1、先考虑一个理想的情况无限深方势阱中的粒子.,在阱内 能量本征方程为,势阱表示为,为粒子质量,2.2 方势阱,2.2.1 无限深方势阱,离散谱,注意,与 是待定常数.,而按照边条件 , 得 即,按边条件 则要求,联合式(5)和(3),称为体系的能量本征值.与En 对应的波函数 记为 称为能量本征函数，,利用归一化条件,则归一化的波函数表示为,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,量子经典,符合玻尔对应原理,平均效应明显,设,为阱宽, 为势阱高度,以下讨论 的束缚态情况.,在阱外( , 经典禁区)，能量本征方程为,2.2.2 有限深对称方势阱,则方程 的解具有如下指数函数形式,
2、但考虑到束缚条件 （要求 处 ），波函数应取如下形式,，其中,常数 和 待定.当 （无限深势阱） 即 ，则当 ，上式 。,在阱内( ，经典允许区)，能量本征方程为,与2.2.1无限方势阱的结论一致,令,则方程 的解可表为如下振荡函数形式：,(a)偶宇称态,根据 (12)和(14)式 ，有,或,引入无量纲参数,对于超越方程组(15), 可用数值计算求解或用图解法近似求解。,在右图中, 数值V0a2给定，(15a)、 (15b)曲线的交点给出 的解,由此可求出 。,(b)奇宇称态,时, 才可能出现最低的奇宇称能级.,奇宇称态与偶宇称态不同, 只当,2.2.3 束缚态与离散态,束缚能量本征态 的能量
3、是离散的, 按照能量本征方程,时, 曲线向下弯；时, 曲线向上弯。,2.2.4 方势垒的反射与透射,设具有一定能量 的粒子沿 轴正方向射向方势垒,从量子力学观点来看，考虑到粒子的波动性,此问题与波碰到一层厚度为 a 的介质相似, 即有一部分波透过,一部分波被反弹回去.,先考虑 情况.在势垒外( ,经典允许区), 能量的本征方程表示为,由于势垒的存在, 在 区域中, 既有入射波 , 也有反射波 , 而在 区域中只有透射波 所以,(16),式中 和 分别表示反射波与透射波；,所以概率反射系数 = 概率透射系数 =,按照,已令入射波幅为1，而透射波幅S和反射波幅R待定。,在势垒内部( ,经典禁区),
4、其能量本征方程为,按式 ，在 点 的连续性条件导致,消去R 解出,类似, 在 点 的连续性条件导致,类似, 消去S, 可得出反射系数|R|2为,反射系数,表示粒子被势垒反弹回去的概率, 表示粒子透过势垒的概率.,可以看出,粒子能穿透比它动能更高的势垒 的现象称为隧穿效应,经典量子,隧道效应,? ? !,势垒的贯穿,经典力学：,特点1 能量、动量取分立值,特点2 不管小球的能量有多小，都能穿过比它能量高得多的势垒！,小球的运动能量连续,量子力学效应：,不能越过高势垒,对于 情况,从 式可以看出,只需在式 中, 把,利用 式, 可改写成,此时,对于方势阱的透射, 上述理论仍然适用,透射系数T仍由式
5、（29）给出,但应把 ,即,2.2.5 方势阱的反射,透射与共振,由式（31）可以看出，如果 ，则一般来说 T 值很小，除非入射粒子能量 E 合适，使 此时，T=1（反射系数 ），该现象称为共振透射。它出现的条件是,由式 可求出共振时的能量,如粒子能量很小，按2.2.2节的讨论，是可能形成束缚态的. 这相当于式 (34) 中量子数 较小的情况。 如果 较大，使 则不能形成束缚态. 但如能 量 合适，或满足式 (34)，则将出现共振透射。式 (34) 所确定的能级 称为共振能级（见P41） 。,但共振能级不一定是束缚态能级。只有当入射粒子能量 E 很小时，才可能有束缚态出现，其束缚态能级为,束缚态对应于n 较小的情况(满足 )。,
