（通用版）2017届高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第1-2部分 文（打包34套）.zip

1第 37 练 函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数 y＝ f(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．体验高考1．(2015·湖南)已知函数 f(x)＝Error!若存在实数 b，使函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，则 a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 函数 g(x)有两个零点，即方程 f(x)－ b＝0 有两个不等实根，则函数 y＝ f(x)和 y＝ b 的图象有两个公共点．①若 aa 时， f(x)＝ x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y＝ b 可能有两个公共点．②若 0≤ a≤1，则 a3≤ a2，函数 f(x)在 R 上单调递增， f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 y＝ b 至多有一个公共点．③若 a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 y＝ b 可能有两个公共点．2综上， a1.2．(2015·安徽)设 x3＋ ax＋ b＝0，其中 a， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________(写出所有正确条件的编号)．① a＝－3， b＝－3；② a＝－3， b＝2；③ a＝－3， b2；④ a＝0， b＝2；⑤ a＝1， b＝2.答案 ①③④⑤解析 令 f(x)＝ x3＋ ax＋ b， f′( x)＝3 x2＋ a，当 a≥0 时， f′( x)≥0， f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当 a0，∴ b2，①③正确，②错误．所有正确条件为①③④⑤.3．(2016·课标全国甲)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(－ x)＝2－ f(x)，若函数 y＝ 与x＋ 1xy＝ f(x)图象的交点为( x1， y1)，( x2， y2)，…，( xm， ym)，则 (xi＋ yi)等于( )m∑i＝ 1A．0 B． m C．2 m D．4 m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据 f(－ x)＝2－ f(x)可设函数 f(x)＝ x＋1，由 y＝ ，x＋ 1x解得两个点的坐标为Error!Error!3此时 m＝2，所以 (xi＋ yi)＝ m，故选 B.m∑i＝ 1方法二 由题设得 (f(x)＋ f(－ x))＝1，点( x， f(x))与点(－ x， f(－ x))关于点(0,1)对称，12则 y＝ f(x)的图象关于点(0,1)对称．又 y＝ ＝1＋ ， x≠0 的图象也关于点(0,1)对称．x＋ 1x 1x则交点( x1， y1)，( x2， y2)，…，( xm， ym)成对，且关于点(0,1)对称．则 (xi， yi)＝m∑i＝ 1i＋ i＝0＋ ×2＝ m，故选 B.m∑i＝ 1xm∑i＝ 1y m2高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例 1 (2016·天津)已知函数 f(x)＝Error! (a0，且 a≠1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| f(x)|＝2－ x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( )A. B.(0，23] [23， 34]C. ∪ D. ∪[13， 23] {34} [13， 23) {34}答案 C解析 由 y＝log a(x＋1)＋1 在[0，＋∞)上递减，得 02，即 a时，由 x2＋(4 a－3) x＋3 a＝2－ x(其中 xf′( x)，且 f(0)＝1，则不等式 0，所以不等式的解集为f 0e0 f xex(0，＋∞)．故选 B.点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练 2 已知 f(x)＝log 2x， x∈[2,16]，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，则使x2＋ mx＋42 m＋4 x 恒成立的实数 x 的取值范围为( )A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵ x∈[2,16]，∴ f(x)＝log 2x∈[1,4]，即 m∈[1,4]．