（重点班）2017届高三数学一轮复习 第十篇 统计与统计案例 理（课件+习题）（打包6套）.zip

第十篇 统计与统计案例 (必修 3、选修2— 3)六年新课标全国卷试题分析第 1节 随机抽样1.理解随机抽 样 的必要性和重要性 .2.会用 简单 随机抽 样 方法从 总 体中抽取 样 本 ;了解分 层 抽 样 和系统 抽 样 方法 .最新考纲知识链条完善考点专项突破经典考题研析知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.把总体中的个体编号后 , 使用系统抽样方法抽取到的样本号码一定成等差数列吗 ?提示 :不一定 ,只要在分段的各段中 ,按照一定的规则抽取一个样本即可 .2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中每个个体被抽的机会均等吗?提示 :均等 ,三种抽样都是等概率抽样 .知识梳理 1.简单随机抽样(1)定义 :一般地 ,设一个总体含有 N个个体 ,从中 抽取 n个个体作为样本 (n≤N ),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 .(2)方法 : 和随机数法 .(3)简单随机抽样的特点 :① 被抽取样本的总体个数 N是有限的 ;② 样本是从总体中逐个抽取的 ;③ 是一种不放回抽样 ;④ 是等可能抽取 .逐个不放回地相等抽签法2.系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号 ,等距分组 ,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本 ,然后按分组的间隔 (称为抽样距 )抽取其他样本 ,这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样 .要从容量为 N的总体中抽取容量为 n的样本 ,可采取以下步骤 :(1)先将总体的 N个个体编号 .(3)在第 1段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k ).(4)按照一定的规则抽取样本 ,通常是将 l加上间隔 k得到第 2个个体编号l+k,再加 k得到第 3个个体编号 l+2k,依次进行下去 ,直到获取整个样本 .3.分层抽样一般地 ,在抽样时 ,当总体由有明显差别的几部分组成时 ,将总体分成互不交叉的层 ,然后按照一定的比例 ,从各层独立地抽取一定数量的个体 ,将各层取出的个体合在一起作为样本 ,这种抽样方法是一种分层抽样 .4.三种抽样方法的比较类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样均 为 不放回抽样 ,且抽 样过程中每个个体被抽取的机会相等从 总 体中逐个抽取是后两种方法的基 础总 体中的个体数 较 少系统抽样将 总 体均分成几部分 ,按事先确定的 规则 在各部分抽取在起始部分抽样时 采用 简单 随机抽 样总 体中的个体数 较 多分层抽样将 总 体分成几层 ,分 层进 行抽取各 层 抽 样时采用 简单 随机抽 样 或系统 抽 样总 体由差异明显 的几部分组 成【 重要结论 】1.系统抽样是把总体均匀分段后 ,每段中各抽取一个样本 .2.分层抽样中各层中个体的个数与抽取的样本的个数之比相等 .夯基自测1.某学校为了调查高二年级的 80名文科学生和高三年级的 120名文科学生完成课后作业所需时间 ,采取了两种抽样调查的方式 :第一种由学生会的同学随机抽取高二年级 8名和高三年级 12名同学进行调查 ;第二种由教务处对这两个年级的文科学生进行编号 ,从 001到 200,抽取学号最后一位为 2的同学进行调查 ,则这两种抽样的方法依次为 ( )(A)分层抽样 ,简单随机抽样(B)抽签法 ,随机数法(C)分层抽样 ,系统抽样(D)简单随机抽样 ,系统抽样2.采用系统抽样方法从 960人中抽取 32人做调查 ,为此将他们编号为1,2,3,…,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的 32人中 ,编号落入区间 [1,450]的人数为 ( )(A)10 (B)14 (C)15 (D)16CCB 4.某工厂生产 A,B,C三种不同型号的产品 ,产品的数量之比依次为3∶4∶7, 现在用分层抽样的方法抽出容量为 n的样本 ,样本中 A型号产品有 15件 ,那么样本容量 n为 . 答案 :705.某学校三个社团的人员分布如表 (每名同学只参加一个社团 ):合唱社 文学社 书 法社高一 45 30 a高二 15 10 20学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查 ,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30人 ,结果合唱社被抽出 12人 ,则这三个社团人数共为 . 答案 :150考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 简单随机抽样【 例 1】 (1)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20个个体组成 .利用下面的随机数表选取 5个个体 ,选取方法是从随机数表第 1行的第 5列和第 6列数字开始由左到右依次选取两个数字 ,则选出来的第 5个个体的编号为 ( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481(A)08 (B)07 (C)02 (D)01解析 :(1)从左到右第 1行的第 5列和第 6列数字是 65,依次选取符合条件的数字分别是 08,02,14,07,01,故选出来的第 5个个体的编号为 01.故选 D.答案 : (1)D (2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有 . ① 从无限多个个体中抽取 100个个体作为样本 .② 盒子里共有 80个零件 ,从中选出 5个零件进行质量检验 .在抽样操作时 ,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 .