（新课标2专版）高考数学分项版解析 专题1-16 理（打包16套）.zip

1【十年高考】 （新课标 2 专版）高考数学分项版解析 专题 08 直线与圆 理一．基础题组1. 【2005 全国 3，理 2】已知过点 A(－2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y－1=0 平行，则 m 的值为 （ ）A．0 B．－8 C．2 D．10【答案】B【解析】由 2X+Y-1=0 得 y=-2x+1，设过 A,B 的直线为 y=kx+b，因为两直线平行,所以 k 相等，所以 k=-2，所以 y=-2x+b,把 A,B 代入得，m=4+b，4=-2m+b，解得 b=-12,m=-8.2. 【2006 全国 2，理 15】过点(1,2)的直线 l 将圆( x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= .【答案】 23. 【2005 全国 2，理 13】圆心为 且与直线 相切的圆的方程为(1,2)512 70xy_____________________．【答案】 4)()1(22yx【解析】所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线 的距离： 512 70xy2，22|517|()d所以圆的方程为： .4)2(12yx二．能力题组1. 【2014 新课标，理 16】设点 M（ ,1） ，若在圆 O: 上存在点 N，使得0x21xy∠OMN=45°，则 的取值范围是________.0x【答案】 [1,]2. 【2015 高考新课标 2，理 7】过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M， N 两点，(1,3)A(4,2)B(1,7)C则 ( )||MNA．2 B．8 C．4 D．1066【答案】C【考点定位】圆的方程．3. 【2016 高考新课标 2 理数】圆 的圆心到直线28130xy3的距离为 1，则 a=10axy（A） （B） （C） （D）243343【答案】A【考点】圆的方程、点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断．若 dr，则直线与圆相离；若 d＝ r，则直线与圆相切；若 d0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．1【十年高考】 （新课标 2 专版）高考数学分项版解析 专题 09 圆锥曲线 理一．基础题组1. 【2012 全国，理 3】椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x＝－4，则该椭圆的方程为( )A． B． C． D．216xy218xy218xy21y【答案】 C 2. 【2006 全国 2，理 5】已知△ ABC 的顶点 B, C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个3x焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是（ ）A.2  B.6 C.4  D.123【答案】:C3. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为（ ）12byax34A.  B.  C.  D. 353452【答案】:A2【解析】: 的渐近线方程为 ± =0.12byaxaxby∴ y=± x.由 y= x,可知 = ,34a设 a=3x,b=4x,则 c=5x,∴ E= .∴选 A.54. 【2005 全国 2，理 6】已知双曲线 的焦点为 、 ，点 在双曲线上且2163xy1F2M轴，则 到直线 的距离为（ ）1MFx1FM(A) (B) (C) (D) 3655556【答案】C5. 【2011 新课标，理 14】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率为 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且△ ABF2的周长为 16，那么 C2的方程为__________．【答案】2168y【解析】36. 【2005 全国 2，理 21】(本小题满分 14 分)、 、 、 四点都在椭圆 上， 为椭圆在 轴正半轴上的焦点．已知PQMN21yxFy与 共线， 与 共线，且 ．求四边形 的面积的最小值和最FF0PMPMQN大值．【答案】见解析4(1)当 ≠0 时，MN 的斜率为－ ，同上可推得k1k212()| kMN故四边形面积2214()4()1||25kkSPQN令 = 得u2k()1()552uu∵ = ≥221当 =±1 时 =2，S= 且 S 是以 为自变量的增函数ku69u∴ 1629S5显然当 t (1,2)时函数 ss 递减，当 时函数 s 递增t2（ ， ）所以当 t=2 时（即 k= 时）最小的面积为 s=191624而最大面积为 ， （注：此时 MN 在 y 轴上，PQ 在 x 轴上）24limli2tstt二．能力题组1. 【2014 新课标，理 10】设 F 为抛物线 C: 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线23yx交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则6△OAB 的面积为（ ）A. B. C. D. 3493863294【答案】D2. 【2012 全国，理 8】已知 F1， F2为双曲线 C： x2－ y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2| PF2|，则 cos∠ F1PF2＝( )A． B． C． D．