（通用版）2017届高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题7 解析几何 文（打包5套）.zip

1第 27 练 直线与圆[题型分析·高考展望] 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查．单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题．直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点．体验高考1．(2015·广东)平行于直线 2x＋ y＋1＝0 且与圆 x2＋ y2＝5 相切的直线的方程是( )A．2 x＋ y＋5＝0 或 2x＋ y－5＝0B．2 x＋ y＋ ＝0 或 2x＋ y－ ＝05 5C．2 x－ y＋5＝0 或 2x－ y－5＝0D．2 x－ y＋ ＝0 或 2x－ y－ ＝05 5答案 A解析 设所求直线方程为 2x＋ y＋ c＝0，依题意有 ＝ ，|0＋ 0＋ c|22＋ 12 5解得 c＝±5，所以所求直线方程为 2x＋ y＋5＝0 或 2x＋ y－5＝0，故选 A.2．(2015·课标全国Ⅱ)过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1，－7)的圆交 y 轴于 M、 N 两点，则|MN|等于( )A．2 B．86C．4 D．106答案 C解析 由已知，得 ＝(3，－1)， ＝(－3，－9)，AB→ BC→ 则 · ＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，AB→ BC→ 所以 ⊥ ，即 AB⊥ BC，AB→ BC→ 故过三点 A， B， C 的圆以 AC 为直径，得其方程为( x－1) 2＋( y＋2) 2＝25，令 x＝0 得( y＋2) 2＝24，解得 y1＝－2－2 ， y2＝－2＋2 ，6 6所以| MN|＝| y1－ y2|＝4 ，选 C.623．(2016·课标全国甲)圆 x2＋ y2－2 x－8 y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋ y－1＝0 的距离为1，则 a 等于( )A．－ B．－43 34C. D．23答案 A解析 由圆的方程 x2＋ y2－2 x－8 y＋13＝0 得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝ ＝1，解之得 a＝－ .|1×a＋ 4－ 1|1＋ a2 434．(2016·上海)已知平行直线 l1：2 x＋ y－1＝0， l2：2 x＋ y＋1＝0，则 l1， l2的距离为________．答案 255解析 d＝ ＝ .|1＋ 1|22＋ 12 2555．(2016·课标全国丙)已知直线 l： mx＋ y＋3 m－ ＝0 与圆 x2＋ y2＝12 交于 A， B 两点，3过 A， B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点，若| AB|＝2 ，则| CD|＝________.3答案 4解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R＝2 ，| AB|＝2 ，3 3所以| OM|＝3，解得 m＝－ ，33由Error! 解得 A(－3， )， B(0,2 )，3 3则 AC 的直线方程为 y－ ＝－ (x＋3)， BD 的直线方程为 y－2 ＝－ x，3 3 3 3令 y＝0，解得 C(－2,0)， D(2,0)，所以| CD|＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例 1 (1)若点 P(1,1)为圆( x－3) 2＋ y2＝9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为( )A．2 x＋ y－3＝0 B． x－2 y＋1＝0C． x＋2 y－3＝0 D．2 x－ y－1＝0(2)直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 ，则直线 l 的方程是( )10A．3 x＋ y＋4＝0 B．3 x－ y＋4＝0C．3 x－ y－4＝0 D． x－3 y－4＝03答案 (1)D (2)C解析 (1)由题意知圆心 C(3,0)， kCP＝－ .12由 kCP·kMN＝－1，得 kMN＝2，所以弦 MN 所在直线的方程是 2x－ y－1＝0.(2)由已知，设直线 l 的方程为 y－2＝ k(x－2)，即 kx－ y＋2－2 k＝0，所以＝ ，解得 k＝3，所以直线 l 的方程为 3x－ y－4＝0，故选 C.|5k－ 1＋ 2－ 2k|k2＋  － 1 2 10点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则l1∥ l2⇔k1＝ k2， l1⊥ l2⇔k1k2＝－1；②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．(2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数．变式训练 1 已知直线 l 经过直线 3x＋4 y－2＝0 与直线 2x＋ y＋2＝0 的交点 P，且垂直于直线 x－2 y－1＝0.(1)求直线 l 的方程；(2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程．解 (1)由Error!解得Error!所以点 P 的坐标是(－2,2)，又因为直线 x－2 y－1＝0，即 y＝ x－ 的斜率为 k′＝ ，12 12 12由直线 l 与 x－2 y－1＝0 垂直可得 kl＝－ ＝－2，1k′故直线 l 的方程为： y－2＝－2( x＋2)，即 2x＋ y＋2＝0.