不等式 x2＋ mx＋42 m＋4 x 恒成立，即为 m(x－2)＋( x－2) 20 恒成立，设 g(m)＝( x－2) m＋( x－2) 2，则此函数在[1,4]上恒大于 0，所以Error! 即Error!解得 x2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用例 3 已知数列{ an}是首项为 2，各项均为正数的等差数列， a2， a3， a4＋1 成等比数列，设 bn＝ ＋ ＋…＋ (其中 Sn是数列{ an}的前 n 项和)，若对任意 n∈N *，不等式1Sn＋ 1 1Sn＋ 2 1S2nbn≤ k 恒成立，求实数 k 的最小值．解 因为 a1＝2， a ＝ a2·(a4＋1)，23又因为{ an}是正项等差数列，故 d≥0，所以(2＋2 d)2＝(2＋ d)(3＋3 d)，得 d＝2 或 d＝－1(舍去)，所以数列{ an}的通项公式 an＝2 n.因为 Sn＝ n(n＋1)，bn＝ ＋ ＋…＋1Sn＋ 1 1Sn＋ 2 1S2n6＝ ＋ ＋…＋1 n＋ 1  n＋ 2 1 n＋ 2  n＋ 3 12n 2n＋ 1＝ － ＋ － ＋…＋ －1n＋ 1 1n＋ 2 1n＋ 2 1n＋ 3 12n 12n＋ 1＝ － ＝ ＝ .1n＋ 1 12n＋ 1 n2n2＋ 3n＋ 1 12n＋ 1n＋ 3令 f(x)＝2 x＋ (x≥1)，1x则 f′( x)＝2－ ，当 x≥1 时， f′( x)0 恒成立，1x2所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当 x＝1 时， f(x)min＝ f(1)＝3，即当 n＝1 时，( bn)max＝ ，16要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤ k 恒成立，则须使 k≥( bn)max＝ ，所以实数 k 的最小值为 .16 16点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中 n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．变式训练 3 设 Sn为等差数列{ an}的前 n 项和，( n＋1) Sn＜ nSn＋1 (n∈N *)．若 ＜－1，则( )a8a7A． Sn的最大值是 S8 B． Sn的最小值是 S8C． Sn的最大值是 S7 D． Sn的最小值是 S7答案 D解析 由条件得 ＜ ，即 ＜ ，所以 an＜ an＋1 ，所Snn Sn＋ 1n＋ 1 n a1＋ an2n  n＋ 1  a1＋ an＋ 12 n＋ 1以等差数列{ an}为递增数列．又 ＜－1，所以 a8＞0， a7＜0，即数列{ an}前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，所以 Sn的最a8a7小值为 S7，故选 D.7题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 ，离心率为 ，直线 l 与 y222轴交于点 P(0， m)，与椭圆 C 交于相异两点 A， B，且 ＝3 .AP→ PB→ (1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围．解 (1)设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1 ( ab0)，y2a2 x2b2设 c0， c2＝ a2－ b2，由题意，知 2b＝ ， ＝ ，所以 a＝1， b＝ c＝ .2ca 22 22故椭圆 C 的方程为 y2＋ ＝1，即 y2＋2 x2＝1.x212(2)①当直线 l 的斜率不存在时，也满足 ＝3 ，此时 m＝± .AP→ PB→ 12②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝ kx＋ m (k≠0)， l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得( k2＋2) x2＋2 kmx＋( m2－1)＝0，Δ ＝(2 km)2－4( k2＋2)( m2－1)＝4( k2－2 m2＋2)0，(*)x1＋ x2＝ ， x1x2＝ .－ 2kmk2＋ 2 m2－ 1k2＋ 2因为 ＝3 ，所以－ x1＝3 x2，AP→ PB→ 所以Error! 则 3(x1＋ x2)2＋4 x1x2＝0，即 3· 2＋4· ＝0，(－ 2kmk2＋ 2) m2－ 1k2＋ 2整理得 4k2m2＋2 m2－ k2－2＝0，即 k2(4m2－1)＋2 m2－2＝0，当 m2＝ 时，上式不成立；14当 m2≠ 时， k2＝ ，14 2－ 2m24m2－ 1由(*)式，得 k22m2－2，又 k≠0，所以 k2＝ 0，2－ 2m24m2－ 18解得－10 或 Δ ≥0 中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．