43545【答案】C【解析】3. 【2011 新课标，理 7】设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l与 C 交于 A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )A． B． C． 2 D． 323【答案】B【解析】74. 【2005 全国 3，理 9】已知双曲线 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且2yx则点 M 到 x 轴的距离为（ ）120,FA． B． C． D．435333【答案】C5. 【2010 全国 2，理 15】已知抛物线 C： y2＝2 px(p＞0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B，若 ＝ ，则 p＝________.3 A【答案】：286. 【2014 全国 2，理 20】设 , 分别是椭圆 的左右焦点，M 是 C 上一点且 与 x 轴垂1F210yxab2MF直，直线 与 C 的另一个交点为 N.1M（Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34（Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ，求 a,b.15NF【答案】 （1）C 的离心率为 （2） ，17a2b【解析】 （Ⅰ）由题意知， ，所以 ，由勾股定理可得：||34MFc3||c，由椭圆定义可得： = ，解得 C 的离心率为 。15||2MFc2512（Ⅱ）由题意，原点 O 为 的中点， ∥y 轴，所以直线 与 y 轴的交点121MFD（0，2）是线段 的中点，故 ，即 ，由 得14baa15N，设 ，由题意知 ，则1|||FN1(,)xy10y9，即 ，代入 C 的方程得 ，将 及12()cxy132xcy2914cab24a代入 得： ，解得 ， .2cab294cab29()7b7. 【2013 课标全国Ⅱ，理 20】(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：(a＞ b＞0)右焦点的直线 交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且2=1xy30xyOP 的斜率为 .(1)求 M 的方程；(2)C， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥ AB，求四边形 ACBD 面积的最大值．【答案】 （1） M 的方程为 （2） ACBD 面积的最大值为2=163xy863(2)由 230,16xy10解得 或43,,xy0,.xy因此| AB|＝ .4638. 【2011 新课标，理 20】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－1)， B 点在直线y＝－3 上， M 点满足 ∥ ， ， M 点的轨迹为曲线 C．BOAB(1)求 C 的方程；(2)P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值【答案】 （1） C 的方程为 y＝ x2－2 （2） O 点到 l 距离的最小值为 214【解析】：(1)设 M(x， y)，由已知得 B(x，－3)， A(0，－1)．所以 ＝(－ x，－1－ y)， ＝(0，－3－ y)， ＝( x，－2)．A11再由题意可知 ，即(－ x，－4－2 y)·(x1，－2)＝0.()0MAB所以曲线 C 的方程为 y＝ x2－2.149. 【2010 全国 2，理 21】已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： － ＝1( a＞0， b＞0)2xyb相交于 B、 D 两点，且 BD 的中点为 M(1,3)．(1)求 C 的离心率；(2)设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，| DF|·|BF|＝17，证明过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切．【答案】 （1） C 的离心率 e＝ ＝2 （2）见解析ca【解析】：(1)由题设知， l 的方程为 y＝ x＋2.代入 C 的方程，并化简，得(b2－ a2)x2－4 a2x－4 a2－ a2b2＝0，设 B(x1， y1)、 D(x2， y2)，则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝－ ， ①ba24ba由 M(1,3)为 BD 的中点知 ＝1，故× ＝1，即 b2＝3 a2， ②224ba12故 c＝ ＝2 a，所以 C 的离心率 e＝ ＝2.bca(2)由①②知， C 的方程为 3x2－ y2＝3 a2，A(a,0)， F(2a,0)， x1＋ x2＝2， x1·x2＝－ ＜0，2410. 【2005 全国 3，理 21】 （本小题满分 14 分）设 两点在抛物线 上， l 是 AB 的垂直平分线.),(),(21yxBA2xy（Ⅰ）当且仅当 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；1（Ⅱ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.