1、第四章 微分方程4.1 方程的分类与解法及结构定理4.1.1 一阶，可分离变量方程 一阶变量分离方程 Cdxfygdxfygxfdy )()()()( 齐次方程 f令 ， ，uxyxdxu)(ufx4.1.2 一阶线性非齐次方程齐次方程 通解 0)(ypd )(1)cdpecey标准形 通解xqx dxqpdxp)()(伯努利方程 )1,0()(nyQPdy)()(1QyPxynn令 得nyz1 xzxxz4.1.3 特殊二阶方程 降阶法 微分方程 接连积分 n 次，便得到微分方程 的含有 n 个任)()(fn )()(xfyn意常数的通解。 令 则),(yxf )(xp )(xpy),(pf
2、 令 则 y 首次积分方法若 则称),(),( 1( nnyxdyxF为方程 0 的首次积分。这样就把原方程cyxn),(1( ),(n降了一阶。特别地，二阶的就变成一阶方程了。4.1.4 二阶（高阶）线性常系数方程1线性方程解的结构理论定理 1（叠加原理） 设 是齐次方程的解，则它们的线性组合 )(,)(,21xyxyn也是齐次方程的解，其中 是任意njjnxycxycxyc121 )()()()( nc,21常数。定理 2 设 是非齐次方程的一个解， 是对应的齐次方程的)(xy )(,)(21xyxyn解，则 也是非齐次方程的解，其中 是任意常数。1cnjj c,定理 3 （二阶齐次线性微
3、分方程通解的结构） 设 和 是方程)(1xy)(2bxa（3）0)()(21ayx的两个线性无关特解，则 （ 是任意常数）是方程（3）的通解。cy21,c对于二阶非齐次线性微分方程（4）)()(21xfyaxy有如下的定理。定理 4（二阶非齐次线性微分方程通解的结构） 设 是方程（4）的一个特解，)(*和 是方程（4）对应的齐次线性方程（3）的两个线性无关解，则)(1xy)(2bxa(5)()(*21xycxy是方程（4）的通解。2齐次方程 特征方程 0)1()(aaynnn 01nna综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程 的通解的步骤如下：0qyp第一步 写出微分方程的特征方程 2r第二步
4、 求出特征方程的两个根 。21,第三步 根据特征方程两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（3）的通解特征方程 的两个根02qpr21,微分方程 的通解0qyp两个不相等的实根 21,两个相等的实根一对共轭复根 i2,1 xxeCy211)(21)sinco2xeyx对于高阶常系数齐次线性微分方程可以根据下表给出的特征方程的根写出对应齐次线性微分方程的解如下：特征方程的根 微分方程通解中的对应项单实根 一对单复根 i2,1k 重实根k 重复根 i2,1给出一项 xCe给出两项 )sinco(21x给出 k 给出 k 项： 项)11kxCe给出 2k 项： xCkcos(2 sin)(121
5、xDk3非齐次方程 )xfqyp其通解是 其中 是对应齐次方程的解， 是非齐次方程的解。*1y1 *y特解 k 是特征根 的重复次数，)()(xPefm )()(*xQexymk特解sin)(cosxBAl sin)(cosxPmk 是特征根 的重复次数。i ,anl4欧拉方程 )()1(1)( xfyyxann令 或 ，则textl， ， dtyxtdy dtyx22 dtytdtyx2313若引入微分算子符号 ，则上述结果可简记为tD，yx yDydty)1()(222 dttdtyx )2()3(3223 一般地 ykDk 1)()( 4.2 一般题（1）例题例 1 求 的通解,其中 为
6、大于零的常数。1)9(62yaya解:特征方程 ，特征根 ， ，齐次方程通解03rr01rai3,2，特解形式 ，其中 ，故)sinco()(321 xexYx xmkeQxy)()(*0， ， ，代入原方程,得kAQm)y(*29aA 通解 29(axy例 2 设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 ， ，C 为任意)()(xQyP )(1xy2常数,则该方程的通解是(A)C - ， (B) +C - ，)(1xy2)(1x)(12(C)C + ， （D） +C + yxy解:选(B)例 3 设 为二阶常系数线性齐次方程 的两个特解，则)(,21xy 0)(yxqp由 与 能够成该方程的通解，
7、其充分条件是)(x（A） （B）0)()(121xyy )()(121xyxy（C） （D）2x 02解：由（B）可知 ，即 ，故 ，可知)(12xy Cxyln)(l)(ln12xy)(12线性无关。)(,21xy例 4 求方程 的特解形式。xesin解: , ,02r12xxmkaeQy)()(*cbBxAexymk sinosicos)()(*2 所以 baxn例 5 在下列微分方程中,以 ， ， 为任意常数)为通1321 (2sicCxCeyx23解的是( ) 。(A) (B) 04yy 04yy（C） （D） 解：选(D)例 6 设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为xey求 及其通
8、解。xxey2)(*,解法 1：由 可知特征根x2)( 2,1r故特征方程为 ，从而 ，将 代入原方程，023)21rr ,3xe得 ，通解为 xxecey1(解法 2：将 代入原方程x2)*得 xx eee )()3(4(故 所以012312例 7 设 ，其中 满足 ，且)()(xgfxF)(,xgf )(),(xfgxf.，求ef 2,F解： )()()()( 22xfxfxfx 42egg即 ，解得0)()(Fxx xF2)(例 8设对于任意实数 s 和 t，有 ，且 ，求 。stfstf)(1)0(f)(xf解:令 ts)(f 2)(lim2)(limlim)( 000 xhfxhfh
9、xfxf hhh故 ，代入初值 ，得 ，c2 fcf2)(例 9 设 ，其中 是连续函数，求xdtfxf0)(sin)( )(xf )(xf解： ，xtf0 xdt0cos，又 ，)(si)(xf )(f1)(f， ， ，fn 12rir)sinc(*xbaxy)cossi(sico*bxaxbayinc2带入原方程得 ，xxssin0,21ba，带入初值得cxf o2o)(21xssi例 10设有方程 ， 大于零常数,试用变换 将方程0)1(22yady txsin化简并求解。解： ttxdtyxcos1/ tdtytdxtytt cos1)incs()()cos1( 222 代入原方程,并
