1、- 1 -初中数学“创新练习”的实践与探究【内容提要】讲练结合、以练促学是初中数学的一大学科特点，因此课内外练习的效果直接影响着学生的学习效能。现有关于校本练习 的研究比较笼统，面向多个学科，或停留在理 论指导层面，操作性不强。因此我们在初中数学这块区域中进行了系统研究，在分 层 型练习、合作型 练习、实践型练习、调研型练习等方面展开实践、反思，以期达到促进学生优化知识，提高教师专业能力，完善评价体系等目的，具有一定的操作性和传播性。【关键词】创新 优化 分层 合作 实践一、课题的提出初中数学的学习过程中，讲练结合、以练促学是一大学科特点，因此课内外练习的效果直接影响着学生的学习效能。我们曾经
2、对一堂课的多种不同授课方法进行了研究，发现习题的不同设置直接影响着学生的学习情绪，进而影响了理解能力的提高。这是课内的差别。为了达到较好的课堂效果，很多新老师把师父的教案直接照搬到自己的课堂中，或者在网上搜集很多优秀的课件，课堂上似乎节奏流畅，效果较好，可到了单元知识过关或期末检测时，才知效果不明显。为什么呢？我们认为此时的差别在于课后的练习。是每天完成作业本上相应的章节吗？不是。优秀的教师善于把握与捕捉那些来自学生、来自教学过程中的问题与困惑，将那些有意义的问题编入课后练习，分层实施，适当拓展，成为课堂教学知识的延伸点。这是课外的差别。通过多种方式调查发现，现有的关于校本练习成果体现在常见的
3、课堂同步练习、单元检测卷、各类模拟卷等，但里面有多少题目是重复的、机械的操练？关于课外多种形式的数学探究活动作业几乎是一项空白，即使有，也基本上是一种形式。我们能让学生不是抱着“责任心”完成作业，而是感觉“做这个练习我开心”吗？我们能让作业也变成幸福教育的组成部分吗？我们希望将兴趣与激情溶进学生的常态练习中。为了让反馈更全面有效，我们提出了“创新练习” 。“创新练习”是指对学科的课内练习、课后练习、数学知识的实际应用性练习、章节过关练习、分层挑战练习、假期练习等进行有层次、落重点、多形式、重效果的研究设置，期望达到以练促学的良好效果。包括促进掌握新知的常规课内外练习、有效检测章节过关的阶段练习
4、、让不同层次学生体验成功的分层挑战练习、有效促进知识应用的实践练习等。二、研究的必要性建构主义学习理论认为，学习者的知识不是通过教师的传授得到的，而是学习者在一定的情景下，借助其他人的帮助，利用必要的学习材料，通过意义建构的方式得到的。练习就是进行意义建构的良好时机。根据七到九年级学生的年龄特征，他们在建构过程中如果认为数学好玩，就会积极地去完成，但他们发现了练习以其独有的魅力对自身能力发出挑战时，这种刺激才是持久的，有效的。所以说，创新练习是学生持续学习的需要。 教育心理学理论认为，评价学生的学习主要有六个目的：为学生提供反馈；激励学生不断努力；为教师提供反馈；为家长提供反馈；为选拔和认证提
5、供信息；为问责提供依据。所以评价无论是在传学科论文：初中数学- 2 -（图 2）ECDBOA统课程还是新课程中都极其重要。课内外练习就是对学生学习的一种有效评价， “创新”体现了它的价值。1创新练习的研究与实践有利于促进学生优化知识学生全面发展的实质就是特长发展和个性发展。以练促学是数学能力发展的基本方式。杭州市数学教研员在不同的评课场合中，都强调数学课堂内外练习的重要性，对夯实基础，优化知识结构，内化理解，有着不可替代的作用。2创新练习的研究与实践有利于提高教师专业能力突出实践创新练习的地位，可以提高教师的资源意识，因为编制一系列的创新练习需要教师对教材、课程标准的全面认识，对滔滔题型的准确