【答案】见解析【解析】：（Ⅰ） 两点到抛物线的准线的距离相等.BAFl,||13∵抛物线的准线是 x 轴的平行线， 不同时为 0，2121,,0yy依 题 意∴上述条件等价于 ;)(21 xxy∵ ， ∴上述条件等价于 21x.21即当且仅当 时， l 经过抛物线的焦点 F.021（II）设 l 在 y 轴上的截距为 b，依题意得 l 的方程为 ；过点 A、B 的直线方程bxy2可写为 ，所以 满足方程 得 ；mx221,x,012mx4121A，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 84即 .31设 AB 的中点 N 的坐标为 ，则),(0yx.162,8(2010 mx由 .32915,46, bml于 是得即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（ ）.,39三．拔高题组1. 【2013 课标全国Ⅱ，理 11】设抛物线 C： y2＝2 px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )．A． y2＝4 x 或 y2＝8 x B． y2＝2 x 或 y2＝8 xC． y2＝4 x 或 y2＝16 x D． y2＝2 x 或 y2＝16 x【答案】：C142. 【2013 课标全国Ⅱ，理 12】已知点 A(－1,0)， B(1,0)， C(0,1)，直线 y＝ ax＋ b(a＞0)将△ ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )．A．(0,1) B． C． D．21,21,31,32【答案】：B【解析】：3. 【2010 全国 2，理 12】已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的离心率为 ，过右焦2xy3215点 F 且斜率为 k(k＞0)的直线与 C 相交于 A、 B 两点，若 ＝3 ，则 k 等于( )FBA．1 B. C. D． 223【答案】：B 4. 【2005 全国 3，理 10】设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率 （ ）16A． B． C． D．221221【答案】D【解析】 ， ，则垂线 ， ，∴21xyab2(,0)Fcxc21yab，24222()()cbya∴ ， ， ，所以 ，即 a²-c²=2ac，即 c²+2ac-a²=0，2|baPF12c2ca∴ ，∴ ，∵00).过 A,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M.AF(1)证明 · 为定值;M(2)设△ ABM 的面积为 S,写出 S=f(λ )的表达式,并求 S 的最小值.【答案】见解析197. 【2015 高考新课标 2，理 11】已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ）A． B． C． D．53【答案】D【解析】设双曲线方程为 ，如图所示， ，21(0,)xyabABM，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ，012ABMNNRtNa，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即3Na(2,3)Ma22bc，所以 ，故选 D．2c2e20【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．8. 【2015 高考新课标 2，理 20】 （本题满分 12 分）已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个:9(0)CxymlOlC交点 ， ，线段 的中点为 ．ABM(Ⅰ)证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；Ol（Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？l(,)3CPAB若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能， 或 ．4721由(Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ．由 得OM9yxkPPx229,yxkm，即 ．将点 的坐标代入直线 的方程得2981Pkmx239Pmk(,)3l，因此 ．四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线(3)b2()MxOAPBAB段 互相平分，即 ．于是OPP239km．解得 ， ．因为 ， ， ，所以当2(3)9mk147k2470,3iik12的斜率为l或 时，四边形 为平行四边形．47OAPB【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．9. 【2016 高考新课标 2 理数】已知 F1， F2是双曲线 E： 的左，右焦点，点 M21xyab在 E 上， M F1与 轴垂直，sin ,则 E 的离心率为x213M（A） （B） （C） （D）22【答案】A【解析】【考点】双曲线的几何性质、离心率 【名师点睛】区分双曲线中 a， b， c 的关系与椭圆中 a， b， c 的关系，在椭圆中a2＝ b2＋ c2，而在双曲线中 c2＝ a2＋ b2.双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离22心率 e∈(0，1)．10. 【2016 高考新课标 2 理数】已知椭圆 E: 的焦点在 轴上， A 是 E 的213xytx左顶点，斜率为 k (k 0)的直线交 E 于 A， M 两点，点 N 在 E 上， MA⊥ NA.