(2)直线 l 的方程 2x＋ y＋2＝0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是－1 与－2，则直线 l 关于原点对称的直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 1 与 2，所求直线方程为 ＋ ＝1，x1 y2即 2x＋ y－2＝0.题型二 圆的方程例 2 (1)(2015·湖北)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点A， B(B 在 A 的上方)，且| AB|＝2.4①圆 C 的标准方程为________________．②圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________．答案 ①( x－1) 2＋( y－ )2＝2 ②－ －12 2解析 ①由题意，设圆心 C(1， r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2＝ 2＋1 2＝2，解得 r＝ .(|AB|2 ) 2所以圆 C 的方程为( x－1) 2＋( y－ )2＝2.2②方法一 令 x＝0，得 y＝ ±1，所以点 B(0, ＋1) ．又点 C(1, )，所以直线 BC 的2 2 2斜率为 kBC＝－1，所以过点 B 的切线方程为 y－( ＋1)＝ x－0，即 y＝ x＋( ＋1)．2 2令 y＝0，得切线在 x 轴上的截距为－ －1.2方法二 令 x＝0，得 y＝ ±1，所以点 B(0， ＋1)．又点 C(1， )，设过点 B 的切线2 2 2方程为 y－( ＋1)＝ kx，即 kx－ y＋( ＋1)＝0.由题意，得圆心 C(1， )到直线2 2 2kx－ y＋( ＋1)＝0 的距离 d＝ ＝ r＝ ，解得 k＝1.故切线方程为2|k－ 2＋ 2＋ 1|k2＋ 1 2x－ y＋( ＋1)＝0.令 y＝0，得切线在 x 轴上的截距为－ －1.2 2(2)已知圆 C 经过点 A(2，－1)，并且圆心在直线 l1： y＝－2 x 上，且该圆与直线l2： y＝－ x＋1 相切．①求圆 C 的方程；②求以圆 C 内一点 B 为中点的弦所在直线 l3的方程．(2， －52)解 ①设圆的标准方程为( x－ a)2＋( y－ b)2＝ r2，则Error! 解得Error!故圆 C 的方程为( x－1) 2＋( y＋2) 2＝2.②由①知圆心 C 的坐标为(1，－2)，则 kCB＝ ＝－ .设直线 l3的斜率为 k3，由 k3·kCB＝－1，可得 k3＝2.故直线－ 52－  － 22－ 1 12l3的方程为 y＋ ＝522(x－2)，即 4x－2 y－13＝0.点评 求圆的方程的两种方法5(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练 2 已知圆 x2＋ y2＝4 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点．(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若∠ PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x－2,2 y)．因为 P 点在圆 x2＋ y2＝4 上，所以(2 x－2) 2＋(2 y)2＝4，故线段 AP 中点的轨迹方程为( x－1) 2＋ y2＝1.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，连接 BN.在 Rt△ PBQ 中，| PN|＝| BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON⊥ PQ，所以| OP|2＝| ON|2＋| PN|2＝| ON|2＋| BN|2，所以 x2＋ y2＋( x－1) 2＋( y－1) 2＝4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋ y2－ x－ y－1＝0.题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例 3 (1)(2015·重庆)已知直线 l： x＋ ay－1＝0( a∈R)是圆 C： x2＋ y2－4 x－2 y＋1＝0 的对称轴，过点 A(－4， a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则| AB|等于( )A．2 B．4 2C．6 D．2 10答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解．由于直线 x＋ ay－1＝0 是圆 C： x2＋ y2－4 x－2 y＋1＝0 的对称轴，∴圆心 C(2,1)在直线 x＋ ay－1＝0 上，∴2＋ a－1＝0，∴ a＝－1，∴ A(－4，－1)．∴| AC|2＝36＋4＝40.又 r＝2，∴| AB|2＝40－4＝36.∴| AB|＝6.(2)已知圆 C： x2＋ y2－2 x＋4 y－4＝0.①写出圆 C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为 1 的直线 m，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB，且 OA⊥ OB(O 为坐标原点)．若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由．6解 (1)圆 C 的标准方程为( x－1) 2＋( y＋2) 2＝9，则圆心 C 的坐标为(1，－2)，半径为 3.(2)假设存在这样的直线 m，根据题意可设直线 m： y＝ x＋ b.联立直线与圆的方程Error!得 2x2＋2( b＋1) x＋ b2＋4 b－4＝0，因为直线与圆相交，所以 Δ 0，即 b2＋6 b－9 .95 5圆 C 与直线 y＝－2 x＋4 不相交，∴ t＝－2 不符合题意，舍去．∴圆 C 的方程为( x－2) 2＋( y－1) 2＝5.高考题型精练1．