变式训练 4 已知点 F1(－ c,0)， F2(c,0)为椭圆 ＋ ＝1( ab0)的两个焦点，点 P 为椭x2a2 y2b2圆上一点，且 · ＝ c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．PF1→ PF2→ 答案 [33， 22]解析 设 P(x， y)，则 · ＝(－ c－ x，－ y)·PF1→ PF2→ (c－ x，－ y)＝ x2－ c2＋ y2＝ c2，①将 y2＝ b2－ x2代入①式解得 x2＝b2a2  2c2－ b2 a2c2＝ ，又 x2∈[0， a2]， 3c2－ a2 a2c2∴2 c2≤ a2≤3 c2，∴ e＝ ∈ .ca [33， 22]高考题型精练1．关于 x 的方程 3x＝ a2＋2 a，在(－∞，1]上有解，则实数 a 的取值范围是( )A．[－2，－1)∪(0,1]B．[－3，－2)∪[0,1]C．[－3，－2)∪(0,1]D．[－2，－1)∪[0,1]答案 C解析 当 x∈(－∞，1]时，3 x∈(0,3]，9要使 3x＝ a2＋2 a 有解， a2＋2 a 的值域必须为(0,3]，即 00，F(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，F(x)的最小值为 F(1)＝1－ ，所以 a≥1－ ，1e 1e故选 D.3．已知 f(x)＝ x2－4 x＋4， f1(x)＝ f(x)， f2(x)＝ f(f1(x))，…， fn(x)＝ f(fn－1 (x))，函数 y＝ fn(x)的零点个数记为 an，则 an等于( )A．2 n B．2 n－1C．2 n＋1 D．2 n或 2n－1答案 B解析 f1(x)＝ x2－4 x＋4＝( x－2) 2，有 1 个零点 2，由 f2(x)＝0 可得 f1(x)＝2，则 x＝2＋或 x＝2－ ，即 y＝ f2(x)有 2 个零点，由 f3(x)＝0 可得 f2(x)＝2－ 或 2＋ ，则2 2 2 2(x－2) 2＝2－ 或( x－2) 2＝2＋ ，即 y＝ f3(x)有 4 个零点，以此类推可知， y＝ fn(x)的2 2零点个数 an＝2 n－1 .故选 B.4．已知函数 f(x)＝ln x－ x＋ －1， g(x)＝－ x2＋2 bx－4，若对任意 x1∈(0,2)，14 34xx2∈[1,2]，不等式 f(x1)≥ g(x2)恒成立，则实数 b 的取值范围为____________．答案 (－ ∞ ，142]10解析 问题等价于 f(x)min≥ g(x)max.f(x)＝ln x－ x＋ －1，14 34x所以 f′( x)＝ － － ＝ ，1x 14 34x2 4x－ x2－ 34x2令 f′( x)0 得 x2－4 x＋32 时， g(x)max＝ g(2)＝4 b－8.故问题等价于Error!或 Error!或Error! 解第一个不等式组得 bα ，则 α ∈(0,1)， β ∈(1，＋∞)，若函数 y＝ f′( x)在(e，＋∞)内有异号零点，即 y＝ φ (x)在(e，＋∞)内有异号零点，所以 β e，又 φ (0)＝10，所以 φ (e)＝e 2－(2＋ a)e＋1e＋ －2，1e所以实数 a 的取值范围是(e＋ －2，＋∞)．1e8．已知 f(x)＝e x－ ax－1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围．解 (1)∵ f(x)＝e x－ ax－1( x∈R)，12∴ f′( x)＝e x－ a.令 f′( x)≥0，得 ex≥ a，当 a≤0 时， f′( x)0 在 R 上恒成立；当 a0 时，有 x≥ln a.综上，当 a≤0 时， f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当 a0 时， f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．(2)由(1)知 f′( x)＝e x－ a.∵ f(x)在 R 上单调递增，∴ f′( x)＝e x－ a≥0 恒成立，即 a≤e x在 R 上恒成立．∵当 x∈R 时，e x0，∴ a≤0，即 a 的取值范围是(－∞，0]．9．已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 .直线 y＝ k(x－1)与x2a2 y2b2 22椭圆 C 交于不同的两点 M， N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当△ AMN 的面积为 时，求 k 的值．103解 (1)由题意得Error!解得 b＝ .2所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)由Error! 得(1＋2 k2)x2－4 k2x＋2 k2－4＝0.设点 M， N 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ .4k21＋ 2k2 2k2－ 41＋ 2k2所以| MN|＝  x2－ x1 2＋  y2－ y1 2＝  1＋ k2 [ x1＋ x2 2－ 4x1x2]＝ .2 1＋ k2  4＋ 6k21＋ 2k2又因为点 A(2,0)到直线 y＝ k(x－1)的距离 d＝ ，|k|1＋ k2所以△ AMN 的面积为 S＝ |MN|·d＝ .12 |k|4＋ 6k21＋ 2k2由 ＝ ，解得 k＝±1.