1、习题 1.24. 给定一阶微分方程 ，(1). 求出它的通解；(2). 求通过点 的特解；2dyx 1,4(3). 求出与直线 相切的解；(4). 求出满足条件 的解；3102ydx(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1). 通解显然为 ；,c(2). 把 代入 得 ，故通过点 的特解为 ；1,4xy2xc31,423yx(3). 因为所求直线与直线 相切，所以 只有唯一解，即y2c只有唯一实根，从而 ，故与直线 相切的解是23xc4c3yx；(4). 把 代入 即得 ，故满足条件4y 2yx102d5c的解是 ；102dx253yx(5). 图形如下：-1.5 -1 -0
2、.5 0 0.5 1 1.51234567y=x2+4y=x2+3y=x2+5/35. 求下列两个微分方程的公共解： 24242,yxyxy解：由 可得242yx10yxy所以 或 ， 代入原微分方程满足，而 代入原2yx21221yx微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6. 求微分方程 的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是20yx，则将其代入原微分方程可得ykxb22001kbxkkbk或所以所求直线积分曲线是 或 。y1x8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： (2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长 ；l(5). 曲线上任一点的切线的纵
3、截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点 的切线的横截距和纵截距分别为 和 ，故,xy yxx(2). ；22ly(5). 。2x习题 2.11. 求下列方程的解：(2). ，并求满足初值条件 的特解；210ydxy0,1xy解：当 ，分离变量，得21dyx两边同时积分，得 1ln1lnxcyyxc又 也是原方程的解，故 的通解是0y20d1,ln0cxy由初值条件 可得 ，故所求特解是 。0,1xyc1lnyx(4). (1)()0xydxy解：当 ，分离变量，得01yxd两边同时积分，得 lnllnxycxyc又 也是原方程的解，故所求通解是0y和 0yl,xyc(5). ()()yxdx解
4、：原方程可化为 1ydyx令 ，则yux211duuxdx两边同时积分，得 2arctnl()lnc将 代入，得所求通解是yux21arctl(),yxyc(6). 20dyxxy解：原方程可化为 221xydyx令 ，则yux* MERGEFORMAT (1)2211duduxx当 ，分离变量，得21021dux两边同时积分，得 arctnlxc又 ，即 也是* MERGEFORMAT (1)的解，故* 210u21MERGEFORMAT (1)的通解是 和 。21uarctlnuxc将 代入，得原方程的通解是yx和 2yxarctl,yxc(7). tancot0ydx解：当 ，分离变量，
5、得cottanydx两边同时积分，得 11lnsilssico,0cyxe又 ，即 也是原方程的解，而该解可在 中令 得ta0y0sinoyxc到，故所求通解是 sinco,yx(8). 230yxde解：分离变量，得 23xyed两边同时积分，得所求通解是即 2311xyec231,6xyec(9). (ln)0xydx解：原方程可化为 1ln(ln)yyxx令 ，则 * yuxllududMERGEFORMAT (2)当 ，分离变量，得ln10ulnln11ududxx两边同时积分，得 * 11llln,0n ccuxeuMERGEFORMAT (3)由原方程可得 ，从而 。又 ，即 也是
6、* 0y0l0lnuMERGEFORMAT (2)的解，而该解可在* MERGEFORMAT (3)中令 得到，0c故* MERGEFORMAT (2)的通解是 。将 代入，得原方程ln1,ucxyx的通解是 ln1,ycx(10). yde解：分离变量，得 yxde两边同时积分，得所求通解是 ,yxc2. 作适当的变量变换求解下列方程：(1). 2dyx解：令 ，则原方程化为u2211duyduxx两边同时积分，得 arctn,xc将 代入，得原方程的通解是uxy即 arctn,xyctan,yxc(3). 21dyx解：因为 2101,3xyxy令 ，则原方程化为1,3XxYy2dYX再令
7、 ，得u212udduXX两边同时积分，得 12 212ln1ln1,0cucue将 代入，得原方程的通解是,3YXxy2 2,3xyc(7). yxdy32解：原方程可化为 2231dxy令 ，则原方程化为221,XxYy32dYX再令 ，得u 21323ududXX用分离变量法求解，得 541cuXu将 代入，得原方程的通解是22,1,YuXxy522,cxyc习题 2.21. 求下列方程的解：(5). ；210dyx解：原方程可化为：* MERGEFORMAT (4)21yx对应的齐次方程为 ，用变量分离法求得其解为 。令* dx 21xyceMERGEFORMAT (4)的解为 ，则将
