1、- 1 -四川省南充高级中学 2017 届高三数学 4 月检测考试试题 理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】由题意可得： ，则： ， ， .本题选择 B 选项.2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C本题选择 C 选项. 3. 已知公差不为 0 的等差数列 满足 、 、 成等比数列， 为数列 的
2、前 项和，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 2 -【解析】试题分析：设等差数列的公差为 ，首项为 ，所以 ，因为 成等比数列，所以 ，解得： 所以 ，故选 A.考点：等差数列的性质；等比数列的性质.4. 甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则又多少种坐法（ ）A. 10 B. 16 C. 20 D. 24【答案】C考点：排列组合.5. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的为（ ）A. 1.2 B. 1.6 C. 1
3、.8 D. 2.4【答案】B- 3 -【解析】由题意可知，该几何体左侧是一个圆柱体，右侧是一个长方体，这两个几何体组成一个组合体，其体积： ，解得： .本题选择 B 选项.6. 过椭圆 （ ）的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题设 ,则 ,所以由勾股定理可得,故该椭圆的离心率是 ,应选 D考点：椭圆的几何性质与运算.7. 如图是求样本 ， ， 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】D8. 函数 与 的图象关于直线 对称，则 可能是（ ）A. B
4、. C. D. 【答案】A- 5 -【解析】试题分析：结合下图可得当 时，故 A 成立考点：三角函数的图象与性质9. 已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 是奇函数 D. 的单调递增区间是 （ ）【答案】D- 6 -10. 已知实数 ， 满足 若目标函数 的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点 取得最大值，在点 取得最小值.由图可知，当 时， ，当 时， ，故取值范围是 .- 7 -考点：线性规划.11. 过双曲线 的右支上一点 ，分
5、别向圆 ： 和圆 ：作切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A. 10 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B- 8 -考点：双曲线的定义与圆切线的性质. 12. 已知函数 存在单调递减区间，且 的图象在 处的切线 与曲线 相切，符合情况的切线（ ）A. 有 3 条 B. 有 2 条 C. 有 1 条 D. 不存在【答案】D考点：导数与切线.【思路点晴】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考察直线方程的运用和构造函数法，以及函数方程的转化思想的运用.求出 的导数，由题意可知 在 上有解.讨论 可得 成立，求得切线方程，再假设切线与曲线 相切，设出切点 ，利用切线的斜率相等构
6、建方程，利用图象判断出切点不存在. 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的图象关于点 中心对称，那么 的最小值为_【答案】- 9 -【解析】由题意可得：当 时， ，取 可得 的最小值为 .14. ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，且， ，则 _【答案】【解析】椭圆中 a=6，由椭圆的定义可得| AF1|+|AF2|=2a=12，,可得 B 为 AF1的中点，,可得 C 为 AF2的中点，由中位线定理可得| OB|= |AF2|，|OC|= |AF1|，即有 = (|AF1|+|AF2|)=a=6.点睛：一般地，解决与到焦点
7、的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、| PF1| PF2|2a，得到 a， c 的关系15. 过球 表面上一点 引三条长度相等的弦 、 、 ，且两两夹角都为 ，若球半径为 ，则弦 的长度为_【答案】- 10 -点睛：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的16. 已知动点 满足： 则 的最小值为_【答案】- 11 -点
8、睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 （）求 的大小；（）求 的取值范围【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)利用正弦定理将所给的等式化解为三角函数式，求得 ， - 12 -(2)化简三角函数式 ，又 ，（） ，又 ， ， ，即 18. 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布
9、表和频率分布直方图如图：- 13 -（）求频率分布表中 ， 的值，并补全频率分布直方图；（）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人中随机选取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年龄在内的人数 ，求 的分布列及数学期望【答案】（1）见解析（2）（）各层之间的比为 ，且共抽取 20 人，年龄在 内抽取的人数为 7 人- 14 -可取 0，1,2， ， ，故 的分布列为：0 1 2故 点睛：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系这些数据中，比较明显的有组距、 ，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这
10、些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积组距 频率，小长方形面积之和等于 1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 是直角梯形， ， ， 是 的中点（）求证：平面 平面 ；- 15 -（）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角坐标系，则- 16 -20. 已知抛物线 ： （ ），过其焦点作斜率为 1 的直线 交抛物线 于 、两点，且 （）求抛物线 的方程；（）已知动圆 的圆心在抛物线 上，且过定点 ，若动圆 与 轴交于 、 两点，且 ，求 的最小值.
11、【答案】（1） （2）【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点弦公式有 ，再利用直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理得 ，即得 ，（2）先设动圆圆心，则得圆方程，再令 ，得 、 两点横坐标： ， ，代入 得，利用基本不等式求最值，可得 的最小值.- 17 -试题解析：解：（）设抛物线的焦点为 ，则直线 ： ，由 得 ， ， ， ， ，抛物线 的方程为 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.- 18 -21. 设函数
12、（ ，且 ）， （其中 为 的导函数）.（）当 时，求 的极大值点；（）讨论 的零点个数.【答案】（1） 的极大值点为 （2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，由导函数讨论函数的单调性可得 的极大值点为 (2)分类讨论可得：当 或 时， 有一个零点；当 或 时，有 2 个零点；当 或 时， 有 3 个零点试题解析：解：（） ， ，解得 当 时， ；当 时， ，故 的极大值点为 （）（1）先考虑 时， 的零点个数，当 时， 为单调减函数， ，由零点存在性定理知 有一个零点当 时，由 ，得，即 ，即 ，令 ，则 由 ，得 ，当 时， ；当 时， ，故 ， ，且 总成立，故 的图象如图，由
13、数形结合知，- 19 -请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程 （ 为参数）.以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系- 20 -（）求圆 的极坐标方程；（）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点为 、，与直线 的交点为 ，求线段 的长【答案】（1） （2）2考点：考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用. 23. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， ， ，函数 的最大值为 10（）求 的值；（）求 的最小值，并求出此时 ， ， 的值【答案】（1） （2）见解析【解析】试题分析：(1)由不等式的性质可知： 的最大值为 ，结合题意，则 - 21 -(2)利用柯西不等式可得当且仅当 ，即 ， ， 时，的最小值为 .试题解析：解：（） ，当且仅当时等号成立，