已知 x， y 满足 x＋2 y－5＝0，则( x－1) 2＋( y－1) 2的最小值为( )A. B.45 25C. D.255 105答案 A解析 ( x－1) 2＋( y－1) 2表示点 P(x， y)到点 Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点 P 在直线 l： x＋2 y－5＝0 上，所以| PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d＝ ＝ ，|1＋ 2×1－ 5|1＋ 22 255所以( x－1) 2＋( y－1) 2的最小值为 d2＝ .故选 A.4582． “m＝3”是“直线 l1：2( m＋1) x＋( m－3) y＋7－5 m＝0 与直线 l2：( m－3) x＋2 y－5＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1⊥ l2得 2(m＋1)( m－3)＋2( m－3)＝0，∴ m＝3 或 m＝－2.∴ m＝3 是 l1⊥ l2的充分不必要条件．3．若动点 A， B 分别在直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )A．3 B．22 2C．3 D．43 2答案 A解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 的距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为 l： x＋ y＋ m＝0，根据平行线间的距离公式得 ＝ ⇒|m＋7|＝| m＋5|⇒ m＝－6，即|m＋ 7|2 |m＋ 5|2l： x＋ y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 ＝3 .|－ 6|2 24．(2016·山东)已知圆 M： x2＋ y2－2 ay＝0( a＞0)截直线 x＋ y＝0 所得线段的长度是2 ，则圆 M 与圆 N：( x－1) 2＋( y－1) 2＝1 的位置关系是( )2A．内切 B．相交C．外切 D．相离答案 B解析 ∵圆 M： x2＋( y－ a)2＝ a2，∴圆心坐标为 M(0， a)，半径 r1＝ a，圆心 M 到直线 x＋ y＝0 的距离 d＝ ，|a|2由几何知识得 2＋( )2＝ a2，解得 a＝2.(|a|2) 2∴ M(0,2)， r1＝2.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r2＝1，9∴| MN|＝ ＝ ， 1－ 0 2＋  1－ 2 2 2r1＋ r2＝3， r1－ r2＝1.∴ r1－ r2＜| MN|＜ r1＋ r2，∴两圆相交，故选 B.5．已知直线 x＋ y－ k＝0( k0)与圆 x2＋ y2＝4 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且有|＋ |≥ | |，那么 k 的取值范围是( )OA→ OB→ 33 AB→ A．( ，＋∞) B．[ ，＋∞)3 2C．[ ，2 ) D．[ ，2 )2 2 3 2答案 C解析 当| ＋ |＝ | |时， O， A， B 三点为等腰三角形的三个OA→ OB→ 33 AB→ 顶点，其中| OA|＝| OB|，∠ AOB＝120°，从而圆心 O 到直线x＋ y－ k＝0( k0)的距离为 1，此时 k＝ ；当 k 时，| ＋ |2 2 OA→ OB→ | |，又直线与圆 x2＋ y2＝4 存在两交点，故 k2 ，综上， k 的33 AB→ 2取值范围是[ ，2 )，故选 C.2 26．(2015·课标全国Ⅱ)已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则△ ABC 外接圆的圆心到3 3原点的距离为( )A. B.53 213C. D.253 43答案 B解析 由点 B(0， )， C(2， )，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x＝1，①3 3由点 A(1,0)， B(0， )，得线段 AB 的垂直平分线方程为3y－ ＝ ，②32 33(x－ 12)联立①②，解得△ ABC 外接圆的圆心坐标为 ，(1，233)其到原点的距离为 ＝ .故选 B.12＋ (233)2 2137．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝ kx 与圆( x－5)2＋ y2＝9 相交”发生的概率为________．答案 3410解析 由已知得，圆心(5,0)到直线 y＝ kx 的距离小于半径，∴ 3，解得－ k ，|5k|k2＋ 1 34 34由几何概型得 P＝ ＝ .34－ (－ 34)1－  － 1 348．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋ y2－8 x＋15＝0，若直线 y＝ kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是________．答案 43解析 圆 C 的标准方程为( x－4) 2＋ y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到 kx－ y－2＝0 的距离应不大于 2，即 ≤2.整理，|4k－ 2|k2＋ 1得 3k2－4 k≤0.解得 0≤ k≤ .43故 k 的最大值是 .439．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋ y2＝4 上有且仅有三个点到直线 12x－5 y＋ c＝0的距离为 1，则实数 c 的值为________．答案 ±13解析 因为圆心到直线 12x－5 y＋ c＝0 的距离为 ，|c|13所以由题意得 ＝1， c＝±13.|c|1310．已知直线 l 过点(－2,0)，当直线 l 与圆 x2＋ y2＝2 x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是________________．