10、整理： ，解得:02adt，再用 代回即可。cattysino)(21xtrcsin例 11 求解微分方程组 。 （工科微积分不用做，工科数学分析做）yy321解：特征方程： ，122| EA2,令 ，xebay21 xxx eabeba )23(232112121从而 221212121 3,3, abababa ， ，从而通解为TT),0(,),( xxeCey21(二)练习l设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性方程321,y的解， 为任意常数,则该方程通解是)()(xfyqxpy 21c（A） （B）321c 32121)(ycy（C） （D ） （D ）321)(ycyc2 . 已知
11、， ， 是某二阶线性非齐次微xe21xexxe23分方程的三个解,求此微分方程。 （ ）y3.求满足 的可微函数 （ ）xxdttfdtf00)()( )(xf xfsinco)(4 .设函数 在 上可导， ，且满足等式(f,010,(1)求 ； (2)证明 时,成立不等式:)(1)(0xtffxf )x x。 （ ）fex 1xef4.3、微分方程的应用(一)例题例 1 曲线过点(1,1)其且上任一点处的切线在 轴上的截距等于同一点处法线在 轴上yx截距,求曲线方程。解: 设曲线方程 ， 为曲线 上任一点, 切线方程:)(xy),yp)(x，切线在 y 轴上截距为 ，法线方程: ，法线)(X
12、yY)(1xXyY在 x 轴上截距为 ，故方程为： ，即xyx1x解得,通解为 ，特解cyy2lnarct 2ln4lnart2y例 2 设 是一条平面曲线，其上任意一点 到坐标原点的距离，恒等于L )0(,xyP该点处的切线在 轴上的截距，且 L 经过点 。y0,21（1）试求曲线 L 的方程；（2）求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线于 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小。解 （1） 依题意，设曲线 L 过点 的切线方程为),(yxPXY令 X=0，则得该切线在 轴上的截距为yx由题设知 ，令 ，则方程化简为 ，解得yx2uxdu21。cy2由 L 经过点 ，得 ，于是 L 的方程
13、为0,121yx即 241（2）设第一象限内曲线 在点 处的切线方程为xy),(yP241XY即 ，它与 轴及 轴的交点分别为 与022xxXxy0,241x，故所求面积为41,02 21024)( dxxxS对 求导，得 34)(22令 ，解得0)(xS63x当 时， ； 时， ，因而 是 在0)(S0)(xS63x)(xS内的惟一极小值点，即最小值点，于是所求切线为21,041362XY即例 3 一质量为 的物体,由静止开始下落,已知空气阻力与下落速度成正比,比例系数为m， （1）求速度函数与路程函数:(2)求极限速度;(3) 求路程与速度之间的函数关系。)0(k解:(1)由牛顿第二定律,
14、得 即 ，即aF2dtSmtkg0)(gSk解得： ， ；tkgemkgtSt2)( tmkegtSv)(（2）极限速度 ；tvt)(li（3）由 得2dtStkg0SvdSvmkg解得 kgkmvSln2例 4 容器内有 100L 的盐水，含 10kg 的盐，现以 3L/min 的均匀速率，往容器内注入净水（假设净水与盐立即调和） ，又以 2L/min 的均匀速率从容器抽出盐水，问 60 分钟后容器内盐水中含盐是多少？解 设时刻 盐水中盐的含量为 ，依题意，在时段 内含盐量的改变量为t)(ty,dt，于是得dty10210|2tydtd分离变量得 t两端积分得 ，代入 得2)10(tcy10
15、|ty5c故当 t60 时， kg9.3(二)练习1. 某湖泊的水量为 v,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量 ，流入湖泊内不含 A 的6v水量为 ，流出湖泊的水量为 。已知 1999 底年湖中 A 的含量为 5 ,超过国家规定指标。6v3v 0m为了治理污染,从 2000 年初起,限定排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过 ，问至少需经过v多少年,湖泊中污染物 A 的含量降至 以内? (61n3 年)。0m2.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下。现在一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km / h，经
16、测试，减速伞打开后 ,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为)，问从着陆点算起 ,飞机滑行的最长距离是多少? (1.05km)610.k第六章 多元函数微分学6.1 多元函数概念6.1.1 二元函数的极限定义 f (P)= f (x，y )的定义域为 D, 是 D 的聚点. 对常数 A，对于任意给定的0P),(yx正数 ，总存在正数 ，使得当点 P(x，y)D ，即,(0Uo2200 )| y时，都有|f (P)A|=|f (x，y)A|0)，求球体质心位置。0Pk解:设球体为 ,球心为原点， ，面球方程： ，设质心坐标),0( 22Rzyx，),(zyx由对称性， ，0 dVRzyxdVRzyxkz )(2)( 222 415328sin)(3620202 drdR 例 4 求 ，其中Vzyxf),( zyx:30)(),( 222yxzzyxf 当当解：原式= 21 )2(22 dVxz= 150356cossinsins403230cos40302 rddrd例 5 设函数 连续且恒大于零，)(xf，222: 2)()(tyxDtzdfVztFtyxDdxftG)()(2:2（1）讨论 在区间 上的单调性；)(t,0