所以 k 的值为 1 或－1.|k|4＋ 6k21＋ 2k2 10310．已知等比数列{ an}满足 2a1＋ a3＝3 a2，且 a3＋2 是 a2， a4的等差中项．13(1)求数列{ an}的通项公式．(2)若 bn＝ an＋log 2 ， Sn＝ b1＋ b2＋…＋ bn，求使 Sn－2 n＋1 ＋470，解得 n9 或 n－10.因为 n∈N *，故使 Sn－2 n＋1 ＋470 成立的正整数 n 的最小值为 10.1第 38 练 数形结合思想[思想方法解读] 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．体验高考1．(2015·北京)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log 2(x＋1)的解集是( )A．{ x|－1＜ x≤0}B．{ x|－1≤ x≤1}C．{ x|－1＜ x≤1}D．{ x|－1＜ x≤2}答案 C解析 令 g(x)＝ y＝log 2(x＋1)，作出函数 g(x)的图象如图. 由Error! 得Error!∴结合图象知不等式 f(x)≥log 2(x＋1)的解集为{ x|－1－1 时，f(x)＝Error!作出 f(x)的大致图象如图所示，由函数 f(x)的图象可知 f(a)＝5，即 a＋1＝5，∴ a＝4.同理，当 a≤－1 时，－ a－1＝5，∴ a＝－6.高考必会题型题型一 数形结合在方程根的个数中的应用例 1 方程 sin π x＝ 的解的个数是( )x4A．5 B．6 C．7 D．8答案 C解析 在同一平面直角坐标系中画出 y1＝sin π x 和 y2＝ 的图象，如下图：x43观察图象可知 y1＝sin π x 和 y2＝ 的图象在第一象限有 3 个交点，根据对称性可知，在第x4三象限也有 3 个交点，在加上原点，共 7 个交点，所以方程 sin π x＝ 有 7 个解．x4点评 利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．变式训练 1 若函数 f(x)＝Error!有且只有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是( )A．(－4,0) B．(－∞，0]C．(－4,0] D．(－∞，0)答案 B解析 当 x0 时， f(x)＝ln x 与 x 轴有一个交点，即 f(x)有一个零点．依题意，显然当 x≤0 时， f(x)＝ － kx2也有一个零点，即方程 － kx2＝0 只能有一xx－ 1 xx－ 1个解．令 h(x)＝ ， g(x)＝ kx2，xx－ 1则两函数图象在 x≤0 时只能有一个交点．若 k0，显然函数 h(x)＝ 与 g(x)＝ kx2在 x≤0 时有两个交点，即点 A 与原点 O(如图所xx－ 1示)．显然 k0 不符合题意．若 k0，所以由 2x(x－ a)0 时的图象，如图．当 x0 时， g(x)＝2 － x0，使 2x(x－ a)－1，所以选 D.题型三 利用数形结合求最值例 3 已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足( a－ c)·(b－ c)＝0，则| c|的最大值是( )A．1 B．2C. D.222答案 C解析 如图，设 O ＝ a， O ＝ b， O ＝ c，则 C ＝ a－ c， C ＝ b－ c.A→ B→ C→ A→ B→ 由题意知 C ⊥ C ，A→ B→ ∴ O、 A、 C、 B 四点共圆．∴当 OC 为圆的直径时，| c|最大，此时，| O |＝ .C→ 2点评 利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑6点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．变式训练 3 已知圆 C：( x－3) 2＋( y－4) 2＝1 和两点 A(－ m,0)， B(m，0)( m0)，若圆 C 上存在点 P，使得∠ APB＝90°，则 m 的最大值为( )A．7 B．6C．5 D．4答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r＝1，且| AB|＝2 m.因为∠ APB＝90°，连接 OP，易知| OP|＝ |AB|＝ m.12要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离．因为| OC|＝ ＝5，32＋ 42所以| OP|max＝| OC|＋ r＝6，即 m 的最大值为 6.高考题型精练1．若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线( x－2) 2＋ y2＝1 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A．[－ ， ] B．(－ ， )3 3 3 3C．