③ 从 20件玩具中一次性抽取 3件进行质量检验 .④ 某班有 56名同学 ,指定个子最高的 5名同学参加学校组织的篮球赛 .解析 :(2)① 不是简单随机抽样 .② 不是简单随机抽样 .它是放回抽样 .③ 不是简单随机抽样 .因为这是 “ 一次性 ” 抽取 ,而不是 “ 逐个 ” 抽取 .④ 不是简单随机抽样 .因为指定个子最高的 5名同学是 56名中特指的 ,不存在随机性 ,不是等可能抽样 .答案 :(2)①②③④(2)实现简单随机抽样 ,常用抽签法和随机数法 .(3)利用随机数法选取样本号码时要注意① 当随机地选定开始读数的数后 ,读数的方向可以向右 ,也可以向左、向上、向下等 ;② 在读数过程中 ,应注意查验 ,所取号码是否在编号范围内 ,是否与前面所取号码重复 .【 即时训练 】 下列抽样方法中是简单随机抽样的是 ( )(A)从某学校教师、学生、后勤人员中分别抽取 6人、 30人、 3人了解学校发展状况(B)用随机数法从 50件产品中抽取 5件进行检验(C)为了调查某种啤酒质量 ,每隔 5分钟从传送带上取一瓶啤酒进行检验(D)某单位有老年人 28人 ,中年人 54人 ,青年人 81人 ,为调查身体健康状况 ,需要从中抽取一个容量为 36的样本解析 :A,D两项不是简单随机抽样 ,因为总体组成部分差异明显 ,是分层抽样 ;C项是指按照一定规则进行抽样 ,不是简单随机抽样 ,简单随机抽样可用抽签法和随机数法 .故选 B.考点二 系统抽样 【 例 2】 (2014高考广东卷 )为了解 1 000名学生的学习情况 ,采用系统抽样的方法 ,从中抽取容量为 40的样本 ,则分段的间隔为 ( )(A)50 (B)40 (C)25 (D)20(2)各段中抽取且只抽取一个个体 ,即如果某段中含有两个及以上个体或者不含个体 ,这样的抽样一定不是系统抽样 .【即时训练】 为调查某校数学作业的情况 ,市教育局从全校的 103个班中抽取 25个班了解情况 ,若采用系统抽样法 ,则抽样中随机剔除的个体数和间隔分别为 ( )(A)1,25(B)3,25(C)3,4 (D)1,4分层抽样 考点三 【例 3】 (1)(2015高考四川卷 )某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异 ,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查 ,则最合理的抽样方法是 ( )(A)抽签法 (B)系统抽样法(C)分层抽样法 (D)随机数法解析 :(1)因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异 ,所以采用分层抽样的方法最合理 .故选 C.(2)(2015高考北京卷 )某校老年、中年和青年教师的人数见下表 ,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况 ,在抽取的样本中 ,青年教师有 320人 ,则该样本中的老年教师人数为 ( )类别 人数老年教 师 900中年教 师 1 800青年教 师 1 600合 计 4 300(A)90 (B)100 (C)180 (D)300反思归纳 (1)分层抽样中 “ 依类分层 ” ,同类的、相似的分在一层 .【 即时训练 】 (1)(2014高考天津卷 )某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向 ,拟采用分层抽样的方法 ,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查 .已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6, 则应从一年级本科生中抽取 名学生 . 答案 :(1)60 (2)(2014高考湖北卷 )甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800件 ,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80的样本进行质量检测 .若样本中有 50件产品由甲设备生产 ,则乙设备生产的产品总数为 件 . 解析 ： (2)分层抽样中各层的抽样比相同 .样本中甲设备生产的有 50件,则乙设备生产的有 30件 .在 4 800件产品中 ,甲、乙设备生产的产品总数比为 5∶3,所以乙设备生产的产品总数为 1 800件 .答案 : (2)1 800备选例题 【 例 1】 一个总体中有 100个个体 ,随机编号为 0,1,2,3,…,99, 依编号顺序平均分成 10组 ,组号依次为 1,2,3,…,10. 现用系统抽样方法抽取一个容量为 10的样本 ,规定如果在第 1组随机抽取的号码为 m,那么在第 k组中抽取的号码的个位数字与 m+k的个位数字相同 ,若 m=6,则在第 7组中抽取的号码是 . 解析 :由题设知 ,若 m=6,则在第 7组中抽取的号码的个位数字与 13的个位数字相同 ,而第 7组中数字编号顺次为 60,61,62,63,… ,69,故在第 7组中抽取的号码是 63.答案 :63【 例 2】 一个社会调查机构就某地居民的月收入 (单位 :元 )调查了10 000人 ,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图 (如图所示 ).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系 ,要从这 10 000人中用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查 ,则在 [1 500,2 000)收入段应抽出 人 . 1第十篇 统计与统计案例(必修 3、选修 2 3)第 1 节 随机抽样【选题明细表】知识点、方法 题号简单随机抽样 5系统抽样 3,7,9,14分层抽样 4,6,8,10,12,13,15抽样方法的综合 1,2,11基础对点练(时间:30 分钟)1.