1、1.3 时频分布及其性质1.3.1 单分量信号与多分量信号从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图 1.2.2） ，图中所示的是信号 的时频表示，在每一个时间，山)()(tjeAts峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果 是信号 的解析信号， 是 对应)(tz)(cos)(tta)(fZtz的频谱， 图 1.2.2 单分量信号时频表示及其特征则
2、其瞬时频率定义如下：（1.2.1）)(arg21)(tzdttfi与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下：（1.2.2）)(r)(fZtfg而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。 （如图 1.2.3 所示） 。图 1.2.3 多分量信号时频表示及特征1.3.2 时频分布定义Fourier 变换的另一种形式dtetsfSfj2)()(fftstj2)()(指出，尽管信号 的时频分布有许多形式，但不同的时频分布只是体现Cohen)(tz在积分变换核的函数形式上，而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来
3、表示，通常把它叫做 类时频分布，连续时Cohen间信号 （ 为连续时间信号 的解析信号）的 Cohen 类时频分布定义为)(tz)(ts（1.3.1）duvvuzfP fvtj)(2*),(21, 式中 称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数),(v与时间和频率无关，只是时延 和频偏 的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定v义提供了全面理解任何一种时频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时频表示及其性质同另一种时频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为 dvevAftPftjz )(2),(,),( （1.3.2）式中 是双线性
4、变换（双时间信号） 关于时间 作),vAz )(,*tzttkz t反变换得到的一种二维时频分布函数，称为模糊函数，即 Fouriedtetztvvjz 2*)()2(),(（1.3.3）因为 类时频分布是以核函数加权的模糊函数的二维 变换，所以Cohen Fourie类时频分布又称为广义双线性时频分布。两个连续信号 ， 的互时频分布定义为：)(txy duvevuyftP vftjxy )(2*),(21()(,(devAftvjxy)(,（1.3.4）式中（1.3.5）dueuyxvAvjxy 2*)()2(),(是 和 的互模函数。)(t两个信号之和 的时频分布定义为：)()()(21t
5、zcttz（1.3.6）),(),(,|,|, 12211 *,*22 ftPcftPcffPcft zzz 1.3.3 核函数及其特性在时频分布定义中用核函数来表征信号的时频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时频分布。在（1.3.1）中若取核函数 ，则该定义式就退化为一种重要的时频分布，1),(v即 Wigner-Ville 分布。当核函数 不等于 1 时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对模糊函数 进行滤波。若核函数 是乘积 的函数形式，则称 为),(
6、vAz),(v ),(v乘积核，通常记为 。PR对（1.3.2）作 反变换，可得到由给定时频分布求其核函数的公式：Fourie（1.3.7） duezutfftPvAdtfftv vjftjzftj 2*)()(2 )2(,(),(结合时频分布所希望的数学特性（表 1.3.2） ，可以推导出核函数 必须满足如下特),(性：1、边缘特性：为使信号时频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足时间边缘， （1.3.8）1),0(v频率边缘， t （1.3.9）2、能量归一化：为使时频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足（1.3.10）1)0,(3、实值性：为了使时频分布是实的，