8、其代入* MERGEFORMAT (4)21xyce可得 211xxdc所以原方程的通解为 12121,xxxyece(8). ；3dyx=解：当 时，原方程可化为：0* MERGEFORMAT (5)32dxyx=这是未知函数为 的非齐次线性方程，对应的齐次方程为 ，用变量分离dxy=法求得其解为 。令* MERGEFORMAT (5)的解为 ，则将其代入xcy c* MERGEFORMAT (5)可得221dcycyc所以* MERGEFORMAT (5)的通解为 2,x又 也是原方程的解，故原方程的通解为 和 0y 0y21,xyc(12). ；解：原方程可化为： (ln2)yxdx 2
9、lndxy=* MERGEFORMAT (6)这是 的 Bernoulli 方程。当 时，* MERGEFORMAT (6)两边同时除以2n0，得y21lndyxx=令 ，则1zy* MERGEFORMAT (7)2lndyzxx=-其对应的齐次方程 的解为 ，令* MERGEFORMAT (7)的解为2cx，则将其代入* MERGEFORMAT (7)可得2zc2 22lnln4dcxxcx所以* MERGEFORMAT (7)的通解为 2l14,zxc将 代入，得 。又 也是原方程的解，故原方程的1zy2lnyc0y通解为和 02ln14,ycxc(13). ；2()xydxd解：原方程可
10、化为：* MERGEFORMAT (8)21yxx这是 的 Bernoulli 方程，* MERGEFORMAT (8)两边同时乘以 ，得1n y21dyx令 ，则 * MERGEFORMAT (9)2zy21dzyzx=其对应的齐次方程 的解为 ，令* MERGEFORMAT (9)的解为2cx，则将其代入* MERGEFORMAT (9)可得2zc211dxcx所以* MERGEFORMAT (9)的通解为 21,zcxc将 代入，得原方程的通解为2zy2,y(16). ； 0()xetd解：原方程两边同时对 求导可得 xdye在原方程中，当 时， 。故原方程等价于 Cauchy 问题 0
11、x101xdye* MERGEFORMAT (10)由常数变易法易得 的通解为xyed，再由 可得 ，故 Cauchy 问题* ,xyec01ycMERGEFORMAT (10)的解为 ，这也是原方程的解。xe习题 2.31. 验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：(2). ；解：因为 ，所以0)4()3(2dyxxy 23,(4)MyxNyx1,MN故原方程是恰当方程。令函数 满足 ，则由 可得u,uxyux233uyxdyxy再由 可得N2(4)y所以 ，故原方程的通解是32uxy32,xc(2). ；0)()(22dyxd解：因为 ，所以232,()MyN12,MNxy故原方程是恰当方
12、程。令函数 满足 ，则由 可得u,uxyu23243uxydy再由 可得N2236xyy所以 ，故原方程的通解是2433uxy2433,xc2. 求下列方程的解：(4). ；2ydxydx解：原方程两边同时除以 ，得22arctnyxxddy所以原方程的通解是 arctn,xcy(6). ；01xdyy解：因为 ，所以原方程不是恰当的。由,1,MNMNxyx1dxe可得积分因子 ，原方程两边同时乘以 ，得xe0xxxydeydey即 xx所以 xyec故原方程的通解是 ,xyec(8). ；02dx解：因为 ，所以原方程不是恰当的。由,2,1MNyxx1dxe可得积分因子 ，原方程两边同时乘以
13、 ，得x220xdyxd即 321所以 32,xyc此即为原方程的通解。5. 试证齐次微分方程 当 时有积分因子0,dyxNyxM0xMyN。1xMyN证明：齐次微分方程 两边同时乘以 得0,dyxyx ,MN所以22MMNxyNxyMyxyNy22 MNxMNxyNxyyxx 原方程可化为 。因为原方程是齐次方程，故可设,ydyxN,Mxyg令 ，则yux21,gduygdugxxyx又因为 2,1MyMNxNxx2,gyyy所以 2221dMNNydgMxuNxxxu22 1gyy从而2 222210MNMyNyxxNyxxyyxxyNdgdgNuuM故 是齐次微分方程 当 时的积1xMy
14、N0,dyxyx 0xMyN分因子。习题 2.41. 求解下列方程：(1). ；yx13解：当 时，原方程可化为0321xy令 ，则 ，两边对 求导，得py321xp432dppy即 322ddycp又 时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是0y321,xppcyc为 参 数 ,(3). ；ye2解：令 ，则 ，两边对 求导，得p2pex2pdex所以 00pyy 代 入 原 方 程或 121ppdexec所以原方程的通解是 和 0y2,pxeccy为 参 数 ,习题 2.51. 求解下列方程：(3). ；4sin1ydexx解：原方程两边同时乘以 ，得ye4sin4sinyyyyd
15、dexxe令 ，则yue4sindxu用常数变易法易得其解为 ，故原方程的通解为2sicoxe2sinco,yxee(11). ；213dyx解：原方程可化为 230xdxyd由 可得，这是一个恰当方程，即21,1xy2231300dxdyydxydy所以原方程通解为 2311,xc(19). ；240dyxx解：令 ，则由原方程可得 ，故原方程可化为pp* MERGEFORMAT (11)242xxy两边对 求导，得x2 2212pxdxpdpxx所以 0py 代 入 (1)或 21 ,0xdcxycxp 代 入 (1)又 时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是0y和 2yx21,0ycx(29). ；xyde解： 令 ，则 ，故uduyx22 1uuueedxexcx所以原方程通解为 21,xyc