下列说法中正确的个数是( C )①总体中的个数不多时宜用简单随机抽样法;②在总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样;③百货商场的抓奖活动是抽签法;④在系统抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率相等(有剔除时例外).(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样,④不正确.2.要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、200 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的 5 名艺术特长生中选出 3名调查学习负担情况, 宜采用的方法依次为( B )(A)①简单随机抽样,②系统抽样(B)①分层抽样,②简单随机抽样(C)①系统抽样,②分层抽样(D)①②都用分层抽样解析:①中总体是由有明显差异的三部分组成,宜采取分层抽样的方法;②中总体的容量比较小,宜采用简单随机抽样.3.现要完成下列 3 项抽样调查:①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取听众意见,需要请 32 位听众进行座谈;③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意义,拟抽取一个容量为 20 的样本,较为合理的抽样方法是( A )(A)①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样(B)①简单随机抽取,②分层抽样,③系统抽样(C)①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样(D)①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样解析:①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分段,宜用系统抽样;③各层间差距较大,宜用分层抽样.故选 A.4.一支田径队共有运动员 98 人,其中女运动员 42 人,用分层抽样的方法抽取一个样本,每名2运动员被抽到的概率都是,则男运动员应抽取( C )(A)12 人 (B)14 人 (C)16 人 (D)18 人解析:设男运动员应抽取 x 人,则 =,解得 x=16.𝑥98‒425.从某 500 件产品中随机抽取 50 件进行质检,利用随机数法抽取样本时,先将这 500 件产品按 001,002,003,…,500 进行编号.如果从随机数表的第 7 行第 4 列的数 2 开始,从左往右读数,则依次抽取的第 4 个个体的编号是( D )附:随机数表第 6 行至第 8 行各数如下:16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(A)217 (B)245 (C)421 (D)206解析:产品的编号为 3 位号码,故每次的读数取三位数,第一个三位数为 217,依次取出符合条件的号码为 157,245,206,故第 4 个个体的编号为 206.6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由已知得抽样比为 =,2040+10+30+20所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为×(10+20)=6.7.(2016 福建省高中毕业班质检)某校为了解本校高三学生学习心理状态,采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40 人参加某项测试,为此将题目随机编号 1,2,…,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为 18,抽到的 40 人中,编号落入区间[1,200]的人做试卷A,编号落入区间[201,560]的人做试卷 B,其余的人做试卷 C,则做试卷 C 的人数为( B )(A)10 (B)12 (C)18 (D)28解析:每 20 人抽取一人,做试卷 C 的学生编号为[561,800],共有 240 个编号,故抽取人数为=12.240208.(2016 湖南常德高考模拟)某校有老师 320 人,男学生 2 200 人,女学生 1 800 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为 45 人,则 n= . 解析: = ,解得 n=108.𝑛320+2 200+1 800451 800答案:1089.(2015 辽宁大连一模)将高一 9 班参加社会实践编号为 1,2,3,…,48 的 48 名学生,采用系统抽样(间隔相同“距离”抽取一个样本)的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 5 号,29 号,41 号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编号是 . 解析:每 12 人抽取一人,故在 5 后面的编号为 5+12=17.答案:1710.(2015 辽宁大连二模)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为 . 3解析:设样本中男生人数为 n,则 = .280560+420𝑛560解得 n=160.答案:160能力提升练(时间:15 分钟)11.在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,…,99,抽出 20 个;②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取 4 个,二级品中抽取 6 个,三级品中抽取 10 个.