答案 (－ ， )24 24解析 因为已知直线过点(－2,0)，那么圆的方程 x2＋ y2＝2 x 配方为( x－1) 2＋ y2＝1，表示的是圆心为(1,0)，半径为 1 的圆，设过点(－2,0)的直线的斜率为 k，则直线方程为 y＝ k(x＋2)，则点到直线距离等于圆的半径 1，11有 d＝ ＝1，化简得 8k2＝1，|k－ 0＋ 2k|k2＋ 1所以 k＝± ，24然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是(－ ， )，24 24故答案为(－ ， )．24 2411．已知过点 A(0,1)，且方向向量为 a＝(1， k)的直线 l 与圆 C：( x－2) 2＋( y－3) 2＝1 相交于 M， N 两点．(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 O 为坐标原点，且 · ＝12，求 k 的值．OM→ ON→ 解 (1)∵直线 l 过点 A(0,1)且方向向量为 a＝(1， k)，∴直线 l 的方程为 y＝ kx＋1.由 ＜1，|2k－ 3＋ 1|k2＋ 1得 ＜ k＜ .4－ 73 4＋ 73(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，将 y＝ kx＋1 代入方程( x－2) 2＋( y－3) 2＝1，得(1＋ k2)x2－4(1＋ k)x＋7＝0，∴ x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，4 1＋ k1＋ k2 71＋ k2∴ · ＝ x1x2＋ y1y2OM→ ON→ ＝(1＋ k2)x1x2＋ k(x1＋ x2)＋1＝ ＋8＝12，4k 1＋ k1＋ k2∴ ＝4，解得 k＝1.4k 1＋ k1＋ k212．已知圆 M∶ x2＋( y－2) 2＝1， Q 是 x 轴上的动点， QA， QB 分别切圆 M 于 A， B 两点．(1)若 Q(1,0)，求切线 QA， QB 的方程；(2)求四边形 QAMB 面积的最小值；(3)若| AB|＝ ，求直线 MQ 的方程．42312解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x＝ my＋1，则圆心 M 到切线的距离为 1，∴ ＝1，|2m＋ 1|m2＋ 1∴ m＝－ 或 0，43∴切线 QA， QB 的方程分别为 3x＋4 y－3＝0 和 x＝1.(2)∵ MA⊥ AQ，∴ S 四边形 MAQB＝| MA|·|QA|＝| QA|＝ ＝|MQ|2－ |MA|2 |MQ|2－ 1≥ ＝ .|MO|2－ 1 3∴四边形 QAMB 面积的最小值为 .3(3)设 AB 与 MQ 交于点 P，则 MP⊥ AB.∵ MB⊥ BQ，∴| MP|＝ ＝ .1－ (223)2 13在 Rt△ MBQ 中，| MB|2＝| MP|·|MQ|，即 1＝ |MQ|，∴| MQ|＝3.13设 Q(x,0)，则 x2＋2 2＝9，∴ x＝± ，5∴ Q(± ，0)，5∴直线 MQ 的方程为 2x＋ y－2 ＝05 5或 2x－ y＋2 ＝0.5 51第 28 练 椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．(2015·广东)已知椭圆 ＋ ＝1( m0)的左焦点为 F1(－4,0)，则 m 等于( )x225 y2m2A．2 B．3 C．4 D．9答案 B解析 由题意知 25－ m2＝16，解得 m2＝9，又 m0，所以 m＝3.2．(2015·福建)已知椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，x2a2 y2b2直线 l：3 x－4 y＝0 交椭圆 E 于 A， B 两点．若| AF|＋| BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )45A. B.(0，32] (0， 34]C. D.[32， 1) [34， 1)答案 A解析 设左焦点为 F0，连接 F0A， F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形．∵| AF|＋| BF|＝4，∴| AF|＋| AF0|＝4，∴ a＝2.设 M(0， b)，则 ≥ ，∴1≤ b＜2.4b5 45离心率 e＝ ＝ ＝ ＝ ∈ ，ca c2a2 a2－ b2a2 4－ b24 (0， 32]故选 A.3．(2016·课标全国丙)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左焦点，x2a2 y2b2A， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为椭圆 C 上一点，且 PF⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 342答案 A解析 设 M(－ c， m)，则 E ， OE 的中点为 D，则 D ，又 B， D， M 三(0，ama－ c) (0， am2 a－ c )点共线，所以 ＝ ， a＝3 c， e＝ .m2 a－ c ma＋ c 134．(2015·浙江)已知椭圆 ＋ y2＝1 上两个不同的点 A， B 关于直线x22y＝ mx＋ 对称．12(1)求实数 m 的取值范围；(2)求△ AOB 面积的最大值( O 为坐标原点)．解 (1)由题意知 m≠0，可设直线 AB 的方程为 y＝－ x＋ b.1m由Error! 消去 y，得 x2－ x＋ b2－1＝0.(12＋ 1m2) 2bm因为直线 y＝－ x＋ b 与椭圆 ＋ y2＝1 有两个不同的交点，所以1m x22Δ ＝－2 b2＋2＋ ＞0，①4m2将线段 AB 中点 M 代入直线方程 y＝ mx＋ ，(2mbm2＋ 2， m2bm2＋ 2) 12解得 b＝－ ，②m2＋ 22m2由①②得 m＜－ 或 m＞ .63 63(2)令 t＝ ∈ ∪ ，1m (－ 62， 0) (0， 62)则| AB|＝ · ，t2＋ 1－ 2t4＋ 2t2＋ 32t2＋ 12且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ .t2＋ 12t2＋ 1设△ AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝ |AB|·d＝ ≤ .12 12－ 2(t2－ 12)2＋ 2 223当且仅当 t2＝ 时，等号成立．