（Ⅰ）当 t=4， 时，求△ AMN 的面积；AMN（Ⅱ）当 时，求 k 的取值范围.2【答案】 （Ⅰ） ；（Ⅱ） .14932,【解析】（II）由题意 ， ， .3t0k,At将直线 的方程 代入 得AM()yxt213xyt.2230tkxtk由 得 ，故123tt21tkx.22163tAMxtkk23由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 ，AN1yxtk2613ktAN由 得 ，即 .2M23tt32tk当 时上式不成立，3k因此 . 等价于 ，312tt232310kk即 .由此得 ，或 ，解得 .30k30k302k因此 的取值范围是 .2,【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．1【十年高考】 （新课标 2 专版）高考数学分项版解析 专题 10 立体几何 理一．基础题组1. 【2013 课标全国Ⅱ，理 4】已知 m， n 为异面直线， m⊥平面 α ， n⊥平面 β .直线 l 满足 l⊥ m， l⊥ n， l α ， l β ，则( )．A． α ∥ β 且 l∥ αB． α ⊥ β 且 l⊥ βC． α 与 β 相交，且交线垂直于 lD． α 与 β 相交，且交线平行于 l【答案】：D【解析】因为 m⊥ α ， l⊥ m， l α ，所以 l∥ α .同理可得 l∥ β .又因为 m， n 为异面直线，所以 α 与 β 相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D.2. 【2012 全国，理 4】已知正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝2， ， E 为 CC112C的中点，则直线 AC1与平面 BED 的距离为( )A．2 B． C． D．132【答案】 D 2又△ ACC1为等腰直角三角形，∴ CH=2.∴ HM=1.3. 【2011 新课标，理 6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )【答案】D3【解析】4. 【2006 全国 2，理 4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为A.  B.  C.  D. 16316983329【答案】:A5. 【2006 全国 2，理 7】如图,平面 α ⊥平面 β ,A∈ α ,B∈ β ,AB 与两平面 α ,β 所成的角分别为 和 .过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′, B′,则 AB∶ A′ B′等于46A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶3【答案】:A46. 【2005 全国 3，理 4】设三棱柱 ABC—A1B1C1的体积为 V，P、Q 分别是侧棱 AA1、CC 1上的点，且 PA=QC1，则四棱锥 B—APQC 的体积为（ ）A． B． C． D．6V4V32【答案】C【解析】连接 ，在侧面平行四边形 中，∵ ，1,C1A1PAQC∴ 四边形 APQC 的面积 =四边形 的面积 ，S1PQC2S记 B 到面 的距离为 h，∴ ， ，1A13BAVh123BPQACVSh∴ ，1PQCBV∵ ，∴ ，∴ .13BA 12APQCBABAPQCV7. 【2005 全国 2，理 2】正方体 中， 、 、 分别是 、 、1DCRBAD的中点．那么，正方体的过 、 、 的截面图形是（ ）1CR(A) 三角形 (B) 四边形 (C) 五边形 (D) 六边形【答案】D58. 【2014 新课标，理 18】 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC；（Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= ，求三棱锥 E-ACD 的体积.3【答案】见解析【解析】 （Ⅰ）证明：设 O 为 AC 与 BD 交点，连结 OE，则由矩形 ABCD 知：O 为 BD 的中点，因为 E 是 BD 的中点，所以 OE∥PB，因为 OE 面 AEC，PB 面 AEC，所以 PB∥平面 AEC。69. 【2012 全国，理 18】△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 cos(A－ C)＋cos B＝1， a＝2 c，如图，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA⊥底面 ABCD，， PA＝2， E 是 PC 上的一点， PE＝2 EC．AC(1)证明： PC⊥平面 BED；(2)设二面角 A－ PB－ C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．【解析】解法一：(1)证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD⊥ AC．又 PA⊥底面 ABCD，所以 PC⊥ BD．设 AC∩ BD=F，连结 EF.因为 ， PA=2， PE=2EC，2AC7故 ， ， ，23PC23E2FC从而 ， ，6FA因为 ，∠ FCE=∠ PCA，E所以△ FCE∽△ PCA，∠ FEC=∠ PAC=90°，由此知 PC⊥ EF.PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD， EF 都垂直，所以 PC⊥平面 BED．解法二：(1)证明：以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A－ xyz.设 C( ，0,0)， D( ， b,0)，其中 b＞0，22则 P(0,0,2)， E( ，0， )， B( ，－ b,0)．