则( A )(A)不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是(B)①②两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是,③并非如此(C)①③两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是,②并非如此(D)采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率各不相同解析:根据三种抽样的定义,简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是随机抽样,每个个体被抽到的概率都相等,都属于等概率抽样.12.(2015 高考福建卷)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 . 解析:设应抽取的男生人数为 x,则 = ,𝑥900‒40045900解得 x=25.答案:2513.(2015 河北保定二模)防疫站对某校高三学生进行身体健康调查,采用分层抽样法抽取.设某校高三有学生 2 400 人,抽取一个容量为 200 的样本,若女生比男生少抽 10 人,则该校的女生人数应该为 . 解析:样本为 200 人,其中女生比男生少 10 人,可得男生抽取 105 人,女生抽取 95 人,设女生人数为 n,得 = ,即得 n=1 140.2002 40095𝑛答案:1 14014.从编号为 001,…,800 的 800 个产品中用系统抽样(间隔相同“距离”抽取一个样本)的方法抽取样本,最小的两个样本的编号为 008,033,则样本中最大的编号应该是 . 解析:分段间隔为 33-8=25,故抽取 =32 个样本,故最大编号为 8+31×25=783.80025答案:78315.从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)频数(个) 5 10 20 15(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在[80,85)的有几个?(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率.解:(1)由题意知苹果的样本总数 n=50,4在[90,95)的频数是 20,所以苹果的重量在[90,95)的频率是 =0.4.2050(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取 x 个,则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4-x)个.因为表格中[80,85),[95,100)的频数分别是 5,15,所以 5∶15=x∶(4-x),解得 x=1.即重量在[80,85)的有 1 个.(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,重量在[80,85)的有 1 个,记为 a,重量在[95,100)的有 3 个,记为 b1,b2,b3,任取 2 个,有 ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共 6 种不同方法.重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的事件记为 A,事件 A 包含的基本事件为 ab1,ab2,ab3,共 3 个,由古典概型的概率计算公式得 P(A)==.精彩 5 分钟1.(2015 郑州市第三次质量预测)某中学有学生 270 人,其中七年级 108 人,八、九年级各 81人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况.①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是( D )(A)②,③都不能为系统抽样(B)②,④都不能为分层抽样(C)①,④都可能为系统抽样(D)①,③都可能为分层抽样解题关键:从分层抽样各层样本数,系统抽样各段有且只有一个样本考虑.解析:每 27 人抽取 1 人,其中七年级学生抽取 4 人,其编号为 1～108,八年级学生抽取 3 人,其编号为 109～189,九年级学生抽取 3 人,其编号为 190～270.据此可以判断①②③均可为分层抽样,但④一定不是分层抽样.①,③中号码间隔距离为 27,故①③一定为系统抽样.如果为系统抽样,在 1～27 中只能有一个样本,故②④一定不是系统抽样.由于③一定为系统抽样,故选项 A 不正确;由于②可以为分层抽样,故选项 B 不正确;由于④一定不是系统抽样,故选项 C 不正确;①③可以为分层抽样,故选项 D 正确.2.某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体.则样本容量 n= .解题关键:列出关于 n 的比例式,利用整数的整除性.解析:6+12+18=36(人).当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,36𝑛5分层抽样的比例是 ,𝑛36抽取工程师 ×6=(人),𝑛36抽取技术员 ×12=(人),𝑛36抽取技工 ×18=(人).𝑛36所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n=6,12,18,36.当样本容量为(n+1)时,总体容量是 35,系统抽样的间隔为 ,35𝑛+1因为 必须是整数,35𝑛+1所以 n 只能取 6,即样本容量 n=6.答案:6第 2节 用样本估计总体知识链条完善考点专项突破解题规范夯实知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.频率分布直方图提供了样本数据的哪些信息 ?提示 :各组数据的频率 .2.茎叶图提供了样本数据的哪些信息 ?提示 :全部的原始数据 .知识梳理 1.作频率分布直方图的步骤2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得频率分布折线图 .(2)总体密度曲线 :随着 的增加 ,作图时所分的组数增加 , .减小 ,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线 ,即总体密度曲线 .中点样本容量 组距3.