12故△ AOB 面积的最大值为 .225．(2016·北京)已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的离心率为 ， A(a,0)， B(0， b)，x2a2 y2b2 32O(0,0)，△ OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|·|BM|为定值．(1)解 由已知 ＝ ， ab＝1.ca 32 12又 a2＝ b2＋ c2，解得 a＝2， b＝1， c＝ .3∴椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.x24(2)证明 由(1)知， A(2,0)， B(0,1)．设椭圆上一点 P(x0， y0)，则 ＋ y ＝1.x204 20当 x0≠0 时，直线 PA 方程为 y＝ (x－2)，y0x0－ 2令 x＝0 得 yM＝ .－ 2y0x0－ 2从而| BM|＝|1－ yM|＝ .|1＋2y0x0－ 2|直线 PB 方程为 y＝ x＋1，y0－ 1x0令 y＝0 得 xN＝ .－ x0y0－ 1∴| AN|＝|2－ xN|＝ .|2＋x0y0－ 1|∴| AN|·|BM|＝ ·|2＋x0y0－ 1| |1＋ 2y0x0－ 2|＝ ·|x0＋ 2y0－ 2y0－ 1 | |x0＋ 2y0－ 2x0－ 2 |＝ |x20＋ 4y20＋ 4x0y0－ 4x0－ 8y0＋ 4x0y0－ x0－ 2y0＋ 2 |＝ ＝4.|4x0y0－ 4x0－ 8y0＋ 8x0y0－ x0－ 2y0＋ 2|当 x0＝0 时， y0＝－1，| BM|＝2，| AN|＝2，4∴| AN|·|BM|＝4.故| AN|·|BM|为定值．高考必会题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例 1 如图，焦点在 x 轴上的椭圆 ＋ ＝1 的离心率 e＝ ， F， A 分x24 y2b2 12别是椭圆的一个焦点和顶点， P 是椭圆上任意一点，求 · 的最大PF→ PA→ 值和最小值．解 设 P 点坐标为( x0， y0)．由题意知 a＝2，∵ e＝ ＝ ，∴ c＝1，∴ b2＝ a2－ c2＝3.ca 12所求椭圆方程为 ＋ ＝1.x24 y23∴－2≤ x0≤2，－ ≤ y0≤ .3 3又 F(－1,0)， A(2,0)， ＝(－1－ x0，－ y0)，PF→ ＝(2－ x0，－ y0)，PA→ ∴ · ＝ x － x0－2＋ y ＝ x － x0＋1＝ (x0－2) 2.PF→ PA→ 20 20 1420 14当 x0＝2 时， · 取得最小值 0，PF→ PA→ 当 x0＝－2 时， · 取得最大值 4.PF→ PA→ 点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用 a、 b、 c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．变式训练 1 如图， F1、 F2分别是椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的x2a2 y2b2顶点， B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，∠ F1AF2＝60°.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若△ AF1B 的面积为 40 ，求椭圆 C 的方程．3解 (1)由题意可知，△ AF1F2为等边三角形，5a＝2 c，所以 e＝ .12(2)方法一 a2＝4 c2， b2＝3 c2，直线 AB 的方程可为 y＝－ (x－ c)，3将其代入椭圆方程 3x2＋4 y2＝12 c2，得 B( c，－ c)，85 335所以| AB|＝ ·| c－0|＝ c，1＋ 385 165由 S△ AF1B＝ |AF1|·|AB|sin ∠ F1AB12＝ a· a· ＝ a2＝40 ，12 85 32 235 3解得 a＝10， b＝5 ，所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.3x2100 y275方法二 设| AB|＝ t，因为| AF2|＝ a，所以| BF2|＝ t－ a，由椭圆定义| BF1|＋| BF2|＝2 a 可知，| BF1|＝3 a－ t，再由余弦定理(3 a－ t)2＝ a2＋ t2－2 atcos 60°可得，t＝ a，由 S△ AF1B＝ |AF1|·|AB|sin ∠ F1AB85 12＝ a· a· ＝ a2＝40 知， a＝10， b＝5 ，12 85 32 235 3 3所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x2100 y275题型二 直线与椭圆相交问题例 2 (2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的离心率为 ，点(2， )在x2a2 y2b2 22 2C 上．(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．(1)解 由题意得 ＝ ， ＋ ＝1，a2－ b2a 22 4a2 2b2解得 a2＝8， b2＝4.所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x28 y24(2)证明 设直线 l： y＝ kx＋ b(k≠0， b≠0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)．