1、5.5.2 运用柯西不等式求最大（小）值同步测控我夯基,我达标1.函数y=的最大值为( )A.3 B. C.2 D.解析:y2=()212+()2()2+()2=3,y.答案:B2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为( )A. B.2 C. D.3解析:(2x+y)2=(+y)2()2+1()2+y2=3(2x2+y2)=3,2x+y.答案:C3.已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为( )A. B.25 C.5 D.10解析:(3x+y)2()2()2+()2(x)2+(y)2=(3x2+2y2),3x2+2y225=.答案:A4.已知a+b+c=3,且a、b、cR+,则的最小
2、值为( )A.3 B.1 C. D.解析:()(3-a)+(3-b)+(3-c)a+b+c=3,而(3-a)+(3-b)+(3-c)=9-(a+b+c)=6,.答案:D5.a12+a22+a102=6,x12+x22+x102=24,则a1x1+a2x2+a10x10的最大值为( )A.6 B.12 C.24 D.144解析:(a12+a22+a102)(x12+x22+x102)(a1x1+a2x2+a10x10)2,a1x1+a2x2+a10x10=12.答案:B6.已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为( )A.6 B.36 C.12 D.24解析:(x+2y+3z)2
3、=()212+()2+()2x2+()2+()2=6(x2+2y2+3z2),x2+2y2+3z26.答案:A7.已知a+b+c+d=,则的最小值为( )A. B.2 C.1 D.4解析:(12+12)(a2+b2)(a+b)2,.同理,(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)=2(a+b+c+d)=2,最小值为2.答案:B8.已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为( )A.3 B.1 C. D.-1解析:()2(12+22+32)(2x+1)+(2y+3)+(3z+4)=14(2x+2y+3z+8)=28(x+y+z+4),x+y+z+4.x+y+-4=-.答案:C我综合，我发展9.
4、(a+b+c)(+)的最小值为_(a、b、cR+).解析:(a+b+c)(+)()2=9.答案:910.a、b、c、dR+,则(+)(+)的最小值为_.解析:利用柯西不等式,原式(1+1+1+1)2=16.答案:1611.若a+b+c+d=1,且a、b、c、dR+,则的最小值为_.解析:(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)(+)a+b+c+d=1,+.答案:12.已知x1,x2,xnR+,且x1+x2+xn=n,求证:n.证明:(x1+x2+xn)()(1+1+1)2=n2,又x1+x2+xn=n,+n.13.已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值.解:S2=(x
5、+2y+3z)2=(x)+2y+2()2+22+()2(x)2+y2+(z)2=(+4+)(2x2+y2+5z2)=(2x2+y2+5z2)=3=,S.S的最大值为.我创新，我超越14.求三个实数x、y、z,使得它们同时满足下列等式:2x+3y+z=13, 4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82. 分析:可先观察两等式之间的联系,再进一步变形.解:+,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95,即(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108.由得2x+(3y+3)+(z+2)=18,182=(2x)+(3y+3)+(z+2)2(12+12+12)(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=1083.当且仅当2x=3y+3=z+2=6时取“=”.x=3,y=1,z=4.15.已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式恒成立,求的取值范围.分析:本题的已知条件为x+y+z=xyz,所证的不等式中有和,需要转化为积,由平均不等式转化.解:x、y、z为正数,+=()=()(12+12+12)()=,的取值范围为,+).4
