1、1试验可以在相同条件下重复进行；2试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果；3试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制)通常用字母E表示随机试验(以后简称试验)例如：,例如：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况：掷一颗骰子，观察出现的点数：向一个靶子发射一颗子弹，观察打中的环数：检查一大批灯泡的寿命,基本事件(样本点， 或 )： 一次试验可能出现的每一个直接的结果也就是随机试验不能够再分解的结果如 有两个基本事件： =出现正面， =出现反面有六个基本事件： =出现 点， ,基本空间(样本空间， 或 或 U )： 全体基本事件的集合,如 的基本空间为 ； 的基本
2、空间为 或 1，2，3，4，5，6,二、事件的关系与运算,就是在 中的基本事件，一定都含在 中对任一事件 都 有 ,当事件 与 互不相容时， 记作 ,在一个试验中，有许多随机事件一个事件在一次试验中可能发生，也可能不发生有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小概率就是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标,一、概率的统计定义,第二节 概率的古典定义,例1 古代学者摩根(Morgan)、蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Peason)，分别做 了多次抛掷硬币的试验，观察正面出现的次数，记录结果如表1-1所示 其中 是抛掷硬币的次数， 表示事件“出现正面”， 是在 次试验中正面出现的次数， 表示
3、 次试验中正面出现的频率,二、古典概型1等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型：(i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间， ；,(ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的,例2 将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概率,例3 将一颗匀称的骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率；(2)求两次出现的点数相同的概率,包含有 =6个基本事件(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)，所以,，,3排列组合简介有些古典概型中基本事件总数 与事件 所包含的基本事件数 ，需用排列组合的公式来计算,(1) 加法原理
4、与乘法原理加法原理：如果进行某过程有种 方式，而第种 方式有 种方法 ，则完成该过程共有 种方法,乘法原理：进行某过程必须经过 个步骤，而第个 步骤有 种方法 ，则完成该过程共有 种方法,(3) 常用的组合公式1从 个不同元素中任取 ( )个元素(不考虑次序)作成一组，共有,种组合方法,2把 个不同的元素分成 组，使得第 组恰有个 元素， ，则共有种分组方法,例4 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率解 设 表示事件“取出的两球都是白球”，基本事件总数为 ，,例6 从1, 2, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概率是多少？,解 设 表示事件“取出的
5、三个数字大小在中间的数字恰好为5”,基本事件总数为 ， 所包含的基本事件数为 ，,因此所求概率为,例7 设某城市共有 辆汽车，车牌号码从1到 ，有一个人将他所遇到的该城市的 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰好为 (1 )的概率,设 表示事件“抄到的最大车牌号码正好为 ”，则有,例8 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级去，其中一班4名，二班5名，三班6名(1)求每一个班级各分到一名优秀生的概率；(2)求3名优秀生都分到二班的概率,(2)设 表示事件“3名优秀生都分到二班”， 所包含的基本事件数 ，则有 ,例9 一个
6、班级有30人，要用抽签的办法分配5张电影票，问第1人抽到电影票和第30个人抽到电影票的概率各为多少？,4古典概率的基本性质设 为等可能概型，基本空间为 ， ， 为 中的事件,性质2 =1证 必然事件 所包含的基本事件数 恰好是基本事件总数，所以,性质3 若 互不相容，则有，或者写成 ,三、几何概型几何概型：如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域 上任取一点，而所取的点落在区域中任意两个度量(长度、面积、体积)相等的子区域内的可能性是相等的，则称此试验为几何概型,对于任何有度量的子区域 ，我们同时以 表示事件“任取一点落在区域 内”，定义事件 的概率为,解 设两个数分别为 、 ，0
