4, ), ,1a1)nfa21= ( =2,3,4, ),其中 为常数, 为非零常数.()f 1)nkk(I)令
2、( ),证明数列 是等比数列;1nbNnb(II)求数列 的通项公式; (III)当 时,求 .aklimna问题 3 已知两点 M ,N ,且点 P 使 , , 成公差小(1,0)(MNPMN于零的等差数列.(I)点 P 的轨迹是什么曲线? (II)若点 P 坐标为 ,记 为 与 的夹角,求 .0()xytan问题 4已知函数 ，其中 为常数，且 .21()()tfxtt0t（）求函数 在 上的最大值；t0,（）数列 中， ， ，求 的通项公式；na1311nnaan（）证明：对任意的 ， ， x2()fx2， ，问题 5已知 为 三点所在直线外一点，且 .数列 ，OCBA, OABCna重
3、庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.222满足 ， ，且 （ ）.nb12a1b11nnba2n() 求 ；() 令 ，求数列 的通项公式；ncc(III) 当 时，求数列 的通项公式21n三 习题探讨选择题1 数列 的通项公式 ,若此数列满足 ( ),则 的取值范围是na2nak1naNkA, B, C, D,2k3k32 等差数列 , 的前 项和分别为 , ,若 ,则 =nbnST2nnabA, B, C, D,3213131343 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 ,则 的取值范围是qA, B, C, D,15(0,)25(,25,)25(,)24 在
4、等差数列 中, ,第 10 项开始比 1 大,记 ,则 的取值范围na12lim)nnaSt是A, B, C, D,75t83752t43750t43750t5 设 A ,B ,C 是椭圆 )上三个点,F 为焦点,1(,)xy2(,)3(,)xy21xyab(若 成等差数列,则有,FBCA, B, C, D,213x213y213x213x6 在 中, 是以 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差, 是以 为ABtan4tanB第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对填空7 等差数列 前 ( )项和 ,且前 6 项和
5、为 36,后 6 项和为 180,则 .na6324nSn8 ,则 .2336nnSlimnS重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.2239 在等比数列 中, ,则 的取值范围是 .na12lim()5na1a10 一个数列 ,当 为奇数时, ;当 为偶数时, .则这个数列的前2n项之和 .2m2mS11 等差数列 中, 是它的前 项和且 , ,则此数列的公差 ,nan67S80d , 是各项中最大的一项, 一定是 中的最大项,其中正确的是 .967 n解答题12 已知 ,且 组成等差数列( 为正偶数).231() nfxaxax123,nan又 , ,(I)求数列的
6、通项 ;(II)试比较 与 3 的大小,并说明理由.2nn)f13 已知函数 是偶函数, 是奇函数,正数数列 满足2()31fxb()5gxcna, .1a21)nnnaga(I)若 前 项的和为 ,求 ;Slim(II)若 ,求 中的项的最大值和最小值.12()nnnbfnb14. 已知等比数列 的各项不为 1 的正数,数列 满足 ( 且nxnylog2nxa0),设 , .1a47y(I)求数列 的前多少项和最大,最大值是多少?n(II)设 , ,求 的值.2yb123nSbb25limnS(III)试判断,是否存在自然数 M,使当 时 恒成立,若存在求出相应的 M;若不存M1x在,请说明
7、理由.重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.22415 设函数 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数 , ,都有()fx 1x212()fxf,且存在 ,使得 ,数列 中, , ,1200()fxna10()nnfaN求证:对于任意的自然数 ,有 : (I) ; (II) .n0nx16已知： （ ）是方程 的两根，且 ，12,x12x2650x1nxy. 2(5)nnyN（1）求 的值； （2）设 ，求证： ；123, 1nzy126niz（3）求证：对 有 n2|56n17设 ,函数 .0a21()fxa（）证明:存在唯一实数 ，使 ；0(,)0()fx（）定
8、义数列 : , , .n11nn*N（i）求证:对任意正整数 n 都有 ；202x(ii) 当 时, 若 ，证明:对任意 都有:2a(,34)k *mN134mkkx18已知函数 ，数列 满足： ，167()4xf,nab10,ab1(),naf.1,2nbfNn（1）求 的取值范围，使得对 ,都有 ；aN1n（2）若 ，求证：对 都有 .13,b 108nba重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.225参考答案:问题 1 数列 满足 , ,( ).na1222naaN(I)求 的通项公式 ; (II)求 的最小值;n 10n(III)设函数 是 与 的最大者,求 的
