1、思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M=(x,y)|y=x+a,N=(x,y)|x2+y2=2,且MN=,则实数a的取值范围是() A.a2B.a2或a-2D.-2a2答案：C解析：MN=等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,由题易知一元二次方程无实根,即=(2a)2-42(a2-2)2或a-2.2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.-1,1B.C.D.答案：D解析：由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-b.3.设P为曲线C:y=x2+2x
2、+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.-1,0C.0,1D.答案：A解析：设P(x0,y0),倾斜角为,0tan 1,y=f(x)=x2+2x+3,f(x)=2x+2,02x0+21,-1x0-,故选A.4.设a=(sin 17+cos 17),b=2cos213-1,c=,则a,b,c的大小关系是()A.cabB.acbC.bacD.cba答案：A解析：a=sin(17+45)=sin 62,b=cos 26=sin 64,c=sin 60,cab.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(
3、x)2(xR),则不等式f(x)2x+1的解集为()A.(1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)答案：A解析：设F(x)=f(x)-2x-1,则F(x)=f(x)-21时,F(x)0,不等式f(x)2x+1的解集为(1,+),故选A.6.已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,bR),f(lg(log210)=5,则f(lg(lg 2)=()A.-5B.-1C.3D.4答案：C解析：因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(l
4、g 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsin t+4=5,所以at3+bsin t=1,所以f(-t)=-at3-bsin t+4=-1+4=3.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案：(-13,13)解析：若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d=,0|c|13,即c(-13,13).8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2,若对任意xa,a+2,不等式f(x+a)f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是.答案：(-
5、,-5解析：当x0时,f(x)=x2,此时函数f(x)单调递增.f(x)是定义在R上的奇函数,函数f(x)在R上单调递增.若对任意xa,a+2,不等式f(x+a)f(3x+1)恒成立,则x+a3x+1恒成立,即a2x+1恒成立.xa,a+2,(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,即a2a+5,解得a-5,实数a的取值范围是(-,-5.9.若对于任意t1,2,函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.解g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则g(x)0在区间(t,3)内恒成立或g(x)0在区间(t,3)内
6、恒成立.由得3x2+(m+4)x-20,即m+4-3x在x(t,3)内恒成立,m+4-3t恒成立,则m+4-1,即m-5;由得m+4-3x在x(t,3)内恒成立,则m+4-9,即m-.故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-m-5.10.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处的切线方程;(2)已知对一切x(0,+),af(x)+4a2xln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.解(1)由题意知当a=0时,f(x)=x3-3x,所以f(x)=2x2-3.又f(3)=9,f(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(
7、3,f(3)处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1ln x,即a在x(0,+)时恒成立.设g(x)=,则g(x)=,当0x0;当x时,g(x)0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B.C.D.答案：B解析：显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sinPAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则00,b0)的左、右焦点,若双曲线
8、右支上存在一点P,使(+)=0,O为坐标原点,且|=|,则该双曲线的离心率为()A.+1B.C.+D.答案：A解析：如图,取F2P的中点M,则+=2.又由已知得2=0,.又OM为F2F1P的中位线,.在PF1F2中,2a=|-|=(-1)|,由勾股定理,得2c=2|.e=+1.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间0,1上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.答案：3,+)解析：由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在0,1上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0x1可将方程x2-ax+2=0变形为a=x+.从而问题转化为求函数g(x)=x+(0x1)的值域.易
9、知函数g(x)在区间(0,1上单调递减,所以g(x)3,+).故所求实数a的取值范围是a3.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若xR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是.答案：(-4,0)解析：将问题转化为g(x)0的解集的补集是f(x)0的解集的子集求解.g(x)=2x-20,x1.又xR,f(x)0或g(x)0,1,+)是f(x)0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)0知m不可能大于等于0,因此m0.当m0时,f(x)0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)-m-3,即-1m0,此时f(x)2m或x-m-3,依题意2m1,
10、即-1m0;若2m-m-3,即m-1,此时f(x)0的解集为x|x-m-3,依题意-m-3-4,即-4m-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4mln(n+1)(nN*).(1)解g(x)=f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),g(x)=-1(x0).令g(x)0,解得0x1;令g(x)1.函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,g(x)g(1)=-2,即ln x-(x+1)-2ln xx-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得tln(t+1),取t=(nN*),则ln=ln,1ln 2,ln,ln,ln,叠加得1+ln=ln(n+1).4
