1、1.2.4 平面与平面的位置关系第 1 课时 两平面平行明目标、知重点 1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理；2.会进行“线线平行” 、 “线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行” 、“线面平行”及“面面平行”等问题；3.了解两个平面间的距离的概念1两个平面的位置关系位置关系 图形表示 符号表示 公共点平面 与平面 平行 没有公共点平面 与平面 相交 l有一条公共直线2.平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为若 a，b，abA ，且 a ，b，则 .3平面与平面平行的性质定理如果两个平行
2、平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行(1)符号表示为：， a，bab.(2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线4面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面 ，即Error!a ，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等；(3)平行于同一平面的两个平面平行5两平行平面间的距离(1)与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段(2)两个平行平面的公垂线段都相等我们把两平行平面公垂线段的长度 叫做两个平行平面间的距离情境导学 前面我们研究
3、了空间直线与直线、直 线与平面的位置关系，那么，空间两个平面可能有哪几种位置关系？探究点一 平面与平面之间的位置关系思考 1 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？答 从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行或相交思考 2 如图所示，围成长方体 ABCDABC D的六个面，两两之间的位置关系有几种？答 这六个面中相对的任意两个面平行，相邻的任意两个面相交因此六个面只有两种位置关系，即平行和相交小结 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行没有公共点；(2)两个平面相交有一条公共直线思考 3 平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样
4、表达？答 平面与平面平行的符号语言是：；图形语言是：例 1 、 是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是_平面 内有两条直线 a、b 都与平面 平行，那么 ；平面 内有无数条直线平行于平面 ，那么 ；若直线 a 与平面 和平面 都平行，那么 ；平面 内所有的直线都与平面 平行，那么 .答案 解析 、都不能保证 、 无公共点，如图 1 所示；中当 a ，a 时 与 可能相交，如图 2 所示；只有说明 、 一定无公共点反思与感悟 判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考 虑问题，作出判断跟踪训练 1 两平面 、 平行， a，下列
5、四个命题：a 与 内的所有直线平行；a 与 内无数条直线平行；直线 a 与 内任何一条直线都不垂直；a 与 无公共点其中正确命题有_个答案 2解析 中 a 不能与 内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面； 正确；中直线 a 与 内的无数条直 线垂直；根据定义 a 与 无公共点，正确探究点二 平面与平面平行的判定思考 1 生活中有没有平面与平面平行的例子？答 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的思考 2 三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？答 通过试验得出不一定平行思考 3 因为两条相交直线确定一个平面，这启示我们尝试用两条相
6、交直线来讨论平面的平行问题当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？答 当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行小结 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行这个定理可简单记为线面平行， 则面面平行思考 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？答 符号表示：a ，b ， abP，a，b图形表示： 思考 5 在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，对吗？答 不对在一个平面内的无数条直线是一组平行线时，这两个平面有可能相交，必须是这个平面内所有的直线才行例
7、 2 如图所示，在长方体 ABCDABC D中，求证：平面 CDB平面ABD.证明 AB 綊 DC 綊 DCABCD是平行四边形Error!Error!平面 CDB平面 ABD .反思与感悟 两个平面平行的判定或证明是将其转化为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行的问题即“若线 面平行， 则面面平行” 跟踪训练 2 如图，已知三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别是 PA，PB，PC 的中点，求证：平面 DEF平面 ABC.证明 在PAB 中，因为 D，E 分别是 PA，PB 的中点，所以 DEAB, 又知 DE平面 ABC，因此 DE平面 ABC，同理 EF平面 ABC，又因为 DEEF
8、 E，所以平面 DEF平面 ABC.探究点三 平面与平面平行的性质思考 1 如何判断平面和平面平行？答 有两种方法，一是用定义法，须判断两个平面没有公共点；二是用平面和平面平行的判定定理，须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行思考 2 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行思考 3 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线有什么位置关系？答 平行或异面思考 4 在长方体 ABCDABC D中，平面 AC 内哪些直线与 BD平行呢？如何找到它们？答 平面 AC 内的直线只要与直线 B