[－ ， ] D．(－ ， )33 33 33 33答案 C解析 设直线方程为 y＝ k(x－4)，即 kx－ y－4 k＝0，直线 l 与曲线( x－2) 2＋ y2＝1 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，7即 d＝ ≤1，|2k－ 4k|k2＋ 1得 4k2≤ k2＋1， k2≤ .所以－ ≤ k≤ .13 33 332．已知 f(x)＝| x·ex|，又 g(x)＝ f2(x)＋ t·f(x)(t∈R)，若满足 g(x)＝－1 的 x 有四个，则 t 的取值范围为( )A．( ，＋∞) B．(－∞，－ )e2＋ 1e e2＋ 1eC．(－ ，－2) D．(2， )e2＋ 1e e2＋ 1e答案 B解析 依题意 g(x)＝ f2(x)＋ t·f(x)＝－1，即 t＝ ＝－[ f(x)＋ ]≤－2，－ 1－ f2 xf x 1f x可排除 A，C，D.也可以画出函数－[ f(x)＋ ]图象如下图所示，要有四个交点，则选1f xB.3．已知函数 f(x)满足下列关系：① f(x＋1)＝ f(x－1)；②当 x∈[－1,1]时， f(x)＝ x2，则方程 f(x)＝lg x 解的个数是( )A．5 B．7 C．9 D．10答案 C解析 由题意可知， f(x)是以 2 为周期，值域为[0,1]的函数．又 f(x)＝lg x，则 x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共 9 个交点．4．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x∈R，都有 f(x)＝ f(x＋4)，且当x∈[－2,0]时， f(x)＝( )x－1，若在区间(－2,6]内关于 x 的方程 f(x)－log a(x＋2)12＝0( a1)恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )A．( ，2) B．( ，2)3 348C．[ ，2) D．( ，2]34 34答案 B解析 作出 f(x)在区间(－2,6]上的图象，可知 loga(2＋2)3⇒ 2 (由于 a4.ab8．已知函数 y＝ 的图象与函数 y＝ kx－2 的图象恰有两个交点，|x2－ 1|x－ 1则实数 k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)9解析 根据绝对值的意义，y＝ ＝Error!|x2－ 1|x－ 1在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当 0k1 或 1k4 时有两个交点．9．已知实数 x， y 满足Error!则 的最大值为________．yx答案 2解析 画出不等式组Error!对应的平面区域 Ω (含边界)为图中的四边形 ABCD，＝ 表示平面区域 Ω 上的点 P(x， y)与原点的连线的斜率，显yx y－ 0x－ 0然 OA 的斜率最大．10．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ x－1 ， y＝ x ， y＝( x－1) 2， y＝ x3中12有三个是增函数；②若 logm3logn30，则 0nm1；③若函数 f(x)是奇函数，则 f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数 f(x)＝3 x－2 x－3，则方程 f(x)＝0 有两个实数根，其中正确的命题是________．答案 ②③④解析 对于①，在区间(0，＋∞)上，只有 y＝ x ， y＝ x3是增函数，所以①错误．对于12②，由 logm3logn30，可得 0，即 log3nlog3m0，所以 0nm1，所以②正1log3m 1log3n确．易知③正确．对于④，方程 f(x)＝0 即为 3x－2 x－3＝0，变形得 3x＝2 x＋3，令y1＝3 x， y2＝2 x＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．1第 39 练 分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{ an}的前 n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏” ．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(f(a))＝2 f(a)的 a 的取值范围是( )A. B．[0,1][23， 1]C. D．[1, ＋∞)[23， ＋ ∞ )答案 C解析 由 f(f(a))＝2 f(a)得， f(a)≥1.当 a0)个单位长度，得到离心率为 e2的双曲线 C2，则( )A．对任意的 a， b， e1e2B．