1、2015-2016学年安徽省阜阳市太和八中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共10题,每道题5分,10*5=50)1不等式x2+3x+40的解集为( )Ax|1x4Bx|x4或x1Cx|x1或x4Dx|4x12数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是( )Aan=2n1Ban=2n1Can=2nDan=2n+13在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于( )A4BC4D4已知ab0,则下列不等式一定成立的是( )Aa2abB|a|b|CD5已知ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则sinB=( )ABCD6在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则
2、这3个数的积为( )A8B8C16D167若等比数列的前n项和为Sn=2n+a,则a的值为( )A1B1C1D28已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若cosB=,b=2,sinC=2sinA,则ABC的面积为( )ABCD9等差数列an的前n项和Sn(n=1,2,3)当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )AS17BS18CS15DS1610某人要制作一个三角形,要求它的三边的长度分别为3,4,6,则此人( )A不能作出这样的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形二、填空题(共5题,每道题5分,5*5
3、=25)11若ab0,则比较,的大小是_12在ABC中,已知acosA=bcosB,则ABC的形状是_13已知数列an中,a1=2,an+1=an+2n1,(nN+)则该数列的通项公式an=_14已知关于x的不等式(a24)x2+(a+2)x10的解集是空集,求实数a的取值范围_15某人玩投石子游戏,第一次走1米放2颗石子,第二次走2米放4颗石子,第n次走n米放2n颗石子,当此人一共走了36米时,他投放石子的总数是_三、解答题(共6题,共75分)16(1)Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,求a5(2)在等比数列an中,若a4a2=24,a2+a3=6,求首项a1和公比q17在
4、ABC中,a=3,b=2,B=2A()求cosA的值;()求c的值18已知数列an的前n项和Sn=n248n,(1)求数列的通项公式; (2)求Sn的最大或最小值19(13分)数列an满足a1=1,=+1,nN*(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn20(13分)若0a1,解关于x的不等式(xa)(x+a1)021(13分)某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,依等差数列逐年递增()设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表
5、达式;()求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)2015-2016学年安徽省阜阳市太和八中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(共10题,每道题5分,10*5=50)1不等式x2+3x+40的解集为( )Ax|1x4Bx|x4或x1Cx|x1或x4Dx|4x1【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负,转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集【解答】解:不等式x2+3x+40,因式分解得:(x4)(x+1)0,可化为:或,解得:x4或x1,则原不等式
6、的解集为x|x4或x1故选B【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,是一道基础题2数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式是( )Aan=2n1Ban=2n1Can=2nDan=2n+1【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】观察此数列是首项是1,且是公比为2的等比数列,根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式【解答】解:由于数列1,2,4,8,16,32,的第一项是1,且是公比为2的等比数列,故通项公式是 an=1qn1=2n1,故此数列的一个通项公式an=2n1,故选B【点评】本题主要考查求等比数列的通项公式,求出公比q=2是解题的关键,属于
7、基础题3在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于( )A4BC4D【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】先求得A,进而利用正弦定理求得b的值【解答】解:A=180BC=45,由正弦定理知=,b=4,故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的运用考查了学生对基础公式的熟练应用4已知ab0,则下列不等式一定成立的是( )Aa2abB|a|b|CD【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】令a=2,b=1,可得A、B、D都不正确,只有C正确,从而得出结论【解答】解:令a=2,b=1,可得A、B、D都不正确,只有C正确,故选:C【点评】本题主要考查不等式的基本性质,利用特殊值