9、D共面都满足思考 5 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？如何证明它们的关系？答 两条交线平行下面我们来证明这个结论已知 如图，平面 ， ， 满足 ，a， b.求证 ab.证明 a，b，a，b.又，a，b 没有公共点，又a，b 同在平面 内，ab.小结 平面与平面平行的性质 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行思考 6 如何用符号语言表示平面与平面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？答 ， a， bab.定理的作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行例 3 求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面已知 ，l
10、 (如图所示)求证 l.证明 设 lA，在平面 内任取一条直线 b.因为点 A 不在 内，所以点 A 与直线 b 可确定平面 .设 a.Error! lb.由于直线 b 是平面 内的任意一条直线，所以 l.反思与感悟 面面平行的性质定理是证明线线平行的重要方法，在面面平行关系的学 习中，要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特 别要注意相互转化跟踪训练 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，侧面对角线 AB1、BC 1 上分别有两点E、F，且 B1EC 1F.求证：EF平面 ABCD.证明 过 E 作 EGAB 交 BB1 于点 G，连结 GF，则 .B1EB1A
11、 B1GB1BB 1EC 1F，B1AC 1B， .C1FC1B B1GB1BFGB 1C1BC，又EGFG G，AB BCB，平面 EFG平面 ABCD，而 EF 在平面 EFG 内，EF平面 ABCD.1平面 平面 ，直线 a ，直线 b ，下面四种情形：ab.ab.a 与 b 异面a 与 b 相交，其中可能出现的情形有_种答案 3解析 因为平面 平面 ，直线 a，直 线 b ，所以直线 a 与直线 b 无公共点当直线 a 与直线 b 共面时，a b；当直线 a 与直线 b 异面时，a 与 b 所成的角大小可以是 90.综上知，都有可能出现 ，共有 3 种情形2直线 a，b 为异面直线，关
12、于过直线 a 与直线 b 平行的平面的情况，下列说法正确的是_有且只有一个 有无数多个 至多一个不存在答案 解析 在直线 a 上任选一点 A，过点 A 作 bb，则 b是唯一的，因 abA，所以 a与 b确定一平面并且只有一个平面，故正确3下列说法中正确的是_一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行答案 解析 对于：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果 这两条直线不相交，而是平行，那么
13、这两个平面相交也能 够找得到这样的直线存在对于：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同.对于：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这 两个平面平行 这是两个平面平行的定义对于：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 这是两个平面平行的判定定理所以只有正确4如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C，H ，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.证明 (1)GH 是A 1B1C1 的中位线，GHB 1C1.又B 1C1BC，GHBC，B ，C，H，G 四点共面(2
14、)E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC ，EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A 1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形，A 1EGB .A 1E平面 BCHG，GB平面 BCHG.A 1E平面 BCHG.A 1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.呈重点、现规律1证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(4)利用“线线平行” 、“线面平行” 、“面面平行”的相互转化2常用的面面平行的其他几个性质
15、(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行3空间中各种平行关系相互转 化关系的示意图一、基础过关1已知平面 平面 ，过平面 内的一条直线 a 的平面 ，与平面 相交，交线为直线b，则 a、b 的位置关系是_答案 平行解析 两平行平面 ， 被第三个平面 所截， 则交线 a、b 平行2已知 a，b 是两条相交直线，a，则 b 与 的位置关系是_答案 b 或 b 与 相交
16、解析 由题意画出图形，当 a，b 所在平面与平面 平行时，b 与平面 平行，当 a，b 所在平面与平面 相交时，b 与平面 相交3已知两条直线 m，n，两个平面 ，.给出下面四个命题：mn，mn；， m，nmn；mn，mn；， mn，mn.其中真命题的序号是_答案 解析 对于，由于两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此是真命题；对于，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们一定平行，因此是假命题；对于，直线 n 可能位于平面 内，因此 是假命题；对于 ，由 m 且 得 m，又 mn，故 n，因此是真命题4已知 a，b 表示两条不同的直线，