当 ab 时， e1e2；当 ab 时， e1e2答案 D解析 由题意 e1＝ ＝ ；a2＋ b2a2 1＋ (ba)2双曲线 C2的实半轴长为 a＋ m，虚半轴长为 b＋ m，离心率 e2＝ ＝ . a＋ m 2＋  b＋ m 2 a＋ m 2 1＋ (b＋ ma＋ m)2因为 － ＝ ，且 a0， b0， m0， a≠ b，b＋ ma＋ m ba m a－ ba a＋ m所以当 ab 时， 0，即 .m a－ ba a＋ m b＋ ma＋ mba又 0， 0，b＋ ma＋ m ba所以由不等式的性质依次可得 2 2，(b＋ ma＋ m) (ba)1＋ 21＋ 2，(b＋ ma＋ m) (ba)所以 ，即 e2e1；1＋ (b＋ ma＋ m)2 1＋ (ba)2同理，当 ab 时， e1e2.3．(2015·天津)已知椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左焦点为 F(－ c,0)，离心率为 ，点 Mx2a2 y2b2 33在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2＋ y2＝ 截得的线段的长为 c，| FM|＝ .b24 433(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范2围．3解 (1)由已知有 ＝ ，c2a2 13又由 a2＝ b2＋ c2，可得 a2＝3 c2， b2＝2 c2.设直线 FM 的斜率为 k(k＞0)， F(－ c,0)，则直线 FM 的方程为 y＝ k(x＋ c)．由已知，有 2＋ 2＝ 2，(kck2＋ 1) (c2) (b2)解得 k＝ .33(2)由(1)得椭圆方程为 ＋ ＝1，x23c2 y22c2直线 FM 的方程为 y＝ (x＋ c)，33两个方程联立，消去 y，整理得 3x2＋2 cx－5 c2＝0，解得 x＝－ c，或 x＝ c.53因为点 M 在第一象限，可得点 M 的坐标为 .(c，233c)由| FM|＝ ＝ . c＋ c 2＋ (233c－ 0)2 433解得 c＝1，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.x23 y22(3)设点 P 的坐标为( x， y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t＝ ，即 y＝ t(x＋1)( x≠－1)．yx＋ 1与椭圆方程联立，Error!消去 y，整理得 2x2＋3 t2(x＋1) 2＝6，又由已知，得 t＝ ＞ ，6－ 2x23 x＋ 1 2 2解得－ ＜ x＜－1 或－1＜ x＜0.32设直线 OP 的斜率为 m，得 m＝ ，即 y＝ mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得 m2＝ － .yx 2x2 23①当 x∈ 时，有 y＝ t(x＋1)＜0，(－32， － 1)因此 m＞0，于是 m＝ ，得 m∈ .2x2－ 23 (23， 233)②当 x∈(－1,0)时，有 y＝ t(x＋1)＞0，4因此 m＜0，于是 m＝－ ，2x2－ 23得 m∈ .(－ ∞ ， －233)综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 ∪ .(－ ∞ ， －233) (23， 233)高考必会题型题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例 1 设集合 A＝{ x∈R| x2＋4 x＝0}， B＝{ x∈R| x2＋2( a＋1) x＋ a2－1＝0， a∈R}，若B⊆A，求实数 a 的取值范围．解 ∵ A＝{0，－4}， B⊆A，于是可分为以下几种情况．(1)当 A＝ B 时， B＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得Error!解得 a＝1.(2)当 B A 时，又可分为两种情况．①当 B≠∅时，即 B＝{0}或 B＝{－4}，当 x＝0 时，有 a＝±1；当 x＝－4 时，有 a＝7 或 a＝1.又由 Δ ＝4( a＋1) 2－4( a2－1)＝0，解得 a＝－1，此时 B＝{0}满足条件；②当 B＝∅时， Δ ＝4( a＋1) 2－4( a2－1)1 时， f(x)max＝ f(1)＝ a，∴ a＝2.综上可知， a＝－1 或 a＝2.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出 a 的值．变式训练 2 已知函数 f(x)＝2e x－ ax－2( x∈R， a∈R)．(1)当 a＝1 时，求曲线 y＝ f(x)在 x＝1 处的切线方程；(2)求 x≥0 时，若不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．解 (1)当 a＝1 时， f(x)＝2e x－ x－2，f′( x)＝2e x－1， f′(1)＝2e－1，即曲线 y＝ f(x)在 x＝1 处的切线的斜率 k＝2e－1，又 f(1)＝2e－3，所以所求的切线方程是 y＝(2e－1) x－2.(2)易知 f′( x)＝2e x－ a.若 a≤0，则 f′( x)0 恒成立， f(x)在 R 上单调递增；若 a0，则当 x∈(－∞，ln )时， f′( x)0， f(x)单调递增．