8、代入法,排除不符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题5已知ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则sinB=( )ABCD【考点】等差数列的通项公式;正弦定理【专题】计算题;解三角形【分析】由题意可得A+C=2B,结合三角形的内角和可求B,进而可求sinB【解答】解:由题意可得,A+C=2BA+B+C=180B=60,sinB=故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题6在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为( )A8B8C16D16【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】设这个等比数列为an,根据等比中项的性质可知a
9、2a4=a1a5=a23进而求得a3,进而根据a2a3a4=a33,得到答案【解答】解:设这个等比数列为an,依题意可知a1=,a5=8,则插入的3个数依次为a2,a3,a4,a2a4=a1a5=a23=4a3=2a2a3a4=a33=8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质主要是利用等比中项的性质来解决7若等比数列的前n项和为Sn=2n+a,则a的值为( )A1B1C1D2【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】利用递推关系及其等比数列的通项公式即可得出【解答】解:当n=1时,a1=S1=2+a;当n2时,an=SnSn1=2n+a(2n1+a)=2n1,数列an为等
10、比数列,a1=2+a=1,解得a=1此时an=2n1,a1=1,q=2故选:A【点评】本题考查了递推关系及其等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8已知ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若cosB=,b=2,sinC=2sinA,则ABC的面积为( )ABCD【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由题意和正余弦定理可得a,c的值,由同角三角函数的基本关系可得sinB,代入三角形的面积公式计算可得【解答】解:sinC=2sinA,由正弦定理可得c=2a,又cosB=,b=2,由余弦定理可得22=a2+(2a)22a2a,解得a=1,c=2,又cosB=,sinB=,
11、ABC的面积S=acsinB=故选:B【点评】本题考查三角形的面积,涉及正余弦定理的应用,属基础题9等差数列an的前n项和Sn(n=1,2,3)当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是( )AS17BS18CS15DS16【考点】等差数列的前n项和【分析】根据选择项知,要将项的问题转化为前n项和的问题,结合前n项和公式,利用等差数列的性质求得【解答】解:由等差数列的性质得:a5+a11=2a8a5+a8+a11为定值,即a8为定值又s15为定值故选C【点评】注意本题中的选择项也是解题信息10某人要制作一个三角形,要求它的三边的长度分别为3,4,6,则此人
12、( )A不能作出这样的三角形B能作出一个锐角三角形C能作出一个直角三角形D能作出一个钝角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】解三角形【分析】若三角形两边分别为3,4,设第三边为x,则根据三角形三边故选可得:1x7,由余弦定理可得0,即开判定此三角形为钝角三角形【解答】解:若三角形两边分别为3,4,设第三边为x,则根据三角形三边故选可得:1x7,故可做出这样的三角形由余弦定理可得最大边所对的角的余弦值为:0,此三角形为钝角三角形故选:D【点评】本题主要考查了三角形三边关系余弦定理的应用,属于基础题二、填空题(共5题,每道题5分,5*5=25)11若ab0,则比较,的大小是【考点】不等式比较大小
13、【专题】不等式的解法及应用【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解:ab0,1,故答案为:【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题12在ABC中,已知acosA=bcosB,则ABC的形状是ABC为等腰或直角三角形【考点】正弦定理的应用;两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦,再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B,进而推断A=B,或A+B=90答案可得【解答】解:根据正弦定理可知acosA=bcosB,sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2BA=B,或2A+2B=180即
14、A+B=90,所以ABC为等腰或直角三角形故答案为ABC为等腰或直角三角形【点评】本题主要考查了正弦定理的应用,属基础题13已知数列an中,a1=2,an+1=an+2n1,(nN+)则该数列的通项公式an=n22n+3【考点】数列递推式【专题】计算题;对应思想;数学模型法;等差数列与等比数列【分析】由已知数列递推式,利用累加法求得数列通项公式【解答】解:由a1=2,an+1=an+2n1,得a2a1=211,a3a2=221,a4a3=231,anan1=2(n1)1,(n2)累加得:ana1=2(n1),=n22n+3(n2)验证n=1上式成立,an=n22n+3故答案为:n22n+3【点
15、评】本题考查数列递推式,考查了累加法求数列的通项公式,是基础题14已知关于x的不等式(a24)x2+(a+2)x10的解集是空集,求实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】设f(x)=(a24)x2+(a+2)x1,利用二次函数的性质得到二次项系数大于0,根的判别式小于等于0列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可确定出a的范围【解答】解:设f(x)=(a24)x2+(a+2)x1,当a24=0,即a=2(a=2不是空集)时,不等式解集为空集;当a240时,根据题意得:a240,0,(a+2)2+4(a24)0,即(a+2)(5a6)0,解得:2x,综上a