将6y＝ kx＋ b 代入 ＋ ＝1，得x28 y24(2k2＋1) x2＋4 kbx＋2 b2－8＝0.故 xM＝ ＝ ， yM＝ k·xM＋ b＝ .x1＋ x22 － 2kb2k2＋ 1 b2k2＋ 1于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ，yMxM 12k即 kOM·k＝－ .12所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决．求范围或最值问题，也可考虑求“交点” ，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式．变式训练 2 椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的离心率为 ，且过其右焦点 F 与长轴垂直的直线x2a2 y2b2 32被椭圆 C 截得的弦长为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 P 是椭圆 C 的一个动点，直线 l： y＝ x＋ 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求△ PAB 面34 32积的最大值．解 (1)∵椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32∴ e＝ ＝ ，∴2 c＝ a，即 4c2＝3 a2，ca 32 3又∵过椭圆右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2，∴ ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，c2a2 1b2 34a2a2 1b2即 b2＝4，又 a2－ b2＝ c2，∴ a2＝ b2＋ c2＝4＋ a2，即 a2＝16，34∴椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x216 y247(2)联立直线 l： y＝ x＋ 与椭圆 C 的方程，34 32得Error! 消去 y，整理可得 7x2＋12 x－52＝0，即(7 x＋26)( x－2)＝0，解得 x＝2 或 x＝－ ，267∴不妨设 A(2， )， B(－ ，－ )，3267 337则| AB|＝ ＝ ， 2＋ 267 2＋  3＋ 337 2 107 19设过 P 点且与直线 l 平行的直线 L 的方程为 y＝ x＋ C， L 与 l 的距离就是 P 点到 AB 的距34离，即△ PAB 的边 AB 上的高，只要 L 与椭圆相切，就有 L 与边 AB 的最大距离，即得最大面积．将 y＝ x＋ C 代入 ＋ ＝1，34 x216 y24消元整理可得：7 x2＋8 Cx＋16 C2－64＝0，3令判别式 Δ ＝(8 C)2－4×7×(16 C2－64)3＝－256 C2＋28×64＝0，解得 C＝± ＝± .28×64256 7∴ L 与 AB 的最大距离为|－ 7－ 32| 34 2＋ 1＝ ，219 27＋ 319∴△ PAB 面积的最大值为 × ×12 107 19 219 27＋ 319＝ (2 ＋ )．107 7 3题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例 3 已知椭圆 ＋ ＝1( ab0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ ，直线 l 交椭圆于x2a2 y2b2 55M， N 两点．(1)若直线 l 的方程为 y＝ x－4，求弦| MN|的长；8(2)如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式．解 (1)由已知得 b＝4，且 ＝ ，即 ＝ ，ca 55 c2a2 15∴ ＝ ，解得 a2＝20，a2－ b2a2 15∴椭圆方程为 ＋ ＝1.x220 y216则 4x2＋5 y2＝80 与 y＝ x－4 联立，消去 y 得 9x2－40 x＝0，∴ x1＝0， x2＝ ，409∴所求弦长| MN|＝ |x2－ x1|＝ .1＋ 124029(2)如图，椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为Q(x0， y0)，由三角形重心的性质知＝2 ，BF→ FQ→ 又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2( x0－2， y0)，故得 x0＝3， y0＝－2，即得 Q 的坐标为(3，－2)．设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝－4，且 ＋ ＝1， ＋ ＝1，x2120 y2116 x220 y216以上两式相减得＋ ＝0， x1＋ x2  x1－ x220  y1＋ y2  y1－ y216∴ kMN＝ ＝－ · ＝－ × ＝ ，y1－ y2x1－ x2 45 x1＋ x2y1＋ y2 45 6－ 4 65故直线 MN 的方程为 y＋2＝ (x－3)，65即 6x－5 y－28＝0.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解．变式训练 3 已知椭圆 ＋ ＝1( ab0)，焦点在直线 x－2 y－2＝0 上，且离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆方程；9(2)过 P(3,1)作直线 l 与椭圆交于 A， B 两点， P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程．