432于是 ＝( ，0，－2)， ＝( ， b， )， ＝( ，－ b， )，从而2E3DE238， ，0PCBE0D故 PC⊥ BE， PC⊥ DE.又 BE∩ DE＝ E，所以 PC⊥平面 BDE.10. 【2006 全国 2，理 19】如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1中, AB=BC,D,E 分别为 BB1,AC1的中点.(1)证明: ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线; (2)设 AA1=AC= AB,求二面角 A1-AD-C1的大小.2【答案】见解析9解法二:(1)如图,建立直角坐标系 O—xyz,其中原点 O 为 AC 的中点.设 A(A,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则 C(-A,0,0),C1(-A,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0), =(0,0,2c). · =0,∴ ED⊥ BB1.EDBED1B又 =(-2A,0,2c), · =0,∴ ED⊥ AC1.1C1∴ ED 是异面直线 BB1与 AC1的公垂线.1011. 【2005 全国 3，理 18】(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD．（Ⅰ）证明 AB⊥平面 VAD；（Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小．【解析】：证明：方法一：（Ⅰ）证明：VADBACVDAB平 面平 面平 面平 面平 面平 面 11（Ⅱ）解：取 VD 的中点 E，连结 AF，BE，∵△VAD 是正三形， ∴AE⊥VD，AE= AD23∵AB⊥平面 VAD， ∴AB⊥AE.又由三垂线定理知 BE⊥VD. 因此，tan∠AEB= .32AEB即得所求二面角的大小为 .32arctn（Ⅱ）设 E 为 DV 中点，则 ，)43,01(E313(,0),(,),(,0).42ABDV12由 0,,.EBDVVEAD得 又因此，∠AEB 是所求二面角的平面角， 21cos(,),7||BA解得所求二面角的大小为 .arcos12. 【2015 高考新课标 2，理 6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A． B． C． D．81716151【答案】D【考点定位】三视图．13二．能力题组1. 【2014 新课标，理 6】如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 17259102713【答案】C2. 【2010 全国 2，理 9】已知正四棱锥 S—ABCD 中， SA＝2 ，那么当该棱锥的体积最大3时，它的高为( )A．1 B. C．2 D．3【答案】：C 【解析】如图，设 AC∩ BD＝ O，则 SO⊥平面 ABCD.设 SO＝ h， AB＝ a，则在 Rt△ SOA 中：143. 【2011 新课标，理 15】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且AB＝6， BC＝ ，则棱锥 O­ABCD 的体积为__________．23【答案】 8【解析】4. 【2013 课标全国Ⅱ，理 18】(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1中， D， E分别是 AB， BB1的中点， AA1＝ AC＝ CB＝ .2AB(1)证明： BC1∥平面 A1CD；(2)求二面角 D－ A1C－ E 的正弦值．【答案】见解析15【解析】：(1)连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点．又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥ DF.因为 DF⊂平面 A1CD， BC1 平面 A1CD，所以 BC1∥平面 A1CD.165. 【2011 新课标，理 18】如图，四棱锥 P­ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ DAB＝60°， AB＝2 AD， PD⊥底面 ABCD．(1)证明： PA⊥ BD；(2)设 PD＝ AD，求二面角 A－ PB－ C 的余弦值．【答案】见解析176. 【2010 全国 2，理 19】如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中， AC＝ BC， AA1＝ AB， D 为 BB1的中点， E 为 AB1上的一点， AE＝3 EB1.(1)证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；(2)设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45°，求二面角 A1AC1B1的大小．【答案】见解析(2)因为 DG∥ AB1，故∠ CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，∠ CDG＝45°，设 AB＝2，则AB1＝2 ， DG＝ ， CG＝ ， AC＝ ，23作 B1H⊥ A1C1， H 为垂足，因为底面 A1B1C1⊥面 AA1C1C，故 B1H⊥面 AA1C1C.又作 HK⊥ AC1， K 为垂足，连结 B1K，由三垂线定理，得 B1K⊥ AC1，因此∠ B1KH 为二面角A1AC1B1的平面角．