6、把握，只有不断反思调整，才能完成真正促进学生发展的材料，这一过程将极大促进教师专业发展，为提高课堂教学效能创造条件。同时，收集的有关资料将改善教师的教学。3创新练习的研究与实践有利于完善评价体系“多一把衡量的尺子，就会多出一批好学生” ，依据多元智能理论，我们的创新练习可以在语言智能、数理逻辑思维智能、空间智能、自我认识智能和自然观察者智能方面进行评价。所以，从这个方面考虑，教学过程中没有一个差生，正符合我们的教学理念。三、研究的内容我们在常规课内外练习、章节练习、不定期的分层挑战练习、实践练习等方面均展开了系统的实践和研究，编制成册，并将不断调整，以形成更适合学生学习的辅助资料。其中的练习主
7、要分以下几种类型：1分层型练习（1）课内：紧扣课本内容和课标要求，突出重点，练习由浅到深、由简到繁、由单一到综合，形成阶梯向上结构：基本练习变式练习综合练习。新学知识及时练，重点知识反复练，易错的方面重点练，在巩固概念的同时提高基本运算技能。几乎在每节课上，都有当堂过关练习，以检测教学效果。例如：学习7.6 余角和补角时，课 堂中我们的分层练习是：1基础过关如图 1，O 是直线 AB 上的一点， OM 是 AOC 的角平分线，ON 是BOC 的角平分线，问：（1）图中互余的角有哪几对？（2）设AOC= ，用含 的代数式表示 MOB，NOBn2应用拓展如图 2，已知射线 OE 平分 BOC，射线
8、 OD 平分AOB（1）若AOC= ，BOC= ，求 的度数；904DOE（2）若AOC= ，BOC= ， 的度数如何变化？5（以上要求人人过关）（3）若AOC= ， 的度数又是多少？xENMCBOA（图 1）- 3 -你能利用上述结论解决下面的问题吗？如图 3，C 是线段 AB 上一点， AC=20，CB=8，M 是 AB的中点，N 是 AC 的中点，求 MN 的长.（以上为优秀生选做题）（2）课外：每位学生在学习上都有差异，这种差异是客观存在的，因此，在课外练习设置时设计分层练习：A 类为知识盘点，紧扣当天所学的内容，主要目的是根据课本整理新知；B 类是基础过关，这是针对一部分基础薄弱的学
9、生布置的，浅显易懂，有利于他们获得成功的快乐，增强学习的自信心；C 类是应用拓展，这类题是对所学知识的变式应用，通过练习达到较好地理解和掌握知识的目的；D 类是综合提高，题目有一定的难度，主要是针对基础好的学生设计，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性。例如：我们编制的初中第 1 课1.1 从自然数到分数的课外作业：【知识盘点】1. 下列语句中用到的数，哪些属于 计数？哪些表示测量结 果？哪些属于标号和排序？（1）鸟巢最多能容纳 91000 名观众，其中 80000 个为固定座位，11000 个为临时座位，共分 3 层，每层的疏散系统都是独立的，遇到紧 急情况， 8 分钟就能够全部疏散 观众；（
10、2）中国体操梦之队在 2008 北京奥运会上狂扫 9 金 1 银 4 铜；（3）牙买加选手博尔特在男子 100 米决赛中以 9 秒 69 的成绩轻松刷新了自己 2 个多月前创下的的世界记录.【基础过关】2. 在解答下列问题时，你会选 用分数和小数中的哪一类数？ 请用合适的数表示出来.（1）小华和她的 7 位朋友一起过生日，要平均分享一 块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？（2）小明的身高是 168 厘米，如果改用米作 单位， 应怎样表示？3. 分数可以转化为小数吗？怎样转化？如 = ； = ； = .1845234. 小学里学过的小数怎样转化为分数？如 1.68= ； 0.00064= .5.小明编