9、最小值 .()f10na()f解:(I) ,212na得 =nSn当 时, = ,有 ,1naS2n21()na221()()nnaa即 .1n于是= .又 ,得3241 123145n naan2()12a= .n()由于 也适合该式,故 = .1ana1()(II) = =0n2924.50.5所以当 或 50 时, 有最小值 .41na24重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.226(III)因 是 与 的最大者,有 ,(fn10na(10)nf na有 = =1.min()ff问题 2 已知定义在 R 上的函数 和数列 满足下列条件 :()fxna, ( =2
10、,3,4, ), ,1a1)nfa21= ( =2,3,4, ),其中 为常数, 为非零常数.()f 1)nkk(I)令 ( ),证明数列 是等比数列;1nbNnb(II)求数列 的通项公式; (III)当 时,求 .aklimna(I)证明:由 ,1210ba得 .23121()()0ffka由数学归纳法可证 ( ).nnN而,当 时,n111()()nnnnbaffakk因此,数列 是一个公比为 的等比数列.(II)解 :由( I)知, 1121()()nnbkanN当 时,1k221nk 当 时, ( )12nbb21()an而,有121321()()()nnnaaa重庆大东方学校高三(
11、寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.227当 时, = ;1k1na21()(2)nka当 时, = .1n21以上两式对 时也成立,于是当 时,1k1121()nnkaa1()nfk当 时,1k121)naa= .()(f(III)解 :当 时,k.1limli()()1nn kafafk问题 3 已知两点 M ,N ,且点 P 使 , , 成公差小(1,0)(MNPMN于零的等差数列.(I)点 P 的轨迹是什么曲线? (II)若点 P 坐标为 ,记 为 与 的夹角,求 .0()xytan解:(I) 设点 P( ),由 M ,N 得,xy(1,), ,(1M (1)Nxy (2,0)
12、MN有 , , .2)PNx2P1Px于是 , , 成公差小于零的等差数列等价于,212()(1)(1)0xyx重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.228即230xy所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 为半径的右半圆 C.3(II)设 P( ),则由点 P 在半圆 C 上知,0xy 201PMNxy又 2200(1)(1)MNyxy= 4x= ,20得 ,201cos4PNMx又 , ,有 ,01xcos1, ,3220sincs4x由此得 .20taxy问题 4: 已知函数 ，其中 为常数，且 .21()()tftxt0t（）求函数 在 上的最大值；t,（）数列
13、中， ， ，求 的通项公式；na12311nnaan（）证明：对任意的 ， ， 0x2()fx2， ，()由 ，得21()()tfxtx则 2 分22431(1)2()()()t txtxfx ，当 时， ；0xt0tfx当 时， ，t()0tf当 时， 取得最大tx值 4 分1()tft重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.229（）由题意知 ,12nna即 6 分1()2nna数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,n12a1 ， 即 81()2nann分（）令 ，则 1010nt2121()()nnfxx分由（）可知， .131122()()12nnnfxf a
14、分对任意的 ，0x不等式 成立.14 分12()2)nafn， ，问题 5 已知 为 三点所在直线外一点，且 .数列 ，OCBA, OABCna满足 ， ，且 （ ）.nb1a1b11nnba2n() 求 ；() 令 ，求数列 的通项公式；ncc(III) 当 时，求数列 的通项公式21n（）解： 三点共线，CBA,设 ，则m， 2 分()OmOB化简得： ，所以(1)1,m所以 。4 分（II ）由题设得重庆大东方学校高三(寒假)理科实验班数学讲座 1 2011.1.2210 6 分)2()(11nbann即 （ ） ，所以 是首项为 ，公差c nc13ab为的等差数列，通项公式为 82分（III）由题设得，10 分)2()(211nbann令 ，则 所以 是首项为 ，公d1()nd nd1ab比为 的等比数列，通项公式为 122 12n分由 12nnab，解得 14 分n习题解答:1 由 , 恒成立,有 ,得 ,选 D.1(2)0naknN30k32 ,选 B.122 211()()21n nnnaSnbb T 3 设三边长分别为 ,且2,aq0,aq当 时,由 ,得 ;1q215当 时,由 ,得 ,于是得 ,02aqq5152q选 D.
