1、2015年下学期高二年级理数段考试题时量：120分钟 分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知，则p是q的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件2、命题；命题。则（ ）A、“或”为假 B、“且”为真 C、真假 D、假真3、已知是等差数列，15，55，则过点P(3，)，Q(4，)的直线斜率为 ()A、4 B、 C、4 D、4、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A、B、1C、1 D、5、若x1，则有（）A、最小值1B、最大值1C、最小值1D、最大值16、下列说法错误的是()A、命题：
2、“已知f(x)是R上的增函数，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”的逆否命题为真命题B、“x1”是“|x|1”的充分不必要条件C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“xR，使得x2x10”，则：“xR，均有x2x10”7、已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是 ()A、2 B、3 C、4 D、58、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则最小值是A、B、C、D、9、如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 ()A、椭圆B、双
3、曲线C、抛物线D、圆10、已知等比数列满足，且，则当时，（）A、 B、 C、 D、11、过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为 ()A、y29xB、y26xC、y23x D、y2x12、已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A、(4，) B、(，4C、(10，) D、(，10二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“”的否定是_.14、已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_.15、从双曲线上一点Q引直线
4、xy2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为_16、过抛物线的焦点的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题12分）命题p：实数x满足，其中a0，命题q：实数x满足或，且的必要不充分条件，求a的取值范围.18、（本小题12分）已知函数.(1)若对于恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围19（本小题12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只
5、运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，求公司最大利润。20（本小题12分）已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值21（本小题12分）已知各项均为正数的数列满足，.（）求证：数列是等比数列；（）当取何值时，取最大值，并求出最大值；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围.22（本小题10分）设是公比为正数的等比数列，(1)求的通项公式；(2
6、)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和2015年下学期高二年级理数段考答案 时量：120分钟 分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知，则p是q的（ A ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件2、命题；命题。则（ D ）A、“或”为假 B、“且”为真 C、真假 D、假真3、已知是等差数列，15，55，则过点P(3，)，Q(4，)的直线斜率为 (A) A、4 B、 C、4 D、4、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为() A、 B、1 C、1 D、答案C解析由AFx轴知点A坐标
7、为，代入双曲线方程中得，1，双曲线与抛物线焦点相同，c，即p2c，又b2c2a2，1，由e代入整数得，e46e210，e1，e232，e1.5、若x1，则有（） A、最小值1 B、最大值1 C、最小值1 D、最大值1解：若x1，则=+2=1，当且仅当=时，取等号故 有最小值为1，故选A6、下列说法错误的是() A、命题：“已知f(x)是R上的增函数，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”的逆否命题为真命题 B、“x1”是“|x|1”的充分不必要条件 C、若p且q为假命题，则p、q均为假命题D、命题p：“xR，使得x2x10”，则：“xR，均有x2x10”解析：A中ab0，ab.又函数f
8、(x)是R上的增函数，f(a)f(b)，同理可得，f(b)f(a)，由，得f(a)f(b)f(a)f(b)，即原命题为真命题. 又原命题与其逆否命题是等价命题，逆否命题为真.若p且q为假命题，则p、q中至少有一个是假命题，所以C错误.答案：C7、 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的个数是 () A、2 B、3 C、4 D、5解析：由等差数列的前n项和及等差中项，可得7(nN*)，故n1,2,3,5,11时，为整数答案：D8、抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则最小值是 A、B、C、D、因为抛物线的焦点,准线方程为.过P作准线的垂线交准线于E,则，所以，
9、即，所以当为抛物线的切线时，最大.不妨设P在第一象限，设过A的直线斜率为，则直线的方程为，代入，整理得，由解得，所以，此时，所以点.所以，即则的最小值是.选B9、如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 () A、椭圆B、双曲线 C、抛物线D、圆解析：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)，又显然|MO|FO|，点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆答案：A10、已知等比数列满足，且，则当时， （ C ）A、 B、 C、 D、11、过抛物
10、线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交 其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为 () A、y29x B、y26x C、y23x D、y2x解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|2|BF|得点B到准线的距离为|BF|，则，l与准线夹角为30，则直线l的倾斜角为60.由|AF|3，如图连结AHHC，EFAH，则AE3p，则cos60，故p.抛物线方程为y23x.答案：C12、已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A、(4，) B、(，4C、(10，)
11、 D、(，10解析过点A(0，2)作曲线C：y2x2的切线，设方程为ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k4，当k4时，切线为l，B点在直线x3上运动，直线y4x2与x3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a10时，视线不被曲线C挡住，故选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13、命题“”的否定是_14、已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_4_.15、从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为_ 解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，则N(2xx1,2yy1)，N在直线xy2上，2xx12yy12又PQ垂直于直线
12、xy2，1，即xyy1x10.由得又Q在双曲线x2y21上，1.(xy1)2(xy1)21.整理，得2x22y22x2y10即为中点P的轨迹方程答案：2x22y22x2y1016、过抛物线的焦点的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y22mpy2pm0，y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y24p2m28pm.又焦点在xmym0上，p2m，|y1y2|4，SOAB|y1y2|2，m，平方得m6m42.答案：2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17
13、）（本小题12分）命题p：实数x满足，其中a0，命题q：实数x满足或，且的必要不充分条件，求a的取值范围.解：设Ax|x24ax3a20(a0)x|3axa， 2分 Bx|x2x60或x22x80x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x4或x2x|x4或x2. 4分因为的必要不充分条件，所以 q p，且 p推不出 q而x|4x2，x|x3a，或xa 所以x|4x2 x|x3a或xa， 8分或 10分即a0或a4. 12分18、（本小题12分）已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解
14、析(1)由题意可得m0或m0或4m04m0.故m的取值范围为(4,0 6分(2)f(x)m5m(x2x1)6，x2x10，m对于x1,3恒成立，记g(x)，x1,3，记h(x)x2x1，h(x)在x1,3上为增函数则g(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)， 10分m. 12分19（本小题12分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划
15、当天派用甲乙卡车的车辆数，求公司最大利润。 解析设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得5分利润z450x350y，可行域如图所示 解得A(7,5) 10分当直线350y450xz过A (7,5)时z取最大值，zmax450735054900(元) 12分20（本小题12分） 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意b1，所求椭圆方程为y21. 4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)当ABx轴时，|AB|.
16、6分当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，x1x2，x1x2. 8分|AB|2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立当k0时，|AB|.综上所述，|AB|max2. 10分当|AB|最大时，AOB面积取最大值：Smax|AB|max. 12分21（本小题12分）已知各项均为正数的数列满足， .（）求证：数列是等比数列； （）当取何值时，取最大值，并求出最大值；（）若对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（I）， 即又，所以， 是以为首项，公比为的等比数列 3分（II）由（I）可知 （） 当n=7时，； 当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为 7分（III）由，得 （*）依题意（*）式对任意恒成立，当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意 8分当t0时，由，可知（）而当m是偶数时，因此t0时，由（）, （） 设 （） =, 的最大值为 所以实数的取值范围是 12分 22（本小题10分）设是公比为正数的等比数列， (1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和解析(1)设q为等比数列an的公比，则由得，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，因此q2.所以an的通项为 5分(2) 10分- 14 -
