1、关于艾瑞尔曼问题的不稳定定理第 20 卷第 3 期2003 年 8 月贵州大学(自然科学版)JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)V01.20No.3Aug.2003文章编号 10005269(2003)03025805关于艾瑞尔曼问题的不稳定定理王梅,刘慧瑾(深圳大学理学院数学系,深圳 518060)摘要利用大系统分解理论研究一类艾瑞尔曼问题,给出了判定其不稳定的充分条件关键词全局渐近稳定;大系统分解理论;艾瑞尔曼问题中图分类号 O241.83 文献标识码 A0 引言我们考虑系统:=f(x.)+口=1=a,jxj(i=2,3, ,1)=1其中.
2、)满足条件:L 厂(.)0)=0从系统(1.1)中取出如下的两个子系统:令 lYl,Y2=(2,3,)记则(1.2)可化为 :此时,(1.1)变为 :=allX1A(2)=a22a32a23a33a2a3lan2an3口Al2(al2,al3,aln)A2l=(a2l,a3l,a)allYl=Af2)Y2=allYl+Y1)+A,2=A2lYl+A(2),2膏收稿日期:20030316作者简介:王梅(1963 一), 女 ,讲师.研究方向:计算数学.(1.1)(1.2)(1.3)(1.4),n32=,一 V口=第 3 期王梅,刘慧瑾:关于艾瑞尔曼问题的不稳定定理厂(Y.)满足条件件 :2Y)Y
3、0)=0OtYlYdYlYl=我们假设 A(:1 为稳定的,即它的特征根均具有负实部,所以对于子系统:dy2dtA(2)Y2对于给定的负定函数:W=一 2kyry2(k0)存在定正函数V2(Y2)=yrCy2(C=C)c 为 n 一 1 维正定矩阵使其沿这个子系统的全导数:dv2=),(A)C+CA(2)y2=一 2),2d().(),2,并且存在 m0,M0,使得:,Y2y2TCy2肘),21 定理假设 Ar)+A(2)定正,则存在 m0,使得2,y2),(A)+A(2),2定理 1.1 设 Otll+Ot0,Ar)+A(2),定正,如果存在 k0,Z0 使得:mk(0ll+Ot)一 fp0
4、且 Im(Otll+Ot)一 kq0其中 P=2,q=02则系统(1.1)的零解是不稳定的证明对系统(1.4), 作,.(Y.)=),2.,V2(),:)=),:则 l(1.4)=2),.(.),.+f(Y1)+Ay2)2y2(.+a)+2A),.),:(.-+a),一南 (yrAz:)(.tt+a)一南(柯西不等式)=(.-+a)y2 一南(j =2.),z=(.-+a)而 z(gj=2.)I(1.4)=+),=),(AA),:+2),Ia:.),.I2myr),:+2:.),.一mA.,2.=一.(p=AA:.=2)再令=kvl+Iv2(k0,Z0)则 l(1.4)=|jl(1.4)+zl
5、(1.4)|j(.+a 一:+Imv2 一.ll+一zfm 一由定理假设,后(0.+a)一生0?260?贵州大学 (自然科学版 )第 2O 卷且所以(1.4)o0,(0,20)显然是定正的,所以系统(1.1)的零解是不稳定的注:对定理中的条件:m(a.+)一 fp0且 fm(a11+a)一幻0即 fipra(口+)且 Z南 a(11+a)当m(a.+a)时,我们有 z,的取值范围如图所示的阴影部分定理 2.2 设口 11+a0,a“O(i=2,3,n),使得且 pfaP1a1all+a若存在 P0(i=1,2,rt)p1(a?一砉 pioLi.一学0(2,3,)i 氧 a,则系统(1.1)的平
6、凡解是不稳定的证明作 Vi()=Xi(i=1,2,n)则 dv1(1)出(1.1)=21口 111+1)+2?砉口.(砉口(all+) 一=(a11+a)1 一(a11+oL)oL!all+a(口 11+)a1all+a垫 I(1.1)=.=口:2 口+2 口口“ 一tt(口)口一 (口)iij:1d#iaiiiij 氡 t一 a1i一口;)一 a,ui:Ji=tIii:气 1i:21J口=,2口,=,第 3 期王梅.刘慧瑾:关于艾瑞尔曼问题的不稳定定理 ?261?作则(1_警 .1)由定理假设知,且 Pf 口 d 一则P1口 l1+P1口 l1+=2+砉(n)=Plu,ii1i(口+)+砉
7、2(一=2=J=u+(一 P1口 l1+PiaiiJ一.0(i=2,3,凡)显然,定正所以,系统(1.1) 的平凡解是不稳定的.定理 2.3 若存在 q(i=1,2,/7,)0,使得证明(1.1)I0且 g 口 dq1I 口 1I 一II0(i=2,3,凡).=2Ji则系统(1.1)的平凡解是不稳定的.作 i(f)=II=(Xi)(I()I=1)则令垫 l(1.1)=()(+,()+耋口)(口 11+)I=(口 11+)1 一dvf()口 uI口 IfI 一.l 口 I?II=一I 口 IvjJlJ,-IJ=1JI令则 dvg( 口+) 一g+ql(一=2=1ql 口 11I 口 Ii=2I
8、口 I)=1Ji+g1)一口 flI+Vi(q1II 一II)J 一JzJI口,Op,“p=“O口g一,+口,g口一,+n口,口,咖+“g=gO口g一,+n口,g为因?262?贵州大学 (自然科学版 )第 20 卷且 ql 口 dqlI 口 liI 一0I0(=2,3,n)=2J,则 dvI(1.1)O显然,为定正的,所以,系统(1.1) 的零解是不稳定的参考文献I许凇庆.常微分方程稳定性理论M. 上海:上海科学技术出版社.1981.3王梅.大系统分解理论在艾瑞尔曼问题中的应用J.贵州科学,2003(3)UnsteadinessTheoremaboutAizermanSProblemWANGMei,LIUHui-jin(DepartmentofMathematicsCollegeofScience,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060clIirIa)Authorwiththetheoryoflargesystem,westudyAizermansproblem.theunstablecfiteriaaregiven.Keywordscompleteasymptotestabilization;greatsystemdisassembletheory:Aize 瑚aIlsPmblem