7、核函数必须满足（1.3.11）),(,*vv4、时、频移不变性：为使时频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。5、尺度不变性：为使时频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即 )(,(v（1.3.12）6、有限支撑性：为使时频分布满足有限支撑性，核函数必须满足弱有限支撑：（1.3.13）时， 当 |20),( tdvejt （1.3.14）时， 当 |vj强有限支撑：（1.3.15）时， 当 |20),( tdvejt （1.3.16）时， 当 |vj7、逆变换：如果对所有的 和 值核函数被唯一确定，那么信号能够由时频分布恢复，如果核在某些区域为零，那么不可能唯一地恢复
8、信号。8、低通性：为使多分量信号时频分布的交叉项降低，核函数必须具有很大的峰值，也就是当远离 轴或 轴中的其中某一轴时， 的乘积要尽可能大，即有vv时 （1.3.17）01),(， 当9、投影凸集：假定 和 是满足一个特定约束的核，构造如下新核：),(),(2， （1.3.18）),(1vava1a可以证明，所有的 构成了一个凸集，它可以自动地挑选核函数，如果存在的话，它,将满足所有的约束条件，如果不存在，此方法可以在均方的意义上挑选最好的函数。（表 1.3.2）是作为能量分布的时频表示应满足的基本数学性质，用核函数对模糊函数加权后，时频分布也自然会发生一些变化。因此，如果要求变化了的时频分布
9、仍能满足所提出的某些基本性质的话，核函数就必须受到某些限制， （表 1.3.1）是典型类时频分布的核函数及其要求满足的数学性质，其中 是对应于相关域的Cohen ),(t窗函数，而 则是对应于时频域的核函数，它们间的关系见式（1.3.28） 。),(v表 1.3.1 Cohen 类分布的核函数要求及其应满足的数学性质时频分布 ),(t ),(v满足的数学性质（表 1.3.2）Born-Jordan分布（BJD） ,0|1sin112、16Butterworth分布(BUD),(1vFtv NMv2020)(117、8 、)(9 、210 、16Levin 分布(LD) )2|(t )|exp(
10、j17、11、13、15Page 分布(PD) |v17、11、13、152/t谱图(SPEC) )2()(*tt ),(vA 13分VileWignr布(WVD)1118广义 Wigner分布(GWD)(t )2exp(vj28、1315、1112 )|(伪 Wigner 分布(PWD)2()(*t )(*13、4 、6|0|、9 、11)|(|实广义 Wigner分布(RGWD)()(21tt )2cos(v110、16、1112 )2|(减小交叉项分布(RID) |sS112、15（若为偶函数）SRihaczek 分布(RD)2(t )exp(vj28、1115平滑伪 Wigner分布(
11、SPWD)*tg2)*G1 、23)(RtgChoi-Williams分布(CWD)(4exp|1t (expv110、16Cone 核分布(CKD) ,0)(2/tg)sin|)(1（若 为偶)(g函数） 、2、3、11广义指数分布(GED),(1vFtv )(exp20NMv17、8 、)(910、 、1415（ ） 、2116 )(1.3.4 时频分布的基本性质要求对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性。因此希望时频分布能够满足下面的性质：1、 时频分布必须是实的（且希望是非负的） 。2、 时频分布关于时间 和频率 的积分应给出信号的总能量 ，
12、即tf E总能量 （1.3.19）dtfPE),(3、满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时功率；如果把某一特定频率的能量分布在全部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因此，在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足：（1.3.20）2|)(|),(fZdtfP（1.3.21）2|)(),(tzdftP时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率 和群延迟 ，即)(tfi )(fg（ 1.3.22）dftPftfi ),()(（1.3.23）tftfg),()(5、有限支撑特性。这是从能量角度对时频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，往往要求信号具有有限的时宽和有限
13、的带宽。如果信号 只在某个时间区间取非零值，)(tz并且信号的频谱 也只在某个频率区间取非零值，则称信号 及其频谱 是有)(fZ t)(fZ限支撑的，同样，如果在 和 的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，就称tz)(fZ时频分布是有限支撑的，通常把这种支撑称为弱有限支撑（如图 1.3.1） ，即当 时，若 ，则有 ；),(21t0)ts0),tP当 时，若 ，则有 。(S(而若只要在信号 和它的频谱 等于零的各区域，时频分布也都等于零，则称这tz)fZ种支撑为强有限支撑，即若 ，则有 ；0)(ts0,(tP若 ，则有 。S)在上面的特性中，边缘特性和非负特性保证了时频分布准确反映信号的谱能量