16、的范围为故答案为:【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,以及二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键15某人玩投石子游戏,第一次走1米放2颗石子,第二次走2米放4颗石子,第n次走n米放2n颗石子,当此人一共走了36米时,他投放石子的总数是510【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】易得此人一共走了8次,由等比数列的前n项和公式可得【解答】解:1+2+3+4+5+6+7+8=36,此人一共走了8次第n次走n米放2n颗石子他投放石子的总数是2+22+23+28=2255=510故答案为:510【点评】本题考查等比数列的求和公式,得出数列的首项和公比是解决问题的关
17、键,属基础题三、解答题(共6题,共75分)16(1)Sn为等差数列an的前n项和,S2=S6,a4=1,求a5(2)在等比数列an中,若a4a2=24,a2+a3=6,求首项a1和公比q【考点】等比数列的通项公式;等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知可得,解之即可;(2)由已知可得,解之可得【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,由已知可得,解之可得,故a5=1+(2)=1;(2)由已知可得,解之可得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题17在ABC中,a=3,b=2,B=2A()求cosA的值;()求c的值【考点】正弦定理;余弦定
18、理【专题】解三角形【分析】( I)由正弦定理得,结合二倍角公式及sinA0即可得解( II)由( I)可求sinA,又根据B=2A,可求cosB,可求sinB,利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC,利用正弦定理即可得解【解答】解:( I)因为a=3,b=2,B=2A所以在ABC中,由正弦定理得所以故( II)由( I)知,所以又因为B=2A,所以所以在ABC中,所以【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数关系式,两角和的正弦函数公式的应用,属于基本知识的考查18已知数列an的前n项和Sn=n248n,(1)求数列的通项公式; (2)求Sn的最大或最小值【考点】等差数列的
19、通项公式;数列的函数特性;等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】(1)利用递推公式an=SnSn1可求(2)若使Sn最小,则有an0,an+10,求出n的值,代入可求【解答】解(1)a1=S1=12481=47当n2时 an=SnSn1=n248n=2n49a1也适合上式an=2n49(nN+)(2)a1=47,d=2,所以Sn有最小值由得又nN+n=24即Sn最小或:由Sn=n248n=(n24)2576当n=24时,Sn取得最小值576【点评】本题(1)主要考查了利用数列的递推公式an=SnSn1求解数列的通项公式,(2)主要考查了求解数列和的最小值问题,主要利用数列的单调性,则满足an
20、0,an+1019(13分)数列an满足a1=1,=+1,nN*(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和Sn【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】等差数列与等比数列【分析】(1)判断数列是等差数列,然后求解通项公式(2)利用错位相减法求解数列的和即可【解答】(本小题12分)(1)解:由已知可得=1,所以是以=1为首项,1为公差的等差数列得=1+(n1)1=n,所以an=n2,(2)由(1)得an=n2,从而bn=n3nSn=131+232+333+n3n3Sn=132+233+334+(n1)3n+n3n+1得:2Sn=31+32+33+3nn3n+1=n3n+
21、1=所以Sn=【点评】本题考查数列的通项公式的应用,数列求和的方法,考查计算能力20(13分)若0a1,解关于x的不等式(xa)(x+a1)0【考点】一元二次不等式的应用;一元二次不等式的解法【专题】计算题;分类讨论;函数思想;转化思想;不等式的解法及应用【分析】解(xa)(x+a1)=0得:x=a,或x=1a,讨论两个根的大小,结合“小于看中间”可得不等式的解集【解答】解:由(xa)(x+a1)=0得:x=a,或x=1a,当0a时,1a1,解不等式(xa)(x+a1)0得:x(a,1a),当a=时,1a=,不等式(xa)(x+a1)0解集为,当a1,时,01a解不等式(xa)(x+a1)0得
22、:x(1a,a)综上:当0a时,不等式的解集:x(a,1a),当a=时,不等式解集为,当a1时,不等式的解集:x(1a,a)【点评】本题考查的知识点是二次不等式的解法,分类讨论思想,难度中档21(13分)某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,依等差数列逐年递增()设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;()求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)【考点】根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用;数列的应用【专题】计
23、算题;应用题【分析】(I)由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,依等差数列逐年递增,根据等差数列前n项和公式,即可得到f(n)的表达式;(II)由(I)中使用n年该车的总费用,我们可以得到n年平均费用表达式,根据基本不等式,我们易计算出平均费用最小时的n值,进而得到结论【解答】解:()依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+0.2n)+0.9n =0.1n2+n+14.4()设该车的年平均费用为S万元,则有=+12+1=21.2+1=3.4仅当,即n=12时,等号成立(13分)故:汽车使用12年报废为宜(14分)【点评】本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型,基本不等式在最值问题中的应用,数列的应用,其中(I)的关键是由等差数列前n项和公式,得到f(n)的表达式,(II)的关键是根据基本不等式,得到函数的最小值点- 16 -