11、制了一个计算机程序，当 输入任何一个数（非 0）时 ，显示屏上的结果总等于所输入这个数的倒数与 2 的和.若输入 3，这时显 示的结果应是多少？如果输 入某数后， 显示结果是 7，那么输入的数是多少？【应用拓展】6. 某市民政局 举行一次福利彩票 销售活动， 销售总额度为 4000 万元.其中发行成本占总额度15，1400 万元作为社会福利 资金，其余作 为中奖者奖金 .（1）你能算出奖金总额是多少吗？你是怎样算的？（2）为了使社会福利资金提高 10，而 发行成本保持不变 ，有人提出把 奖金总额减少 7.你认为这个方案可行吗？你是怎样获得结论的？N M C BA（图 3）- 4 -7你能根据自
12、己的生活经验直接回答下列 问题吗？（1）一个中学生，按平时的步行速度，1 小时大约能走多少路？（2）篮球的直径大约是多少厘米？（3）请你估计一下，你所在教室的 长、 宽、高大约是多少？（4）需要多少克水才能把一个普通热水瓶灌满？【综合提高】8下面两个问题，你可以选一个试试看哦.在世界数学史上曾流传着这样一个故事.著名数学家高斯的老师曾给高斯出了一道数学题：“假如一个人环绕地球赤道走一周，那么他的 头和脚走的路一样远吗 ？”高斯当然得出了正确答案，你呢？假如地球是个标准球型,有一根足够长的绳子， 长度比地球赤道的周 长多 10 米,用它做成一个圆形绳套，套在地球赤道的外围，假设在各处绳子离地面的
13、距离都是相同的，有蚂蚁、兔子、大象和长颈鹿，问那一种动物能钻过去？以上作业让学生各取所需，自主选择练习层次和练习量。（3）章节练习：分基础过关和能力过关。基础过关练习着眼于基本内容、基础知识、基本技能的检测，我们根据课程标准，将一个章节的重点内容进行有效整合，形成 10 个小题，学生通过复习能获得较好成绩，起到整理知识，将书“读薄”的作用，增强对学习的信心。我们将这一过程命名为“非常 1+1 争星活动” ，它贯穿于整个学期，是一项系列活动，每次 15-20 分钟， “1+1”的含义是一次过关争取较高星级，再给一次补考争星的机会，其目的是全体学生都能过基础关，其关键是引起了学生的兴趣，激起了竞争
14、的斗志。能力过关练习是对学生发出的挑战，情境更为新颖，考察内容更为综合，学生通过此项练习可以检测自己对新知的理解和应用水平，更好地了解自己的学习状况，以便进行专项训练。（4）阶段挑战练习：我们以年级为单位进行不定期的分层挑战练习，范围是最近学习的几个章节内容的综合，目的之一是给不同层次学生更多成功的机会，及时肯定学习成效，之二是提高综合应用数学能力，培养良好的思维习惯。事实证明，学生非常珍惜挑战赛的荣誉，认为这是自己实力的象征。下面例举我们在分层挑战赛中设置的几个问题：（A 卷）1如图 4，某主题公园要在公园门口的圆柱体柱子上粘贴 彩带，已知柱子的底面周长为 1 米，高为 10 米，如果要求彩
15、带从柱子底端的 A 处绕柱子 5 圈后到达柱子顶端的 B 处，那么至少应购买彩带 米2学生若干人分住若干间宿舍，如果每间住 4 人，则有 20 人没宿舍住；如果每间住 8 人，则其中有一间宿舍不空也不 满， 问宿舍有几间学生有几人？ 3如图 5，点 A、B、C 表示三所学校的位置，点 O 表示体育场，它是 ABC 三条角平分线的交点，A、B、C、 O 每两地之间有直的道路相连，且 ABBCCA.一（图 4）（图 5）- 5 -180支学生长跑队从体育场 O 出 发，沿着 OA BCO 的 顺序跑遍各校再跑回点 O请问他们跑的是一条最短的路线吗？如果是， 请说明理由；如果不是， 请 指出一条最短
