1、【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题4 图形的变换一、 选择题二、填空题1.（上海市2002年2分）在RtABC中，AB，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么A等于 度【答案】30。【考点】翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线性质。【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则D=A，MCD=MCA，从而求得答案：在RtABC中，AB，CM是斜边AB上的中线，A=ACM。将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，设A=ACM=x度，A+ACM=CMB。CMB=2
2、x。又根据折叠的性质可知MCG =ACM=x，如果CD恰好与AB垂直，则在RtCMG中，MCG+CMB=90，即3x=90，x=30，即A等于30。2.（上海市2003年2分）正方形ABCD的边长为1。如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D处，那么tgBAD 。【答案】。【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数的定义。【分析】根据题意画出图形根据勾股定理求出BD的长，由旋转的性质求出BD的长，再运用三角函数的定义解答即可：正方形ABCD的边长为1，则对角线BD=。BD=BD=。tanBAD=。3.（上海市2004年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C
3、按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为 。【答案】。【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】连接CH，得：CFHCDH（HL）。DCH=DCF=（9030）=30。在RtCDH中，CD=3，DH= CD tanDCH=。4.（上海市2005年3分）在三角形纸片ABC中，C90，A30，AC3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为 【答案】1。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】ABC中，C=90，A=30，AC=3，。又BDE是ADE翻折而成，DE为折痕，DEAB，在RtADE中，。5.
4、（上海市2009年4分）在中，为边上的点，联结（如图所示）如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是 【答案】2。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，假设这个点是。作，垂足分别为。 在中，=3，=3，。 ，即。 ，即。 所以点M到AC的距离是2。6.（上海市2010年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图所示）， 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 . 【答案】1或5。【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】旋转两种情况如图所示： 顺时针旋转得到F1点，
5、由旋转对称的性质知F1C=EC =1。 逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE = 2, F2C =F2BBC=5。【答案】80或120。【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。【分析】由已知，B恰好落在初始RtABC的边上且旋转角0m180，故点B可落在AB边上和AC边上两种情况。当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知DBE是等腰三角形，由B50和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得mBDE80。当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在RtCDH中，由已知BD2CD，即DH2CD，得CDH的余弦等于，从而
6、由特殊角三角函数值得CDH60，所以根据邻补角定义得mBDH120。8.（2012上海市4分）如图，在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为 【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。9.（2013年上海市4分）如图，在ABC中，AB=AC，BC=8，如果将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 【答案】。【考点】翻折问题，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，锐
7、角三角函数定义，勾股定理。【分析】如图，将ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，过点E作AHBC于点H，EFBC于F，则EF是ACH的中位线 AB=AC，BC=8，根据等腰三角形三线合一的性质，得HC=BH=4。 ，即。AH=6。EF=3，FC=2。 设BD=x，则根据翻折的性质，DE=BD= x， 又。 在RtDEF中，根据勾股定理，得，解得，即BD=。三、解答题1.（上海市2007年14分）已知：，点在射线上，（如图）为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上（4分）；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交
8、于点，设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（3）若点在射线上，圆为的内切圆当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离（5分）【答案】解：（1）证明：如图，连结， 是等边三角形的外心， ，圆心角。 当不垂直于时，作，垂足分别为。 由，且， 。 。点在的平分线上。 当时，即， 点在的平分线上。 综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上。 （2）如图，平分，且， 。 由（1）知， ，。 ，。 。 。定义域为：。 （3）如图1，当与圆相切时，； 如图2，当与圆相切时，； 如图3，当与圆相切时，。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，相似三角形的判定
9、和性质，直线和圆相切的性质。 当点与点重合时，如图2，点与点的距离。 点在射线的反向上运动（点与点不重合）时，如图3，点与点重合，点与点的距离。2.（上海市2009年14分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长（4分）；（2）在图1中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域（5分）；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小（5分）【答案】解：（1），为等腰直角三角形。 。 。 ， 为等腰直角三角形。 又，。 （2）如图：添加辅助线，根据题意，两个
10、三角形的面积可以分别表示成， 高分别是， 则， 化简，得。 。 又，由得。 关于的函数解析式为。 (3)假设不垂直，则可以作一条直线垂直于，与交于点，则：，四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：。又由于 所以，点与点重合，所以。 【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理可求出线段的长。 （2）由求出和两高之间的关系，即可由列出关于的函数解析式。 定义域：当垂直时，这时，。 当点运动到与点重合时，的取值就是最大值，连接,作，由已知条件得：，四点共圆，则由圆周角定理可以推知：,。 令,
11、则由勾股定理得。 在中，即。 在中，即。 消去，整理得：， ， 得(舍去) 。 所以函数的定义域为。 (3)作出一条直线垂直于，与交于点，证明其与点重合即可。3.（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域【答案】解：（1）点O是圆心，ODBC，BC=1，BD=BC=。 又OB=2，。（
12、2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。D和E是中点，DE=。（3）BD=x，。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。过D作DFOE，垂足为点F。DF=OF=。由BODEDF，得，即，解得EF=x。OE=。数关系式。 ，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）， 。4.（2013年上海市14分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值径为， 若P和Q外切，则，即。 代入，得解得 。当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，。（3）EF=EC=4，且EFPQ，ECBC， PQ和BC是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线。 连接EQ，易得，ABPCEQ，。 AB=5，AP=x，CE=4，CQ=， ，即。 代入，得 整理，得，解得。 满足条件的x值为：或。14
