1、十一、立体几何角的计算与证明一、选择题1【2017年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ）是A. B. C. D. 【答案】A2【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）A. B. C. D. 【答案】A3如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于, 下面结论成立的是( ) A. 平面 B. 平面C. 平面 D. 平面【答案】A【解析】证明：在折叠过程中，始终有，即平面，故选A.4如图，在四面体中，若，AB=BC， ， 是的中点，则下列命题中正
2、确的是（ ）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面，且平面平面D. 平面平面，且平面平面【答案】C【解析】因为， ， 是的中点， 平面，由面面垂直判定定理可得平面平面，平面平面，故选C.5已知正方体，点， ， 分别是线段， 和上的动点，观察直线与， 与给出下列结论：对于任意给定的点，存在点，使得；对于任意给定的点，存在点，使得；对于任意给定的点，存在点，使得；对于任意给定的点，存在点，使得其中正确结论的个数是（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】C当点与重合时， 且， 平面，对于任意给定的点，存在点，使得，故正确只有垂直于在平面中的射影时， ，故正确只有平面时，才正确，因为过
3、点的平面的垂线与无交点，故错误综上，正确的结论是，故选6在正三棱柱中，点、分别是棱、的中点，若，则侧棱的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】7【2018届江西省南昌市高三上摸底】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 满足， 为球的直径且，则点到底面的距离为A. B. C. D. 【答案】B【解析】三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 为球的直径且，球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，满足， ，是中点，且，点到底面的距离为，故选B8【2017届广东省广州高三下第一次模拟】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若
4、三棱锥为鳖臑， 平面， ， ，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9【2018届海南省八校高三上新起点联考】在三棱锥中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】10【2017年浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟（二）】如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设 (在上， 在上， 在上)由， ，知， ， 在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为
5、同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为故选B11【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下第八次模拟】已知正方体的棱长为2，其表面上的动点到底面的中心的距离为，则线段的中点的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B12【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上开学】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 二、填空题13【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】一个棱长为2的正
6、方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为_，体积为_【答案】 【解析】：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，正方体的棱长是2，三棱锥的体积 ，剩余部分体积 ，截面为边长为 的正三角形，其面积为 则该几何体的表面积为 .14在正三棱锥中， 是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_【答案】， 15【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】当四边形ABOC为平面四边形时，
7、点A到点O的距离最大。此时平面ABOC平面，过D作DN平面ABOC，垂足为N，则N为正三角形ABC的中心。16【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】【解析】三、解答题17【2017浙江卷】如图，已知四棱锥P-ABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，
8、CDAD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（I）见解析；（II）.（）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可证明；（）由题意，取BC，AD的中点M，N，可得AD平面PBN，即BC平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角依此可在RtMQH中，求QMH的正弦值试题解析：（）如图，设PA中点为F，连接EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为， ，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB所以
9、AD平面PBN，由BC/AD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是18【2018届浙江省温州市高三9月测试（一模）】如图，四面体中，平面平面（1）求的长；（2）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）；（2）.试题解析：（1），又平面平面，平面平面，平面，.由，得，又，
10、又，19【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，为的中点，.（I）求证：直线平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）易证，再在底面证明，从而目标得证；（2）连接过点作于点.由（1）易得平面，所以为直线与平面所成的角，在PAE中求出所成角的正弦值即可.试题解析：（I）证明：， 又又平面,直线平面.（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系.设平面的法向量，.所以直线与平面所成角的正弦值为20【2017北京卷】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PPD/平面
11、MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）（3）试题解析：解：（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接， .因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则， ， ， .设平面的法向量为，则，即.令，则， .于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.21【2018届广东省东莞外国语学校高三第一次月考】如图,矩形中, ,
12、分别为边上的点,且,将沿折起至位置(如图所示),连结,其中.() 求证: ； () 在线段上是否存在点使得?若存在,求出点的位置；若不存在,请说明理由.() 求点到的距离.【答案】（1）见解析；（2）（）由PF平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离试题解析：()连结,由翻折不变性可知, , , 在中, ,所以 在图中,易得,在中, ,所以又, 平面, 平面,所以平面.() 当为的三等分点(靠近)时, 平面. 证明如下: 因为, ,所以 又平面, 平面,所以平面. （注：学生不写平面,扣1分） () 由()知平面,所以为三棱锥的高. 设点到平面的距离为
13、,由等体积法得,即,又, 所以,即点到平面的距离为.22.【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】如图，已知四棱锥，底面为菱形，, 平面， 分别是的中点.（1）证明： ；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）试题解析：(1)证明：由四边形为菱形， ，可得为正三角形。因为为BC的中点，所以,又,因此，因为， 平面，所以，而，所以（2）设为上任意一点，连接、所以 =45，于是因为平面， 平面，所以平面平面，过作于，则由面面垂直的性质定理可知: 平面,所以，过过作于，连接， 平面，所以,则为二面角的平面角，在中， ， 又是的中点， ,且在中， ，又=,在中， =即二面角的余弦值为.- 24 -