茎叶图定义 是 统计 中用来表示数据的一种 图 ,茎是指中 间 的一列数 ,叶就是从茎的旁 边 生 长 出来的数画法 对 于 样 本数据 较 少 ,且分布 较为 集中的一 组 数据 :若数据是两位整数 ,则 将十位数字作茎 ,个位数字作叶 ;若数据是三位整数 ,则 将百位、十位数字作茎 ,个位数字作叶 .样 本数据 为小数 时 做 类 似 处 理 .对 于 样 本数据 较 少 ,且分布 较为 集中的两 组 数据 ,关 键 是找到两 组 数据共有的茎优缺点 用茎叶 图 表示数据的 优 点是 (1)所有的信息都可以从茎叶 图中得到 ;(2)便于 记录 和 读 取 ,能 够 展示数据的分布情况 .缺点是当 样 本数据 较 多或数据位数 较 多 时 ,茎叶 图 就 显 得不太方便【 重要结论 】1.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1,纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果 .2.在频率分布直方图中 ,各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数组平均值的估计值 .3.在频率分布直方图中 ,垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分 ,则其对应的数据即为中位数的估计值 .夯基自测解析 :由频率分布直方图的性质 ,可设中间一组的频率为 x,则 x+4x=1,所以 x=0.2,故中间一组的频数为 160×0.2=32.A 2.(2016吉林省实验中学二模 )下列说法中 ,正确的是 ( )(A)数据 5,4,4,3,5,2的众数是 4(B)一组数据的标准差是这组数据的方差的平方(C)数据 2,3,4,5的标准差是数据 4,6,8,10的标准差的一半(D)频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数C3.随机抽取某中学甲、乙两班各 6名同学 ,测量他们的身高 (单位 :cm),获得身高数据的茎叶图如图 ,则甲班样本数据的众数、中位数和乙班样本数据的平均数、方差分别是 . 4.农场种植的甲乙两种水稻 ,在面积相等的两块稻田中连续 6年的年平均产量如下 (单位 :500 g)年份产 量品种第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年 第 6年甲 900 920 900 850 910 920乙 890 960 950 850 860 890则甲乙两种水稻平均产量的标准差分别是 . 解析 :平均值都是 900,甲的标准差约等于 23.8,乙的标准差约等于 41.6.答案 :23.8,41.6考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 频率分布直方图【 例 1】 (2015高考湖北卷 )某电子商务公司对 10 000名网络购物者 2014年度的消费情况进行统计 ,发现消费金额 (单位 :万元 )都在区间 [0.3,0.9]内 ,其频率分布直方图如图所示 .(1)直方图中的 a= ; (2)在这些购物者中 ,消费金额在区间 [0.5,0.9]内的购物者的人数为. 解析 :(1)0.1×1.5+0.1×2.5+0.1×a+0.1×2.0+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得 a=3.(2)区间 [0.5,0.9]内的频率为 1-0.1×1.5-0.1×2.5=0.6, 则该区间内购物者的人数为 10 000×0.6=6 000.答案 :(1)3 (2)6 000反思归纳 (1)纵轴上的数据是频率除以组距 ;(2)各组的频率之和等于 1;(3)各组的频率等于各组的频数除以样本容量 .【 即时训练 】 某工厂对一批产品进行了抽样检测 .如图是根据抽样检测后的产品净重 (单位 :克 )数据绘制的频率分布直方图 ,其中产品净重的范围是 [96,106],样本数据分组为 [96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98克并且小于 104克的产品的个数是 ( )(A)90 (B)75 (C)60 (D)45考点二 茎叶图 【 例 2】 (1)为比较甲、乙两地某月 14时的气温情况 ,随机选取该月中的 5天 ,将这 5天中 14时的气温数据 (单位 :℃) 制成如图所示的茎叶图 .考虑以下结论 :① 甲地该月 14时的平均气温低于乙地该月 14时的平均气温 ;② 甲地该月 14时的平均气温高于乙地该月 14时的平均气温 ;③ 甲地该月 14时的气温的标准差小于乙地该月 14时的气温的标准差 ;④ 甲地该月 14时的气温的标准差大于乙地该月 14时的气温的标准差 .其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( )(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④答案 :(1)B(2)某篮球运动员在一个赛季的 40场比赛中的得分的茎叶图如图所示 ,则这组数据的中位数是 ;众数是 . 解析： (2)由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来 ,处在中间位置的一个 (或是最中间两个数的平均数 ),故从茎叶图可以看出中位数是 23;而众数是样本数据中出现次数最多的数 ,故众数也是 23.答案 :(2)23 23反思归纳 (1)茎叶图保留了全部的样本数据 ;(2)从茎叶图上可以发现样本数据的分散与集中程度 ,从而对样本数据的平均值和方差作出定性判断 .【即时训练】 (1)(2016合肥一中月考 )某中学从甲、乙两个艺术班中各选出 7名学生参加市级才艺比赛 ,他们取得的成绩 (满分 100分 )的茎叶图如图所示 ,其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则 x+y的值为 ( )(A)6 (B)8 (C)9 (D)11解析 :(1)由茎叶图可知 ,茎为 8时 ,甲班学生成绩对应数据只能是 80,80+x,85,因为甲班学生成绩众数是 85,所以 85出现的次数最多 ,可知x=5.