16、的路线，并说明理由（B 卷）1要使 有意义， 的取值范围是 x232把一个宽度相等的纸条，按图 6 那样折叠，则 的度数是（ ）（A） （B） （C） （D） (图 6)04053某种牙刷零售价每支 6 元，商场推出两种优惠销售办法：第一种： 1 支牙刷按原价，其余按原价 7 折销售；第二种：全部按原价的 8 折销售要使第一种方法比第二种方法得到的 优惠更多，至少需要 买牙刷 支 2合作型练习以前的数学练习，过于片面地强调独立思考，没有将合作作为重要的素质来培养。其实我们完全可以将学生分成几个合作学习小组，学生通过组内的互相交流、有效合作，互相帮助、互相鞭策、互相促进。当然，这里还牵涉到如何恰
17、当分组的问题。我们的课内学习小组有相对固定的成员，分别有各个学习层次的学生，而课外的小组组成显得更宽松，基本是同质成员，是自发形成的，主要研究自己感兴趣的课外拓展题。合作练习只在有必要、合适的时候有，并非天天进行，也并非整堂课全程进行。介绍一个我们在课内的小组共同学习情况：如：我校数学七年级备课组的教学目标是：让学生感受到学习数学的乐趣，学会自主、合作学习，让数学增强学生的自信。新生入学不久，老师们就看到学生午餐时有浪费现象，设计了课题：“13 亿粒米大约有多少？”以增 强数感，同时进 行德育教育渗透。从课堂的活动流程中我们可以看到学生的合作学习：步骤一：创设情境，大胆猜测由学生浪费营养午餐的
18、现象，引出 问题：人均浪费一粒米，全国合计多少粒？再请学生结合生活常识，多角度、多方面地进行猜测（小组讨论后代表发言）。步骤二：实验操作，估算质量活动内容：估算 13 亿粒米的质量活动要求：（1）四人小组，合作完成；（2）每组请一位同学把自己组的号码和质量数写在黑板上。步骤三：分析结果，处理数据从各小组的估算结果，引导学生分析 产生误差的原因和学会用平均数等 处理数据的方法，逐步培养学生分析和处理实验数据的能力。步骤四：提升方法，估算体积- 6 -BA4A3A2A1 （图 13）（图 14）O2O1N MA2A1虽然 13 亿粒米的质量已有一个具体数值，但估计多数学生对二、三十吨 还是缺乏具体
19、的数感，故再一次请学生合作估算这些米的体积。3实践型练习实践出真知，实践能增强学生运用知识的能力，使一些枯燥乏味的数字趣味化、生活化，通过实践，可以使学生把书本上的数学知识转变为运用数学知识解决实际问题的能力。例如：学习了有理数的四则混合运算后，年 级里开展“ 算 24 点”比赛，用扑克牌，抽出 4 张组成四个数，用加、减、乘、除、括号等运算符号算 24 点。我 们先用了一个 课时在各班级里选出 5 名选手，再将 50 名选手集中 PK，最后 选出“ 最佳神算手”10 名。此 过程从开始动员 到结束耗时一周，充分 调动了学生的积极性，让“学”融于“ 玩” 中，在“玩”中实践，学生学得轻松，同
20、时 增强了四则运算、估算、排除法等多种能力。以上实践练习相对于全体学生，下面是一个我们在课外对部分学生要求的实践练习：例：意外收获定律 1：当圆在一个凸多边形的外侧上做无滑动的滚动一周时，这个圆自己旋转的圈数=“凸多边形的周长这个圆的周长+1” 。定律 2：当圆在一个凸正多边形的外侧上做无滑动的滚动一定角度时，这个圆所走的路程=（ 表示圆 周 长凸 正 多 边 形 的 内 角 度 数滚 过 的 度 数 360mm圆可能经过的顶点个数） （图 13）定律 3：当圆在一个凸正 边形的内侧上做无滑动的滚动一n周时，设 边形边长为 ，圆半径为 ，则这个圆自己旋转nab的圈数= .（图 14）b2)18
21、09cot(我们在数学练习上要舍得给学生花时间，改学数学为做数学，让学生动手又动脑，成为学习的主人。学生在这个问题上的讨论是积极且有成效的，他们通过实验、猜想、推理、归纳，得到了正确的结论，生成了意外的精彩。4调研型练习所谓“调研型”的练习就是让学生进行社会调查，用研究的眼光来分析调查所得的资料，再运用多种知识来解决生活中的实际问题。如走上街头，调查十字路口每个绿灯通过的车辆数、违规闯红灯的行人数，撰写调查报告，向相关职能部门提出合理化建议。这些有趣又紧密联系学生生活实际的数学问题有效地激发了学生参与探索的意识，在完成练习的过程中，还将数学知识与其他学科进行了有效的结合，有利于学生综合素质的提
