1、5正弦函数的性质与图像51正弦函数的图像1问题导航(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？(2)利用“五点法”作ysin x的图像时，x依次取，0，可以吗？(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？2例题导读 P27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数yasin xb在0，2上的简图 试一试：教材P28练习题你会吗？ 1正弦函数的图像与五点法(1)图像：正弦函数ysin x的图像叫作正弦曲线，如图所示(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，(，0)，(2，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数ysin
2、 x在0，2上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”(3)利用五点法作函数yAsin x(A0)的图像时，选取的五个关键点依次是：(0，0)，(，0)，(2，0)2正弦曲线的简单变换函数ysin x与ysin xk图像间的关系当k0时，把ysin x的图像向上平移k个单位长度得到函数ysin xk的图像；当k0时，把ysin x的图像向下平移|k|个单位长度得到函数ysin xk的图像1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin x的图像与y轴只有一个交点()(2)函数ysin x的图像介于直线y1与y1之间()(3)用五点法作函数y2sin x在0，2上的图像时，应选取的五个
3、点是(0，0)，(，0)，(2，0)()(4)将函数ysin x，x，位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y|sin x|，x，的图像()解析：(1)正确观察正弦函数的图像知ysin x的图像与y轴只有一个交点(2)正确观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y1与y1之间(3)正确在函数y2sin x，x0，2的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，(，0)，(2，0)(4)正确当x，时，y|sin x|于是，将函数ysin x，x，位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像翻折到x轴上方即可得函数y|sin x|，x，的图像答案：(1)(2)(3)(
4、4)2用五点法画ysin x，x0，2的图像时，下列点不是关键点的是()A.B.C(，0) D(2，0)解析：选A.用五点法画ysin x，x0，2的图像，五个关键点是(0，0)，(，0)，(2，0)3用五点法画ysin x，x0，2的简图时，所描的五个点的横坐标的和是_解析：025.答案：54(1)正弦曲线在(0，2内最高点坐标为_，最低点坐标为_(2)在同一坐标系中函数ysin x，x(0，2与ysin x，x(2，4的图像形状_，位置_(填“相同”或“不同”)解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2内最高点为，最低点为.(2)在同一坐标系中函数ysin x，x(0，2与ysin x，
5、x(2，4的图像，形状相同，位置不同答案：(1)(2)相同不同1ysin x，x0，2与ysin x，xR的图像间的关系(1)函数ysin x，x0，2的图像是函数ysin x，xR的图像的一部分(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)，kZ且k0的图像与函数ysin x，x0，2的图像形状完全一致，因此将ysin x，x0，2的图像向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度)就可得到函数ysin x，xR的图像2“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐(2)“五点法”的实质
6、是在函数ysin x的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中3关于“五点法”画正弦函数图像的要点(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高(2)五个点必须是确定的五点(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”用五点法作正弦型函数的图像 用
7、五点法画函数y2sin x1，x0，2的简图(链接教材P27例1)解步骤：列表：x02sin x01010y11131描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，1)，(，1)，(2，1)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y2sin x1，x0，2的简图，如图所示方法归纳作形如函数yasin xb，x0，2的图像的步骤1(1)函数f(x)asin xb，(x0，2)的图像如图所示，则f(x)的解析式为()Af(x)sin x1，x0，2Bf(x)sin x，x0，2Cf(x)sin x1，x0，2Df(x)sin x，x0，2(2)用五点法作出下列函数的简图y2sin x，x0，
8、2；y2sin x，x0，2解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f(x)asin xb，x0，2，不妨将(0，1)与代入得解得b1，a0.5，故f(x)sin x1，x0，2(2)列表：x02ysin x01010y2sin x02020描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示列表：x02ysin x01010y2sin x21232描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：利用正弦函数的图像求函数的定义域 求函数f(x)lg (sin x)的定义域(链接教材P30习题15 A组T4)解由题意，x满足不等式组即作出ysin x的图像，如图所示结合图像可得：该函数的定义域为4，)(0，)方法归纳一些
9、三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况2求函数y的定义域. 解：为使函数有意义，需01sin x；当x时，sin xsin1，1，从而x0时，有3个交点，由对称性知xa(a，则观察ysin x在直线ya上方的图像这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围若解sin xa，则观察ysin x在直线ya下方的图像这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围1函数y1sin x，x0，2的大致图像是()解析：选B.利用五点法画图，函数y1sin x，x0，2的图像一定过点(0，1)，(，1)，(2，1)，故B项正确
10、2已知点M在函数f(x)sin x1的图像上，则b_解析：bfsin12.答案：23若函数f(x)2sin x1a在上有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)0得2sin x1a.作出y2sin x在x上的图像，如图所示要使函数f(x)在上有两个零点，需满足1a2，所以1a0，故排除C，故选A.6在0，2上，满足sin x的x的取值范围为_解析：在同一直角坐标系内作出ysin x和y的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为.答案：函数ysin x的图像和y的图像交点个数是_解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：由图可知交点个数是3.答案：3已知sin
11、xm1且xR，则m的取值范围是_解析：由ysin x，xR的图像知，1sin x1，即1m11，所以0m2.答案：0m2用“五点法”画出函数y3sin x(x0，2)的图像解：(1)列表，如表所示：x02ysin x01010y3sin x32343(2)描点，连线，如图所示若函数f(x)sin x2|sin x|，x0，2的图像与直线yk有且只有两个不同的交点，求k的取值范围解：f(x)作出函数的图像如图：由图可知当1k0，对于函数f(x)(0x)，下列结论正确的是()A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值D既无最大值也无最小值解析：选B.f(x)1.因为0x，所以0s
12、in x1.所以1.所以1a1.所以f(x)有最小值而无最大值故选B.3已知f(sin x)x且x，则f_解析：因为x，所以sin x时，x，所以ff.答案：4若x是三角形的最小角，则ysin x的值域是_解析：不妨设ABC中，0ABC，得0AB，且0AC，所以03AABC，而ABC，所以03A，即0A.若x为三角形中的最小角，则01；y1，在y1下方部分时y1；当x(0，)时，y1.(2)如图所示，当直线ya与y12sin x有两个交点时，1a3或1a1.所以a的取值范围是a|1a3或1a16(选做题)已知函数yf(x)为奇函数，且是上的减函数，f(1sin )f(1sin2)0，求的取值范围解：由题意可知f(1sin )f(1sin2)因为f(x)是奇函数，所以f(1sin2)f(sin21)，所以f(1sin )f(sin21)又由f(x)是上的减函数，所以所以解得sin 1，所以2k2k(kZ)或2k2k(kZ)，所以的取值范围为(kZ)12
