1、1第六章 参数估计一 填空题1. 设总体 XN(, 2), 若 2 已知, 总体均值 的置信度为 1的置信区间为: , 则 = _.)(n解. XN( , 2), 则 )1,0(N由 得置信区间|/|nP ),(nX所以 .21u2. 设由来自正态总体 N(, 0.92)容量为 9 的简单随机样本, 得样本均值 = 5, 则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间_.解. 由第一题及查表知 . 的置信区间为61975.0u)58.,42.().,.96.15(3. 设 X1, X2 为来自正态总体 N(, 2)的样本, 若 为 的一个无偏估计, 则219XCC=_.解. , 所以 19921C
2、CE 84. 设(X 1, X2, ,Xn)为来自正态总体 XU( , + 1) ( 0)的样本, 则的矩估计量为_; 极大似然估计量为_.解. 总体 X 的密度为 其 它0)(xxi. 矩估计量)12()(1dE用 来估计 E(X): , XX21ii. 最大似然估计Xi (i = 1, 2, , n)其 它01)(iixx2所以(X 1, X2, ,Xn)的联合密度为 其 它01,1),(11 nnxx在 范围中为常数. min x 1, xn. 所以,(1nx,1nx= min x1, xn.5. 设(X 1, X2, ,Xn)为来自正态总体 N(, 2)的样本, a, b 为常数, 且
3、 0 0 为未知参数, 试求, 2 的极大似然估计 .解. 最大似然函数为2)(ln1121),( ixinin exfniini xxf 122122 )(ll)l( 0)(l1ln2niif)(ln)(l 21222 iixf所以 , niiX1l212)(liiX3. 设总体 X 服从(0, ) 上的均匀分布, X 1, X2, ,Xn 为取自 X 的样本.i. 求的矩估计 , 并讨论其无偏性和一致性.1ii. 求 的极大似然估计 , 并讨论其无偏性和一致性.2解. 总体 X 其 它0/)(xxi. 矩估计, 所以 , 2)(E1X21, 所以 是的无偏估计;)(1X因为 )(03124
4、)(4121 nnDnDi 5所以 是 的一致估计.1ii. 最大似然估计所以(X 1, X2, ,Xn)的联合密度为 其 它0,1),(11 nnxx越小, 就越大. 但的值不能小于 .),(1nxni1ma所以 .ni12ma假设 Z = . 又设 FX(x)是总体 X 的分布函数. 所以 Z 的密度函数为nix12FX(z) = FX(x)nZ 的密度函数为其 它01)()()(1 zznxzxnXZ所以 1)()()(01 ndzdEnZ所以 不是的无偏估计;nix12ma20122)()()( ndznzdzZZ0)1() 22222 nED由于 ,1)(nZE 0)1()(2nZD
5、所以 是的一致估计.nix12ma4. 设总体 X 的密度函数为( 0, a 0)00)(1xexfa根据取自总体 X 的样本(X 1, X2, ,Xn), 求未知参数的极大似然估计量.解. 最大似然函数为6111),( ainixnneaxf iaiaiaf 11lll0ln1niaxf所以 .niaiX15. 设(X 1, X2, ,Xn)为取自总体 X 的样本, , 证明1,0niii. 为 E(X)的无偏估计 .ini1ii. 在上述所有无偏估计中, 以 最有效.niiX1解. i. = niiniiEXE11)()()(1Eni所以 为 E(X)的无偏估计 ;ini1ii. = ni
6、iniiXEE121)()(niD12(所以该问题转化为: 在条件 下, i 取何值时, 最小.,01nii ni12条件极值: 最 小目 标 函 数条 件 ninif121),(令 ),(1nF nini112)(, (i = 1, 2, , n). 解得 02ii n117即 作为 E(X)的无偏估计中, 以 最有效 .iniX1niiX16. 设某产品的性能指标 X N(, 2), 现随机抽取 20 个产品进行检测 , 检测后经计算得这些产品的性能指标均值 =5.21, S2 = 0.049, 试求 X 的标准差 的置信度为 0.95 的置信区间.解. 1 = 0.95, /2 = 0.025, n = 20, s2 = 0.049.XN(, 2), )19()1(222 由 查 2 表, 查得5.09)9212 P= , =1(.8)(05. )19(2 9.3)(7.2 的 95置信区间为10.,91.804,.32019)(,)19(205.275.0 sns所以, 的 95置信区间为: 0.17, 0.32.