解 (1)∵椭圆 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2焦点在直线 x－2 y－2＝0 上，∴令 y＝0，得焦点(2,0)，∴ c＝2，∵离心率 e＝ ＝ ，∴ ＝ ，ca 12 2a 12解得 a＝4，∴ b2＝16－4＝12，∴椭圆方程为 ＋ ＝1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，∵过 P(3,1)作直线 l 与椭圆交于 A， B 两点，P 为线段 AB 的中点，∴由题意， x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝2，Error!∴ ＋ ＝0， x2－ x1  x2＋ x116  y2－ y1  y2＋ y112∴ kl＝ ＝－ ，y2－ y1x2－ x1 94∴ l 的方程为 y－1＝－ (x－3)，即 9x＋4 y－31＝0.94高考题型精练1．(2016·课标全国乙)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )14A. B.13 12C. D.23 34答案 B解析 如图，由题意得， BF＝ a， OF＝ c， OB＝ b，OD＝ ×2b＝ b.14 1210在 Rt△ OFB 中，| OF|×|OB|＝| BF|×|OD|，即 cb＝ a· b，代入解得 a2＝4 c2，12故椭圆离心率 e＝ ＝ ，故选 B.ca 122．已知椭圆 ＋ ＝1， F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 Px29 y25为椭圆上一点，则| PA|＋| PF1|的最大值是( )A．6 B．6＋2 2C．6－ D．6＋2 2答案 D解析 | PA|＋| PF1|＝| PA|＋2 a－| PF2|≤2 a＋| AF2|＝6＋ ，2当 P， A， F2共线时取最大值，故选 D.3．已知椭圆 ＋ ＝1 的右焦点为 F， P 是椭圆上一点，点 A(0,2 )，当△ APF 的周长最x29 y25 3大时，直线 AP 的方程为( )A． y＝－ x＋2 B． y＝ x＋233 3 33 3C． y＝－ x＋2 D． y＝ x＋23 3 3 3答案 D解析 椭圆 ＋ ＝1 中 a＝3， b＝ ， c＝ ＝2，x29 y25 5 a2－ b2由题意，设 F′是左焦点，则△ APF 周长＝| AF|＋| AP|＋| PF|＝| AF|＋| AP|＋2 a－| PF′|＝4＋6＋| PA|－| PF′|≤10＋| AF′|(A， P， F′三点共线，且 P 在 AF′的延长线上时，取等号)，直线 AP 的方程为 ＋ ＝1，x－ 2 y23即 y＝ x＋2 ，故选 D.3 34．如果椭圆 ＋ ＝1 的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )x236 y29A． x－2 y＝0B． x＋2 y－4＝011C．2 x＋3 y－14＝0D． x＋2 y－8＝0答案 D解析 设这条弦的两端点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，斜率为 k，则Error!两式相减再变形得 ＋ k ＝0，x1＋ x236 y1＋ y29又弦中点坐标为(4,2)，故 k＝－ ，12故这条弦所在的直线方程为 y－2＝－ (x－4)，12整理得 x＋2 y－8＝0，故选 D.5．设 F1、 F2分别是椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1x2a2 y2b2的中点在 y 轴上，若∠ PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )A. B.33 36C. D.13 16答案 A解析 ∵线段 PF1的中点在 y 轴上，设 P 的横坐标为 x， F1(－ c,0)，∴－ c＋ x＝0，∴ x＝ c，∴ P 与 F2的横坐标相等，∴ PF2⊥ x 轴，∵∠ PF1F2＝30°，∴| PF2|＝ |PF1|，12∵| PF2|＋| PF1|＝2 a，∴| PF2|＝ a，23tan ∠ PF1F2＝ ＝ ＝ ，|PF2||F1F2| 2a32c 33∴ ＝ ，∴ e＝ ＝ .ac 3 ca 336．过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆 C： ＋ ＝1 于 A， B 两点， F1为椭圆的左焦点，当△x24 y23ABF1周长最大时，直线 l 的方程为______________．答案 x＋ y－1＝0解析 设右焦点为 F2(1,0)，则| AF1|＝4－| AF2|，12|BF1|＝4－| BF2|，所以| AF1|＋| BF1|＋| AB|＝8＋| AB|－(| AF2|＋| BF2|)，显然| AF2|＋| BF2|≥| AB|，当且仅当 A， B， F2共线时等号成立，所以当直线 l 过点 F2时，△ ABF1的周长取最大值 8，此时直线方程为 y＝－ x＋1，即 x＋ y－1＝0.7．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆＋ ＝1( a＞ b＞0)的右焦点，直线 y＝ 与椭圆交于 B， C 两点，且x2a2 y2b2 b2∠ BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 联立方程组Error!解得 B、 C 两点坐标为B ， C ，又 F(c,0)，(－32a， b2) (32a， b2)则 ＝ ， ＝ ，FB→ (－ 32a－ c， b2) FC→ (32a－ c， b2)又由∠ BFC＝90°，可得 · ＝0，代入坐标可得：FB→ FC→ c2－ a2＋ ＝0，①34 b24又因为 b2＝ a2－ c2.代入①式可化简为 ＝ ，c2a2 23则椭圆离心率为 e＝ ＝ ＝ .ca 23 638．(2016·淮北一中高三最后一卷) P 为椭圆 ＋ ＝1 上的任意一点， AB 为圆 C：( x－1)x29 y282＋ y2＝1 的任一条直径，则 · 的取值范围是________．PA→ PB→ 答案 [3,15]解析 圆心 C(1,0)为椭圆的右焦点，· ＝( ＋ )·( ＋ )PA→ PB→ PC→ CA→ PC→ CB→ 13＝( ＋ )·( － )PC→ CA→ PC→ CA→ ＝ 2－ 2＝| |2－1，PC→ CA→ PC→ 显然| |∈[ a－ c， a＋ c]＝[2,4]，PC→ 所以 · ＝| |2－1∈[3,15]．