B1H＝ ＝ ，2211()AC318HC1＝ ＝ ，21BCH3AC1＝ ＝ ， HK＝ ＝ ，22()71AHC237tan∠ B1KH＝ ＝ .HK4所以二面角 A1AC1B1的大小为 arctan .1419即－ p＋2 q＋ r＝0,2 p－2 q＝0，令 p＝ ，则 q＝ ， r＝－1，故 n＝( ， ，－1)．220所以 cos〈 m， n〉＝ ＝ .15由于〈 m， n〉等于二面角 A1AC1B1的平面角，所以二面角 A1AC1B1的大小为 arccos .57. 【2015 高考新课标 2，理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A．36π B.64π C.144π D.256π【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．8. 【2016 高考新课标 2 理数】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C21【考点】三视图，空间几何体的表面积【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:9.【2016 高考新课标 2 理数】 α ， β 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：①如果 m⊥ n， m⊥ α ， n∥ β ，那么 α ⊥ β.②如果 m⊥ α ， n∥ α ，那么 m⊥ n.③如果 α ∥ β ， m α ，那么 m∥ β .④如果 m∥ n， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】试题分析：对于①， ，则 的位置关系无法确定，故错误；,,/mn,对于②,因为 ，所以过直线 作平面 与平面 相交于直线 ，则 ，因为/ c/n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知,,mc所 以 所 以正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.【考点】空间中的线面关系【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.三．拔高题组1. 【2014 新课标，理 11】直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A 1C1的中点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ）22A. B. C. D. 10253012【答案】C2. 【2013 课标全国Ⅱ，理 7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－ xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－ xyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A.233. 【2010 全国 2，理 11】与正方体 ABCD—A1B1C1D1的三条棱 AB、 CC1、 A1D1所在直线的距离相等的点( )A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个C．有且只有 3 个 D．有无数个【答案】：D 【解析】经验证线段 B1D 上的点 B， D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点．4. 【2005 全国 2，理 12】将半径为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里．这个正四面体的高的最小值为（ ）(A) (B) (C) (D) 362632634326【答案】C5. 【2012 全国，理 16】三棱柱 ABC－ A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠ BAA1＝∠ CAA1＝60°，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为__________．【答案】： 6【解析】：取 BC 的中点 O，连结 AO， A1O， BA1， CA1，易证 BC⊥ AO， BC⊥ A1O，从而BC⊥ AA1，又 BB1∥ AA1， BB1⊥ BC．延长 CB 至 D，使 BD=BC，连结 B1D，则 B1D∥ BC1，设BC=1，则 ， .2BD2cos0324所以，所求角的余弦值为 .3266. 【2010 全国 2，理 16】已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆， AB 为圆M 与圆 N 的公共弦， AB＝4，若 OM＝ ON＝3，则两圆圆心的距离 MN＝________.【答案】：37. 【2005 全国 2，理 20】(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，PABCDABPDABC， 、 分别为 、 的中点．ADEF(Ⅰ) 求证： 平面 ；(Ⅱ) 设 ，求 与平面 所成的角的大小．2BCAEF【答案】见解析2526(I)证明：设 E( ，0,0)，其中 0，则 C(2 ，0,0)，A(0,1，0)，B(2 ，1,0)，aaaP(0,0，1)，F( ， ， )。12(0,)(,(2,0)EFPBaAa，∴EF⊥PB，∴EF⊥ABA又 PB 平面 PAB， AB 平面 PAB，PB∩AB=B∴EF⊥平面 PAB278. 【2015 高考新课标 2，理 19】 （本题满分 12 分）如图，长方体 中, ， ， ，点 ， 分别在1ABCD=16AB0C18AEF， 上， ．