1、第二章 圆锥曲线及方程综合检测一、选择题1.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为().A.B.C.D.【解析】依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,a2-c2=c2,e=.【答案】D2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是().A.B.C.-D.不存在【解析】显然双曲线焦点在x轴上,故9-m2=m2+3,所以m2=3,即m=.【答案】A3.若椭圆+=1(ab0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为().A.B.C.D.【解析】由题意知e2=,得=,而双曲线的离心率e2=1+=,故e=.【答案】B4.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x
2、交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足为P,Q,则梯形APQB的面积为().A.48B.56C.64D.72【解析】联立方程组解得点A(1,-2),B(9,6).抛物线准线为x=-1,|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8.故S梯形APQB=48.【答案】A5.设离心率为e的双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是().A.k2-e21B.k2-e21D.e2-k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-k,即k21.【答案】C6.已知点N(3,0),圆(x+2)2
3、+y2=16的圆心为M,设A为圆上任一点,线段AN的垂直平分线交直线MA于点P,则动点P的轨迹是().A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由中垂线的性质可知|AP|=|NP|,因为|AP|=|MP|+|AM|,所以|NP|=|MP|+|AM|,即|NP|-|MP|=|AM|,所以动点P的轨迹是双曲线.【答案】C7.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,因为点(2,)在渐近线上,所以=.又双曲线的一个焦点在抛物
4、线y2=4x的准线方程x=-上,所以c=,由此可解得a=2,b=,所以双曲线的方程为-=1,故选D.【答案】D8.已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于().A.B.C.2D.2【解析】由题意知抛物线的焦点为(,0),即c=.双曲线的渐近线方程为y=x,即=,得b=a,所以b2=2a2=c2-a2,故c2=3a2,即e2=3,得e=.【答案】B9.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为().A.2B.-2
5、C.D.-【解析】已知直线m与椭圆交于P1,P2两点,从而设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知点P,即k2=,设直线m:y=k1(x+2),联立椭圆方程得(2+1)x2+8x+8-2=0,可得x1+x2=-,所以y1+y2=k1(x1+x2)+4k1=,则k2=-,即k1k2=-.【答案】D10.如图,某人造卫星的运行轨道是以地球中心F2为一个焦点的椭圆,设近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,地球半径为r千米,且点F2,A,B在同一直线上,则该卫星运行轨道的短半轴长为().(单位:千米)A.2mnB.2C.mnD.【解析】由图可知b2=a
6、2-c2=(a+c)(a-c)=(m+r)(n+r),故选D.【答案】D11.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是().A.B.C.D.2【解析】设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.|PF1|=x,|PF2|=y,(xy0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,当点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P
7、看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4.又=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为,故选A.【答案】A12.若椭圆C1:+=1(a1b10)和椭圆C2:+=1(a2b20)的焦点相同,且a1a2.给出如下四个结论:椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;-=-;a1-a2b1-b2.其中,所有正确结论的序号是().A.B.C.D.【解析】易知正确;对于,-=-=0,故b1+b2,故a1-a2y,由e2=3e1,得a2=.由椭圆定义及勾股定理,得解得e1=.【
8、答案】15.如图,椭圆的中心在坐标原点,F为左焦点,A,B分别为长轴、短轴上的一个顶点,当FBAB时,此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推出“黄金双曲线”的离心率为.【解析】由题意可类比出“黄金双曲线”的图形大致如右图.由图可知(a+c)2=(b2+c2)+(b2+a2),把b2=c2-a2代替,整理得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=,故e=.【答案】16.已知A(1,1)为椭圆+=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,则|PF1|+|PA|的最大值为,最小值为.【解析】由+=1可知,a=3,b=,c=2,左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).由椭
9、圆的定义知,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如图,由|PA|-|PF2|AF2|=,得-|PA|-|PF2| .当点P在AF2的延长线上的P2处时,取右“=”;当点P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”,即|PA|-|PF2|的最大值、最小值分别为、-.于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6-.【答案】6+6-三、解答题17.已知点P,F1 (-2,0),F2 (2,0).(1)求以F1,F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(2)求以F1,F2为焦点且过点P的双曲线的标准方程.【解析】(1
10、)由于椭圆焦点在x轴上,故可设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),由椭圆的定义知,2a=+=+=2.a2=10,又c=2,b2=a2-c2=10-4=6, 椭圆的标准方程为+=1.(2)由于双曲线焦点在x轴上,故可设所求双曲线的标准方程为-=1(a10,b10),由双曲线的定义知,2a1=-=-=,=,=-=4-=,故所求双曲线的标准方程为-=1.18.如图,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D.(
11、1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2=1.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知=,2a+2c=4(+1),得a=2,c=2.又a2=b2+c2,所以b=2.故椭圆的标准方程为+=1.由题意,设等轴双曲线的标准方程为-=1(m0).因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以m=2.故双曲线的标准方程为-=1.(2)设点P(x0,y0),则k1=,k2=.因为点P在双曲线x2-y2=4上,所以-=4.故k1k2=1,即k1k2=1.19.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .(1)求点P的
12、轨迹方程.(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【解析】(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由= 得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过
13、点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.20.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,又x1+x2=4,所以直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,所以M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),所以|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.由=16(m+1)0,即m-1,得x1,2
14、=22.所以|AB|=|x1-x2|=4.由AMBM得|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7或m=-1(舍去).所以直线AB的方程为y=x+7.21.已知椭圆+=1(ab0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且|OA|=|OF|=(其中O为坐标原点).(1)求椭圆的方程.(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM交椭圆于点P,问:x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由已知得b=c=,a2=b2+c2=4,故所求椭圆方程为+=1.(2)由(1)知,点C(-
15、2,0),D(2,0),由题意可设直线CM:y=k(x+2),P(x1,y1),M(2,4k).由整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,方程显然有两个解,-2x1=,得x1=,y1=,所以点P.设点Q(x0,0)(x00),若存在满足题设的点Q,则MQDP,由=0,及=(x0-2,-4k),=,整理可得=0恒成立,所以x0=0.故存在定点Q(0,0)满足题设要求.22.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点). 点D在椭圆C上,且ADAB
16、,直线BD与x轴,y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明:存在常数使得k1=k2,并求出的值;求OMN面积的最大值.【解析】(1)由题意知=,可得a2=4b2,则椭圆C的方程可简化为x2+4y2=a2.将y=x代入可得x=,因此=,可得a=2,因此b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设点A(x1,y1)(x1y10),D(x2,y2),则B(-x1,-y1).因为直线AB的斜率kAB=,又ABAD,所以直线AD的斜率k=-.设直线AD的方程为y=kx+m,由题意知k0,m0.由可得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0.所以x1+x2=-,因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=.由题意知x1-x2,所以k1=-=.所以直线BD的方程为y+y1=(x+x1).令y=0,得x=3x1,即点M(3x1,0),可得k2=-.所以k1=-k2,即=-.因此存在常数=-使得结论成立.直线BD的方程为y+y1=(x+x1),令x=0,得y=-y1,则点N.由知M(3x1,0),可得OMN的面积S=3|x1|y1|=|x1|y1|.因为|x1|y1|+=1,当且仅当=|y1|=时等号成立,此时S取得最大值,所以OMN面积的最大值为.11