PA→ PB→ PC→ 9．设椭圆的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，上顶点为 A(0,2)，离心率为 .255(1)求该椭圆的标准方程；(2)设 B1(－2,0)， B2(2,0)，过 B1作直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，使 PB2⊥ QB2，求直线 l 的方程．解 (1)设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1( ab0)，x2a2 y2b2∵ ＝ ，∴1－ ＝ ，即 ＝ ，ca 255 b2a2 45 b2a2 15又∵ b2＝4，∴ a2＝20，∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x220 y24(2)由题意知直线 l 的倾斜角不为 0，故可设直线 l 的方程为： x＝ my－2.代入椭圆方程得( m2＋5) y2－4 my－16＝0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 y1＋ y2＝ ， y1·y2＝－ ，4mm2＋ 5 16m2＋ 5又 ＝( x1－2， y1)， ＝( x2－2， y2)，B2P→ B2Q→ 所以 · ＝( x1－2)( x2－2)＋ y1y2B2P→ B2Q→ ＝( my1－4)( my2－4)＋ y1y2＝( m2＋1) y1y2－4 m(y1＋ y2)＋16＝－ － ＋1616 m2＋ 1m2＋ 5 16m2m2＋ 5＝－ ，16m2－ 64m2＋ 5由 PB2⊥ QB2得 · ＝0，B2P→ B2Q→ 即 16m2－64＝0，解得 m＝±2，∴直线 l 的方程为 x＝±2 y－2，即 x±2y＋2＝0.10．(2016·课标全国乙)设圆 x2＋ y2＋2 x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x14轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明| EA|＋| EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M， N 两点，过点 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．解 (1)因为| AD|＝| AC|， EB∥ AC，故∠ EBD＝∠ ACD＝∠ ADC，所以| EB|＝| ED|，故| EA|＋| EB|＝| EA|＋| ED|＝| AD|.又圆 A 的标准方程为( x＋1) 2＋ y2＝16，从而| AD|＝4，所以| EA|＋| EB|＝4.由题设得 A(－1,0)， B(1,0)，| AB|＝2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：＋ ＝1( y≠0)．x24 y23(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝ k(x－1)( k≠0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)．由Error! 得(4 k2＋3) x2－8 k2x＋4 k2－12＝0.则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，8k24k2＋ 3 4k2－ 124k2＋ 3所以| MN|＝ |x1－ x2|＝ .1＋ k212 k2＋ 14k2＋ 3过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m： y＝－ (x－1)，1k点 A 到 m 的距离为 ，2k2＋ 1所以| PQ|＝2 ＝4 .42－ ( 2k2＋ 1)2 4k2＋ 3k2＋ 1故四边形 MPNQ 的面积S＝ |MN||PQ|＝12 .12 1＋ 14k2＋ 3可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 )．3当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝1，| MN|＝3，| PQ|＝8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为[12,8 )．311．(2015·安徽)设椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1( ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为x2a2 y2b2(a,0)，点 B 的坐标为(0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足| BM|＝2| MA|，直线 OM 的斜率为 .510(1)求椭圆 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0，－ b)， N 为线段 AC 的中点，证明： MN⊥ AB.15(1)解 由题设条件知，点 M 的坐标为 ，(2a3， b3)又 kOM＝ ，从而 ＝ .510 b2a 510进而 a＝ b， c＝ ＝2 b，故 e＝ ＝ .5 a2－ b2ca 255(2)证明 由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为 ，可得 ＝ ，(a2， － b2) NM→ (a6， 5b6)又 ＝(－ a， b)，AB→ 从而有 · ＝－ a2＋ b2＝ (5b2－ a2)．AB→ NM→ 16 56 16由(1)的计算结果可知 a2＝5 b2，所以 · ＝0，故 MN⊥ AB.AB→ NM→