由茎叶图可知 ,乙班学生成绩为 76,81,81,80+y,91,91,96,由乙班学生成绩的中位数是 83,可知 y=3.所以 x+y=8.故选 B.用样本估计总体考点三 【例 3】 (1)某企业有 3个分厂生产同一种电子产品 ,第一、二、三分厂的产量之比为 1∶2∶1, 用分层抽样方法从 3个分厂生产的电子产品中共取 100件作使用寿命的测试 ,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的 100件产品的使用寿命的平均值为 h. 答案 :(1)1 013(2)(2015云南昆明二模 )在一次区统考中 ,为了解各学科的成绩情况 ,从所有考生中随机抽出 20位考生的成绩进行统计分析 ,其中数学学科的频率分布直方图如图所示 ,据此估计 ,在本次考试中数学成绩的方差为 .(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ) 解析： (2)考试成绩的平均值为 55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,考试成绩的方差为 (55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.答案 :(2)110反思归纳 (1)计算平均值和方差 ,只要按照公式计算即可 ;(2)如果数据 x1,x2,…, xn在样本中各自出现的频率分别为 p1,p2,…, pn,则这个样本数据的平均数是 =x1p1+x2p2+…+ xnpn,在频率分布直方图中 ,xi通常取其所在组的中间值 .1第 2 节 用样本估计总体【选题明细表】知识点、方法 题号样本的频率分布 1,5,8,9,10,12茎叶图 2,3,4,6,13样本估计总体 7,11,14,15基础对点练(时间:30 分钟)1.为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元),以便引导学生树立正确的消费观.样本容量 1 000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为( B ) (A)780 (B)680(C)648 (D)460解析:根据题意,得样本数据落在[6,14)内的频率是 1- (0.02+0.03+0.03)×4=0.68.所以样本数据落在[6,14)内的频数是 1 000×0.68=680.2.(2015 高考重庆卷)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图:则这组数据的中位数是( B )(A)19 (B)20 (C)21.5 (D)23解析:由题中茎叶图可知,该组数据的中位数为 =20.故选 B.20+2023.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如茎叶图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( B )(A)117 (B)118 (C)118.5 (D)119.5解析:极差为 98-56=42,中位数为 76,其和为 118.4.(2015 河南郑州市二次质量预测)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比值等于( D ) 2(A)1 (B) (C) (D)解析:根据茎叶图,得乙的中位数是 33,所以甲的中位数也是 33,即 m=3;甲的平均数是 = =33,𝑥甲27+33+393乙的平均数是 = =33,解得 n=8,𝑥乙20+𝑛+32+34+384所以=.5.从某校高三年级中随机抽取一个班,对该班 50 名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示,若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为( B )(A)10 (B)20 (C)8 (D)16解析:满足条件的有 3 组:视力在 0.9 到 1.1;视力在 1.1 到 1.3;视力在 1.3 到 1.5,纵轴表示的是频率/组距,所以可以报考 A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).6.(2015 广东省广州市高中毕业班综合测试一)若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示,其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是( C )(A)91,91.5 (B)91,92(C)91.5,91.5 (D)91.5,92解析:中位数为 =91.5,平均数为 90+ =91.5.91+922 ‒2‒3+1+7+4+2+0+387.(2015 高考安徽卷)若样本数据 x1,x2,…,x10的标准差为 8,则数据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1 的标准差为( C )(A)8 (B)15 (C)16 (D)32解析:设样本数据 x1,x2,…,x10的标准差为 s,则 s=8,由标准差定义可知数据 2x1-1,2x2-1,…,2x10-1 的标准差为 2s=16.8.(2015 新疆乌鲁木齐三诊)某校 100 名学生其中考试成绩的频率分布直方图如图所示,其中分组区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中的 a 值为 . 3解析:由题知,组距为 10,根据频率分布直方图得(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,故 a=0.005.答案:0.0059.(2015 甘肃省高三二诊)某商场在庆元宵节促销活动中,对元宵节 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12时的销售额为 万元. 