a2又 f(0)＝0，所以若 a≤0，则当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≥ f(0)＝0，符合题意．若 a0，则当 ln ≤0，a26即 00，即 a2，a2则当 x∈(0，ln )时， f(x)单调递减，a2f(x)|PF2|，∴ ＝ 4， ＝2，∴ ＝2.|PF1| |PF2||PF1||PF2|综上知， ＝ 或 2.|PF1||PF2| 72高考题型精练1．若关于 x 的方程| ax－1|＝2 a (a0 且 a≠1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是( )A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D.(0，12)答案 D解析 方程| ax－1|＝2 a (a0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数y＝| ax－1|与 y＝2 a 有两个交点．①当 01 时，如图(2)，而 y＝2 a1 不符合要求．综上，00 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；8当 a0)的焦点为 F， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若△ OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为( )A．2 B．3C．4 D．6答案 C解析 当| PO|＝| PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个；当|OP|＝| OF|时，点 P 的位置也有两个；对| FO|＝| FP|的情形，点 P 不存在．事实上， F(p,0)，若设 P(x， y)，则| FO|＝ p，| FP|＝ ，若 ＝ p，则有 x－ p 2＋ y2  x－ p 2＋ y2x2－2 px＋ y2＝0，又∵ y2＝4 px，∴ x2＋2 px＝0，解得 x＝0 或 x＝－2 p，当 x＝0 时，不构成三角形．当 x＝－2 p(p0)时，与点 P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点 P 一共有 4 个．4．函数 f(x)＝Error!的值域为________．答案 (－∞，2)解析 当 x≥1 时， 是单调递减的，12()logfx此时，函数的值域为(－∞，0]；当 x4 时， g(a)＝ f(－2)＝7－3 a≥0，a29得 a≤ ，故此时 a 不存在．73(2)当－ ∈[－2,2]，即－4≤ a≤4 时， g(a)＝ f ＝3－ a－ ≥0，得－6≤ a≤2，又a2 (－ a2) a24－4≤ a≤4，故－4≤ a≤2.(3)当－ 2，即 a1.若 a0，1a解得 x1.1a若 a0，原不等式等价于( x－ )(x－1)1 时， 1，解( x－ )(x－1)1}；1a当 a＝0 时，解集为{ x|x1}；当 01 时，解集为{ x| Sn－ ≥ S2－ ＝ － ＝－ .1Sn 1S2 34 43 712综上，对于 n∈N *，总有－ ≤ Sn－ ≤ .712 1Sn 56所以数列{ Tn}最大项的值为 ，最小项的值为－ .56 7129．已知 a 是实数，函数 f(x)＝ (x－ a)．x(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(a)为 f(x)在区间[0,2]上的最小值．①写出 g(a)的表达式；②求 a 的取值范围，使得－6≤ g(a)≤－2.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f′( x)＝ (x0)．3x－ a2x若 a≤0，则 f′( x)0， f(x)有单调递增区间[0，＋∞)．若 a0，令 f′( x)＝0，得 x＝ ，a3当 0 时， f′( x)0.a3f(x)有单调递减区间[0， ]，a3有单调递增区间( ，＋∞)．a3(2)①由(1)知，若 a≤0， f(x)在[0,2]上单调递增，所以 g(a)＝ f(0)＝0.若 00)，ax a－ xx当 a≤0 时， f′( x)0 时，由 f′( x)0 得 0a，∴ f(x)递增区间为(0， a)，递减区间为( a，＋∞)．(2)由(1)知：当 a≤0 时， f(x)在(0，＋∞)上为减函数，而 f(1)＝0，∴ f(x)≤0 在区间 x∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当 a0 时， f(x)在(0， a)上递增，在( a，＋∞)上递减，12f(x)max＝ f(a)＝ aln a－ a＋1，令 g(a)＝ aln a－ a＋1，依题意有 g(a)≤0，而 g′( a)＝ln a，且 a0，∴ g(a)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴ g(a)min＝ g(1)＝0，故 a＝1.