7、1，0 1， 为平面上一点，所有点的集合构成基本空间 ，即图中的正方形区域，其面积为 ，,设 表示事件“两数之积大于 ，之和不大于1”，即 表示图中阴影部分，其面积为 ,因此,例11 (蒲丰投针问题)在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为 ，向平面任意投掷一枚长为 的圆柱形的针，试求此针与任一平行线相交的概率,由这个不等式确定的区域记作 ，如图中的阴影部分，同时以 表示事件“针与最近一条平行线相交”,Smith在1855年投针3204次，得到 的近似值为3.1554；,Lazzerini在1901年投针34080次，得到 的近似值为3.1415929,第三节 概率的公理化定义及概率的性质
8、,定义 设 是一个随机试验， 是基本空间，对 的每一事件 ，如果存在着一个实数(记作 )，它满足以下三个条件：,(i) 0 (非负性)；(ii) (规范性)；(iii) 对于两两互不相容的事件 ，有,性质1 证 由 ，再根据可列可加性，有， 又因为 0，所以必有 ,性质2 设 为 个互不相容的事件，则有，(有限可加性),证 令 ，则 为两两互不相容的事件，由可列加性及性质1，有,性质3 对任一事件 ，有（或） ,性质4 若 ，则有且 ,证 ， 又 ，因此有，同时由 0 有 ,推论 对任意三个事件 , , 有(多除少补原理),第四节 条件概率,表示事件“两次都取到红球”，则 ，,， ， ， ，注
9、意区分 与 ,定理 若 ，则 ；若 ，则 ,例2 一批零件共100件，次品率10%，接连两次从这批产品中任取一个，不放回，求第二次才取得正品的概率,推论 设 为三事件，且 ，则 ,例3 已知在20个同种零件中有3个次品，从这20个中任取3次，不放回，求：(1) 三个都是合格品的概率；(2) 至少有一个合格品的概率；(3) 一个是合格品二个是次品的概率,二、全概率公式定义 设试验 的基本空间为 ，事件 满足：,定理 设 为试验 的基本空间， 为 的一个随机事件， 为 的一个划分，且有 ，则,例5 某车间有四个班组生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%、20%、30%、,35%，次品率分别为0
10、.05、0.04、0.03、0.02，现从全部产品中任取一件，间恰好取到次品的概率是多少？,例6 在两个袋中分别放有 及 个白球和 及 个黑球，今任选一袋， 从中任取一球，求取出白球的概率,例7 将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个球第一个盒中7个红球3个黄球，第二个盒中5个黑球5个白球，第三个盒中8个黑球2个白球先在第一盒中任取一球，若取到红球则在第二个盒中任取一球；若在第一盒中取到黄球则在第三个盒中任取一球，求第二次取到黑球和第二次取到白球的概率各为多少？,解 设 表示事件“从第一个盒中取到红球”，则 表示事件“从第一个盒中取 到黄球”设 表示事件“第二次取到黑球”，则 表示事件“第
11、二次取到白球”,(或 ),练习 有10箱同样的产品，每箱数量相同，其中一厂的产品有5箱，二厂的产品有3箱，三厂的产品有2箱，各厂次品率依次为10%、15%、5%现从全部产品中任取一件，求取到次品的概率（答案0.105）,三、贝叶斯公式 设 为试验 的基本空间， 为任一事件， 为 的一个划分 ， ， ( )，则,（ ）,证明 由全概率公式，,再由条件概率公式及乘法公式，得,(2) ，,第五节 事件的独立性,在有放回抽样的情况下，有 ，此时 ， 说明事件 发生与否，不影响事件 的概率于是我们就说事件 与事件 是 相互独立的,性质1 若 ，则事件 与事件 相互独立的充分必要条件是,例2 设 与相 互
12、独立， ，求 ,例3 两人分别独立地向同一目标各射击一次，甲命中率为0.9，乙命中率为0.8，求目标被击中的概率,例4 某一系统中的一个元件正常工作的概率叫做该元件的可靠性，由若干个元件组成的系统正常工作的概率叫做该系统的可靠性设有3个元件，每 个元件的可靠性均为 ，且各元件是否正常工作是相互独立的，试求由这3个元件串联而成的系统以及由这三个元件并联而成的系统的可靠性,解 设 表示事件“第 个元件正常工作” ，表示事件“串联系统正常工作”， 表示事件“并联系统正常工作”则有,事实上，事件 在指定的 次发生，其余 次不发生的概率 为 ，而在 次重复独立试验中， 恰有 次发生 的个数为 个，所以,例1 某人向一目标独立射击100次，每次命中率为0.1，求恰好击中两次和至少击中一次的概率,从上例中可以看出，每次射击命中率很小，只有0.1，但重复进行下去，几乎肯定能够击中目标,例2 某车间有10台机床相互独立地运行，设每台机床出故障的概率为0.2，求在同一时刻有3台到5台机床出故障的概率,例3 在100件产品中有10件次品，现随机抽取5次，每次取1件，取后放回求取出2件次品和至少取到1件次品的概率,例4 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为0.96，问需要发射几枚导弹，才能保证击中敌机的概率大于0.999？,