17、表示两个不重合的平面，则给出下列四个命题：若 ，a ，b ，则 ab；若 ab，a，b ，则 ；若 ，a ，则 a ；若 a，a ，则 .其中，正确的个数为_答案 1解析 对于，a b 或 a 与 b 是异面直线，故 错误；对于，也可能是 与 相交，故错误；对于 ，同样 与 也可能相交，故错误；只有正确5已知 a，b 表示两条不同的直线， 表示三个不重合的平面，给出下列命题：若 a， b，且 ab，则 ；若 a，b 相交，且都在 ， 外，a，b ，a，b，则 a；若 a，a ， b，则 ab.其中，正确命题的序号是_答案 解析 错误 ， 与 也可能相交；正确，依题意，由 a，b 确定的平面 ，
18、满足 ，；正确，由线面平行的基本性质 可知6.如图所示，P 是三角形 ABC 所在平面外一点，平面 平面 ABC， 分别交线段PA、PB、PC 于 A、B、C，若 PAAA23，则 SABC S ABC_.答案 425解析 面 面 ABC，面 PAB 与面 ，面 ABC 的交线分别为 AB，AB，ABAB，同理 BCBC，易得ABC ABC，SABCSABC( )2( )2 .ABAB PAPA 425如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B
19、1.证明 (1)如图， 连结 SB，E、G 分别是 BC、SC 的中点，EGSB.又 SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1.(2)连结 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD.又 SD 平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，由(1)知 EG平面 BDD1B1，且 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG ，平面 EFG平面 BDD1B1.二、能力提升下列说法中正确的个数是_平面 与平面 ， 都相交，则这三个平面有 2 条或 3 条交线；如果平面 外有两点 A，B 到平面 的距离相等，则直线 AB；如果 a，b 是
20、两条直线，ab，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面；直线 a 不平行于平面 ，则 a 不平行于 内任何一条直线；如果 ， a，那么 a .答案 0解析 错误 平面 与平面 ， 都相交， 则这三个平面有可能有 2 条或 3 条交线，还有可能只有一条交线错误 如果两点 A，B 在平面 的同一侧，则直线 AB；如果两点 A，B 在平面 的两侧，则直线 AB 与平面 相交错误 如果 a，b 是两条直线 ，ab，那么直线 a 有可能在经过 b 的平面内错误 直 线 a 不平行于平面 ，则 a 有可能在平面 内，此时可以与平面内无数条直线平行错误 如果 ，a，那么 a 或 a.如图所示，在正方体 A
21、BCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是棱CC1、C 1D1、D 1D、CD 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则M 满足_时，有 MN 平面 B1BDD1.答案 M线段 FH解析 HN BD，HFDD1，HNHFH，BDDD 1D，平面 NHF平面 B1BDD1，故线段 FH 上任意一点 M 与 N 连结，有 MN平面 B1BDD1.10已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是面 AA1D1D 的中点，点 Q 是面A1B1C1D1 的对角线 B1D1 上一点，且 PQ平面 AA1B1B，则线段 PQ 的长为_答案 22解
22、析 当且仅当点 Q 为 B1D1 的中点时， PQ平面 AA1B1B，取 A1D1 中点 O，连结 OQ，OP，则 OQA1B1，OPA1A.故易证平面 OPQ平面 ABB1A1，则 PQ平面 ABB1A1，在 RtPOQ 中，OQ OP ，PQ12.2211如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中点，P 是 DD1 的中点，设Q 是 CC1 上的点，当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点， 连结 PQ，易 证四边形 PQBA 为平行四边形
23、， QBPA.又 AP平面 APO，QB平面 APO.QB平面 APO.P、O 分别为 DD1、DB 的中点， D1BPO.同理可得 D1B平面 PAO，又 D1BQBB，平面 D1BQ平面 PAO.12如图所示，B 为ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD的重心(1)求证：平面 MNG平面 ACD；(2)求 SMNG S ADC .(1)证明 连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于点 P、F、H.M、N、G 分别为 ABC、ABD、BCD 的重心， 2.BMMP BNNF BGGH连结 PF、FH、PH，有 MNPF.又 PF平面 ACD，MN平
24、面 ACD.同理 MG平面 ACD.又 MGMNM，平面 MNG平面 ACD.(2)解 由(1)可知 ，MGPH BGBH 23MG PH.23又 PH AD，MG AD.12 13同理 NG AC，MN CD.13 13MNGADC，其相似比为 13.SMNGSADC19.三、探究与拓展13如图直线 AC、DF 被三个平行平面 ， 所截(1)问是否一定有 ADBECF；(2)求证： .ABBC DEEF(1)解 若 AB，DE 异面，则 A，B，D，E 不在同一个平面上，则 AD 不平行于 BE.所以不一定有 ADBECF.(2)证明 如图所示， 过点 A 作 DF 的平行线，交 ， 于 G，H 两点，AHDF .过两条平行线AH，DF 的平面，交平面 ， 于 AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有 ADGEHF.Error! 四边形 AGED 为平行四边形所以 AGDE .同理 GHEF .又过 AC，AH 两相交直线的平面与平面 ， 的交线为 BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有 BGCH.在ACH 中， .ABBC AGGH而 AGDE ，GHEF ，故 .ABBC DEEF
