1、,第四节 导数的应用,一、Lagrange中值定理,二、LHospital法则,三、函数的单调性与极值,四、曲线的凹凸性与拐点,五、函数曲线的渐近线,六、函数图形的描绘,一、Lagrange中值定理,或,几何解释,注意 Lagrange中值定理亦称微分中值定理,它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.它是沟通导数和函数之间的桥梁.,推论1,推论2,例2-34 证明,证明,例如,二、LHospital法则,1,定理2-4 LHospital法则,如果函数 与 满足下列三个条件,(1) 当 (或 )时,函数 与 都趋于 或都趋于 ;,(2) 当 (或 )时,函数
2、 与 都存在,且 ;,(3) 存在或者无穷大,则当 或 时,例2-35,解,例2-36,解,例2-37,解,例2-38,解,方法 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,方法,2,（1）,例2-39,解,方法,（2）,例2-40,解,方法,解,（3）,例2-41,解,解,例2-42,例2-43,解 利用洛必达法则,例,洛必达法则失效!,注意 洛必达法则不是万能的,(两边同乘以 ),事实上,三、函数的单调性与极值,1函数的单调性,定理2-5 若函数 在区间 内可导,且 (或 ),则函数 在区间 上单调增加(或单调减少).,证,应用拉氏中值定理,得,解,例2-44 讨论函数 在 内的单调性
3、.,由定理2-5, 在 上单调增加,解,例2-45 讨论函数 的单调性.,求单调区间的方法,解 定义域为,例2-46,例2-47 求函数 的单调区间.,解,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义2-3 函数 在 点某邻域内有定义,若 在该邻域内有,(或 ),则称 为 的一个极大值(或极小值).并称 为 的极大值点(或极小值点).,2函数的极值,极大值点,极小值点,问题1 极值点在什么地方取得?,问题2 如何判断在该点取得极大值还是极小值?,定理2-6 设函数 在点 处可导,且在 处取得极值,则 .,满足 的点,称为驻点.,注意 可导函数的的极值点必定是驻点,但函数
4、的驻点不一定是极值点.,例如,如何来判断驻点是极值点呢?,定理2-7 (第一判别法) 设函数 在点 的某邻域内可导,且 ;,(1)若 时， 时, 则 在 点取得极大值.,(2)若 时， 时, 则 在 点取得极小值.,(是极值点情形),(3)若当 在 两侧时, 符号不变，则 在 点不取极值.,(不是极值点情形),注意 函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,求极值的步骤:,如函数 在 不可导,但 取得极小值.,解,列表讨论,例2-48 求 的极值.,定理2-8 (第二判别法)设函数 在 点有二阶导数,且 .,(1)若 ,则 是 极大值;,(2)若 ,则 是 极大值;,(3)若 ,无法判断 是否在
5、 处取得极值.,证明,解,例2-49 求 的极值.,注意,而,3.最大值与最小值,求最大值与最小值步骤:,(1)求驻点和不可导点;,(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个最大就是最大值,那个最小就是最小值;,注意 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),解,计算得,例2-50 求函数 在 的最值.,比较得:,实际问题求最值应注意,(1)建立目标函数; (2)求最值,令 得驻点 时, 不存在.,例2-51 肌肉注射或皮下注射药物后,血中的药物浓度可表示为,解,令 ,可得,其中 、 、 是大于零的常数,且 ,问时间 为 何值时,药物浓度为最大,最大浓度是多
6、少?,故 时, 取极大值,五、曲线的凹凸性与拐点,凹,凸,问题:如何判断曲线的凹凸性呢?,通过观察可知,若曲线在区间a,b上凹的,则 ;若在区间a,b上凸的,则 .因此有下面的定理.,定理2-19,例2-52,解,注意到,求拐点的步骤:,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.,注意 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在,解,例2-53 讨论曲线 的凹凸性及拐点.,故 和点 是曲线的拐点.,定义2-5,六、函数曲线的渐近线,1.垂直渐近线,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,如果 且,例2-54 求 渐近线.,七、函数作图,利用函数特性描绘函数图形步骤,例2-55 描绘函数曲
7、线 的图像.,解 函数 的定义域为 .,则 为曲线 的垂直渐近线.,补充,根据以上信息绘出图形,函数为偶函数, 图形关于y轴对称,解 定义域为,例2-56 描绘函数曲线 的图像.,令 得 ;,令 得,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,例2-57 1970年,Page在实验室饲养雌性小鼠,通过收集大量资料分析,得小鼠的生长函数为,其中, 为体重, 为时间.试描绘小鼠生长函数的曲线.,解 定义域为,显然,令 ,解得,为水平渐近线,此曲线符合Logistic生长曲线.由图形可以看出,小鼠开始时增长缓慢,然后较快,最后变缓慢,而在拐点处附近生长最快.,主要内容,1.拉格朗日中值定理,2.洛必达法则,3.单调性 凹凸性 极值 最值 极值点 拐点,4.渐近线,5.作图,