14、、瞬时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽等）正确给定。非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理解释。非负性和边缘特性一起可以保证时频分布的强有限支撑。为了讨论的方便，表 1.3.2 给出了时频分布所希望的数学性质。但应当指出，并不是所有的时频分布都满足表中的所有性质，实际中适用的时频分布并非一定要满足所有的性质，应该根据具体情况进行合理取舍。另外，作为能量密度的表示，时频分布不仅应该是实的，而且还是非负的，但是，实际的时频分布却难以保证取正值。这样一种非负性的缺乏使得不能把时频分布解释为信号在时间 和频率 处的瞬时能量谱密度。为tf了给负值
15、的时频分布 赋以物理解释，可以认为 是信号在时间间隔),(ftP),(P流过谱窗口 的能量的测度。)2/,/(tt 2/,/ff表 1.3.2 时频分布所希望的数学性质性质 1 实值性 ),(),(*ftft性质 2 时移不变性 ),(),)()00ftPfttztz性质 3 频移不变性 ,2eztfj性质 4 时间边缘特性 2|)(),(tdftP性质 5 频率边缘特性 |Z性质 6 时间矩 dtzttftnn2|)(),(性质 7 频率矩 ffdPf |性质 8 时频伸缩性 0),(),()(|)(ctPtctztzzz性质 9 瞬时频率 (arg21, tdffffi 性质 10 群延迟
16、 ),(),()( fZftdttPg性质 11 有限时间支撑 |0,|0tftttz 性质 12 有限频率支撑 )|()()|() 00fffZ性质 13 酉性（Moyal 公式） *2121,21 yxPyx性质 14 乘积性 ),(),),()( dftPftftthzt hzz性质 15 卷积性* d ),(),),( tftftPfthzz性质 16 变换Fourie 0),(|ctPczz性质 17 调制卷积性质 18 调制乘积 ),(),()(2 tfftetzzztcj1.3.5 局部相关函数与特征函数信号 的瞬时功率实质是一种二次型（双线性）变换 。在平稳信号中就用)(tz
17、)(*tz二次型来定义相关函数 和功率谱 的，即)(R)(fS（1.3.24）dtzt*（1.3.25）efSfj2)()(考虑到非平稳信号与平稳信号具有不同的特性，把上面的自相关函数 定义成如下对称)(R形式dtztR)2()()(*（1.3.26）因为只有这样对称的双线性变换 才更能表现出非平稳信号的某些重要特*tt性。于是类似于（1.3.26） ，可把非平稳信号的相关函数定义如下：（1.3.27）duzuttR)2()(,(),( *式中 是起平滑作用的窗函数，它和（1.3.7）式中 存在如下关系：,t ,v（1.3.28）tetvvj2),(),(（1.3.29）dttj通常又把（1.
18、3.27）定义的 称为局部相关函数。对局部相关函数作 变换，),(tRFourie可以得到时变功率谱，也就是信号能量的时频分布，即（1.3.30）detftPfj2,这表明，时频分布 可以用局部相关函数 来定义，因此只要取不同的局部)( ),(tR相关函数形式，就能得到不同的时频分布。若取窗函数 ，则得到瞬时相关函数，记为),tut)2()()2()(),( * tztduzktRz（1.3.31）它的 变换就是著名的 分布，即FourieVileWignr（1.3.32）dtztft fjz 2*)()2(),( 若随机信号 的时频分布为 ，随机信号 的特征函数定义为 的)(t),(ftP)
19、(tz),(ftPFourier 逆变换（1.3.33）dtfeftvMftvj)(2, 由（1.3.33）知，时频分布可以通过特征函数的二维 变换得到，即Fourie（1.3.34）ftPftvj),(),( (2 这表明，选择不同的特征函数也将得到不同的时频分布。1.3.6 Cohen 类的四种分布及其相互关系分布（1.3.32）是以时间 和频率 为变量在能量域平面的时频表示；VileWignrtf而模糊函数（1.3.3）为相关域平面的时频表示，以时延 和频偏 为变量；瞬时相关函v数（1.3.27）是以时间 和时延 为变量的分布；以频率 和频偏 为变量的分布称为点谱tf相关函数，定义为：（1.3.35）)2()(),(*vfZfvfKz 分布、模糊函数、瞬时相关函数和点谱函数是 Cohen 类的四种分布。为讨Vileignr论方便把另外三种分布重新记为：分布：ilWi（1.3.36）detztft fjz 2*)()2),( 模糊函数：（1.3.37）tttvAvjz 2*)(),(瞬时相关函数：（1.3.38）)2()()()(),( * tztduzuttkz各式之间也存在着密切的 Fourier 变换关系。 tfv),(WzKkA