解析:11 时至 12 时的频率为 9 时至 10 时频率的 4 倍,其销售额也大约为其 4 倍,即 10 万元.答案:1010.样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 ,数据落在[2,10)内的概率约为 .解析:样本数据落在[6,10)内的频率是 0.08×4=0.32,样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.32=64;样本数据落在[2,6)内的频率为 0.08,故数据落在[2,10)内的频率为0.32+0.08=0.40,这个值近似代替概率,故数据落在[2,10)内的概率约为 0.40.答案:64 0.40能力提升练(时间:15 分钟)11.(2015 河南开封市高三 5 月冲刺)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示.从抽取的 100 根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于 20 mm 的概率是( A )4(A) (B) (C) (D)310解析:以频率估计概率的思想,位于区间[5,20)的频率即为所求的概率,即(0.01+0.01+0.04)×5= .31012.为了了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a,b 的值分别为( A )(A)0.27,78 (B)0.27,83(C)2.7,78 (D)2.7,83解析:前 4 组成等比数列,由图知第一组的频率是 0.01,故第一组有 1 人;第二组的频率为0.03,故第二组有 3 人;所以第三组 9 人;第四组 27 人,所以 a=0.27.后 6 组共 87 人,设最后一组人数为 x,则 ×6=87,解得 x=2,故公差 d= =-5,所以倒数第二组有 7 人,27+𝑥2 2‒275则 b=87-2-7=78.13.某校开展摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清.若记分员计算无误,则数字 x 应该是 . 解析:最低分显然是 88,若 90+x 为最高分,则平均分是= ≠91,故 90+x 不是最高分,最高分是 94,由89+89+92+93+92+91+947 64075=91,解得 x=1.89+89+92+93+(90+𝑥)+92+917答案:114.某中学共有 1 000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:数学成绩分组 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]人数 60 90 300 x 160(1)为了了解同学们前段时间的复习情况,学校将采用分层抽样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分,求他被抽中的概率;(2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;(3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分.(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)解:(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为 ,样 本容量总 体中的个体数故甲同学被抽到的概率 P= .110(2)由题意得 x=1 000-(60+90+300+160)=390.故估计该中学达到优秀线的人数 m=160+390× =290.120‒110120‒90(3)频率分布直方图如图所示.该学校本次考试的数学平均分=60×15+90×45+300×75+390×105+160×1351 000=90.估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分.15.(2015 吉林长春高三质检)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投中的次数统计如表:学生编号投中次数班名 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 5 7 9 8乙班 4 8 9 7 76(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.解:(1)两个班数据的平均值都为 7,甲班的方差=𝑠21(6‒7)2+(5‒7)2+(7‒7)2+(9‒7)2+(8‒7)25=2,乙班的方差=𝑠22(4‒7)2+(8‒7)2+(9‒7)2+(7‒7)2+(7‒7)25= ,145因为 m 乙 (B) ,m 甲 m 乙 (D) ,m 甲 m 乙𝑥甲 𝑥乙 𝑥甲 𝑥乙解题关键:由茎叶图列出各组数据后得出平均数和中位数.解析: =𝑥甲= ,5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+4316 34516=𝑥乙=10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48167,45716显然 ,又 m 甲 = =20,m 乙 = =29,m 甲 m 乙 .𝑥甲 𝑥乙18+222 27+3122.一个样本容量为 20 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{a n},若 a3=8 且前4 项和 S4=28,则此样本的平均数和中位数分别是( C )(A)22,23 (B)23,22 (C)23,23 (D)23,24解题关键:由等差数列通项公式计算首项和公差进而求出平均数和中位数.解析:设公差为 d,则 a1+2d=8 且 4a1+6d=28⇒2a1+3d=14,解得 a1=4,d=2,所以中位数是=a1+ d=4+19=23,平均数是 =a1+ d=23.𝑎10+𝑎112 192 𝑆2020 192