过点 ， 的平面 与此长方体的面相交，交线围成114EFEF一个正方形．DD1 C1A1 EFA BCB128（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．AF【答案】 （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．451A1AB1BD1DC1CFEHGM【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．9. 【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O， AB=5， AC=6，点 E， F 分别在 AD， CD 上， AE=CF= ， EF 交 BD 于点 H. 将△ DEF54沿 EF 折到△ 的位置， .D 10O（Ⅰ）证明： 平面 ABCD；H（Ⅱ）求二面角 的正弦值.BAC29【答案】 （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） .295故 .DHO又 ，而 ，EFH所以 .ABC平 面30【考点】线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；② a∥ b， a⊥ α ⇒b⊥ α ；③ α ∥ β ， a⊥ α ⇒a⊥ β ；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．1【十年高考】 （新课标 2 专版）高考数学分项版解析 专题 11 排列组合、二项式定理 理一．基础题组1. 【2014 新课标，理 13】 的展开式中， 的系数为 15，则 a=________.(用10xa7x数字填写答案)【答案】 12【解析】因为 ，所以令 ，解得 ，所以10rrrTCxa107r3r=15 ，解得 .37410xa722. 【2010 全国 2，理 14】若( x－ )9的展开式中 x3的系数是－84，则 a＝________.【答案】：1【解析】： Tr＋1 ＝ x9－ r (－ )r＝(－1) r arx9－2 r，CaC令 9－2 r＝3，∴ r＝3.∴ x3的系数为(－1) 3 a3＝－84.∴ a3＝1.∴ a＝1. 93. 【2006 全国 2，理 13】在( x4+ )10的展开式中常数项是 .(用数字作答)1【答案】:45【解析】设 Tr+1项为常数项,∴ Tr+1=Cr10(x4)10-r·( )r=Cr10x40-4r·x-r.∴40-4 r-1r=0.∴ r=8.∴ T9=45.二．能力题组1. 【2013 课标全国Ⅱ，理 5】已知(1＋ ax)(1＋ x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】：D2. 【2011 新课标，理 8】 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中51()2axx常数项为( )A．－40 B．－20 C．20 D．402【答案】D【解析】3. 【2010 全国 2，理 6】将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12 种 B．18 种 C．36 种 D．54 种【答案】：B 4. 【2005 全国 3，理 3】在 的展开式中 的系数是 （ ）8)1(x5xA．－14 B．14 C．－28 D．28【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【2012 全国，理 11】将字母 a， a， b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种【答案】A 【解析】如图由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好 1,2,3 号格即可，显然 1 号格有 3 种选择，32,3 号格均有两种选择，所以不同的排法共有 3×2×2＝12 种．2. 【2005 全国 3，理 11】不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有（ ）A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个【答案】D【解析】3. 【2012 全国，理 15】若( x＋ )n的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该1展开式中 的系数为__________．21x【答案】：56【解析】：∵ ，∴ n＝8. Tr＋1 ＝ x8－ r( )r＝ x8－2 r，26Cn＝ C令 8－2 r＝－2，解得 r＝5.∴系数为 .586＝4. 【2005 全国 2，理 15】在由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有_____________个．【答案】19245. 【2015 高考新课标 2，理 15】 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为4()1ax32，则 __________．a【答案】 3【考点定位】二项式定理．6.【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短路径的条数为 6，再从 F 处到G 处最短路径的条数为 3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ，318故选 B.【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．