22、高。例如：- 7 -七（上）第六章 数据与图表的课题学习关于初中生爱看的电视节目的调查很有趣、有用，我们安排小组合作完成，并将课题扩 大为关于的调查。一、前期准备1 章引入时，让学生体验收集、整理数据的价值、必要性，激起对本章知识的兴趣，同 时布置任务，以任务驱动章节新知的学习，也起到分散 难点的目的。2“6.1 数据的收集与整理 ”后， 进行分小组， 选定组长，制定本次调查计划，如明确分工、确定调查内容、调查对象、收集数据的途径等，开始制作调查表。“6.2 统计表”后，教师适当指导各小组准备工作，如 对象的确定，调查问卷的制作等。“6.3 条形统计图和折线统计图”后，开始收集数据，整理成统计
23、表，初步形成统计图。“6.4 扇形统计图” 后，作品成形，教师做适当指导，进行完善。二、成果汇报（一）过程汇报，成果展示小组代表对本组活动的情况做具体介绍，展示作品，得出信息，分析原因，提出建议。（二）交流评价，方法提升1肯定发言人的优点，提出建议；2 总结出调查中应注意的问题：调查对象是否具有代表性，收集数据的方式是否恰当； 是否 选择合理的 图表；如何分析原因，提出合理化建议。（三）汇报反馈，整理小结1 将小组得分进行统计并反馈，并适当 对其中的得分进行分析，发现极端数据对整体得分的影响，提出合理化操作建议。2 小结：制定 计划可以使任 务完成更趋合理，可以体 现在其他事 务上，如制 订合
24、理的秋游计划等。良好学 习习惯 的培养，如精益求精的精神，勤做笔记的习惯等。整个过程让学生体会到学以致用，有趣的调查工作结束，课本知识牢固掌握。四、实践后反思1 “创新练习 ”目标需认真定位数学练习应该是紧扣新课标的有效练习，是“最适合自己的学生“的练习，通过练习达到激发学生学习兴趣、落实“双基” 、开拓思维、培养学生创新能力的目的，不同群体的学生，不同的时期，目标定位都会不一样，需要及时进行调整。如何切实根据学生实际调整练习，是我们现在的努力方向。2 “创新练习 ”形式要多样分层数学练习不能简单地理解为课外练习（即回家作业） ，数学练习既是课堂教学的一个重要组成部分，也是也是课堂教学的补充和
25、延续，还是教学的反馈和过关。故创新练习将是课堂练习、课外练习和复习考试的一个完整的整体。在形式上要求多样化，符合学生的年龄特征，并让不同的学生都能有不同程度的收获。- 8 -书面的、实践的、个体的、合作的、数学的、生活的、作业类型、测试类型我们还可以有什么更有效的形式？3.“创新练习 ”要能指导后继教学根据学生对“创新练习”的完成情况，可以检查教师的教学目标是否达成，我们的“创新”实验是否达到目的，及时进行必要的教学整理，认真完善“创新练习”的编制。如：练习内容的选择是否以教材为线索，注意适当的挖掘和拓展？（注重有效性，不可随意拔高）练习完成的形式是否有利于鼓励学生自主、合作和创新？（要能引导学生形成良好的情感、态度）联系完成的过程是否有效进行了数学思想方法的有机渗透？（使学生亲历数学知识的发生、发展和形成的过程，提供实践的“ 操作平台”）4 “平时作业 ”与 “假期作业 ”的区别这是我们正在研究实践的课题，希望通过整理反思，最终能形成适合自己学生的富有特色的数学练习。参考书籍：数学课程标准解读 ，北京师范大学出版社，2002 年； 唐晓杰：课堂教学与学习成效评价 ，广西教育出版社；王亚权：培优提高班 ，浙江大学出版社，2007 年.
