1、中考12年杭州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质一、 选择题1. （2001年浙江杭州3分）若所求的二次函数图像与抛物线有相同的顶点，井且在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为【 】A BC D【答案】D。【考点】二次函数的性质。2. （2002年浙江杭州3分）已知正比例函数的图象上两点A、B，当时，有，那么m的取值范围是【 】（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】正比例函数图象与系数的关系。3. （2003年浙江杭州3分） 一次函数的图象不经过【 】（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限
2、 （D）第四象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。4. （2005年浙江杭州3分）已知一次函数y=kxk，若y随着x的增大而减小，则该函数的图象经过【 】（A）第一、二、三象限 （B）第一、二、四象限（C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。5. （2005年浙江杭州3分）用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650，其中有一个值不正确，这个不正确的值是【 】（A）506 （B）380 （C）274 （D）182【答
3、案】C。【考点】二次函数的图象。【分析】设相邻的三个自变量的值为x1、x2、x3（x1x2x3）， x的值以相等间隔的值增加，设，则。 分别代入，得：函数y构成二阶递推数列。6. （2006年浙江杭州大纲卷3分）已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于【 】x101y1m1A1B0CD27. （2007年浙江杭州3分）如果函数和的图象交于点P，那么点P应该位于【 】A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C。8. （2009年浙江杭州3分）已知点P（x，y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的【 】A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.
4、 第四象限【答案】B。9. （2010年浙江杭州3分）定义为函数的特征数, 下面给出特征数为 2m，1 m , 1 m 的函数的一些结论： 当m = 3时，函数图象的顶点坐标是； 当m 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m 时，y随x的增大而减小； 当m 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有【 】 A. B. C. D. 【答案】B。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，曲线上点的坐标与方程的关系。当m0时，当m 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于。结论正确。函数图象对称轴为，当m0时，即对称轴在x=右侧。当m0时，函数在时，y
5、随x的增大而增大；函数在时，y随x的增大而减小。结论错误。，当m 0时，函数图象经过同一个点（1，0）。结论正确。综上所述，结论正确。故选B。10. （2011年浙江杭州3分）如图，函数和函数的图像相交于点M（2，），N（1，），若，则的取值范围是【 】A. 或 B. 或C. 或 D. 或11. （2012年浙江杭州3分）已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【 】A2B3C4D5【答案】B。【考点】抛物线与x轴的交点。二、填空题1. （2002年浙江杭州4分）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的x的取值范围是 【答案】
6、x2或x8。【考点】二次函数和一次函数的图象，数形结合思想的应用【分析】由图形可以看出：抛物线和一次函数的交点横坐标分别为-2，8，当y1y2时，的图象在的图象之上，此时x的取值范围正好在两交点之外，即x2或x8。2. （2002年浙江杭州4分）对于反比例函数与二次函数，请说出它们的两个相同点 ， ；再说出它们的两个不同点 ， _3. （2004年浙江杭州4分） 已知一次函数，当=3时，=1，则直线在轴上的截距为 4. （2007年浙江杭州4分）抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 。【答案】1。【考点】二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关
7、系。【分析】由抛物线，得顶点C（2，6），把C（2，6）代入中，得： 6=2k+3，解得。这个一次函数解析式为。当x=0时，y=3，当y=0时，x=。一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：。三、解答题1. （2001年浙江杭州8分）函数y3x2的图像上存在点P，使得点P到x轴距离等于3，求点P的坐标2. （2002年浙江杭州12分）已知二次函数（1）证明：不论a取何值，抛物线的顶点Q总在x轴的下方；（2）设抛物线与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（
8、3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使ACD的面积等于的抛物线有几条？请证明你的结论 【答案】解：（1）证明：判别式=0，抛物线与x轴总有两个不同的交点。又抛物线开口向上，抛物线的顶点在x轴下方。（2）由条件得：抛物线顶点Q，点C（0，a2）。 过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，a0。过点C存在平行于x轴的直线与抛物线交于另一个点D，此时CD=|a|，点Q到CD的距离为。自Q作QPCD，垂足为P，要使QCD为等边三角形，则需QP=CD，即。a0，。QCD可以是等边三角形。此时对应的二次函数解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程
9、的关系，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，等边三角形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）要证明：不论a取何值，抛物线的顶点Q总在x轴的下方，只要证明抛物线与x轴，有两个不同的交点，即证明=0有两个不同的解即根的判别式大于0即可。（2）Q是抛物线的顶点，C、D的横坐标相同，因而C、D一定关于对称轴对称，因而CDQ一定是等腰三角形如果三角形是等边三角形，则Q作QPCD，垂足为P，则需QP=CD，CD、QP的长度都可以用a表示出来，因而就可以得到一个关于a的方程，就可以求出a的值。（3）由（2）知，CD=|a|，CD边上的高=|a2|，由ACD的面积等于，即。解出的有几个使ACD的面积等于的
10、抛物线就有几条。3. （2003年浙江杭州10分）转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关。现经过试验得到下列数据：通过电流强度（单位A）11.71.92.12.4氧化铁回收率（%）7579888778如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。（1） 将试验所得数据在下图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）；（2） 用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在 1.7x2.4 时的表
11、达式；（3） 利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A）。【答案】解：（1）（2）描点，连接如下图： 。（3）当1.7x1.9时，由45x2.585得1.8x1.9；当2.1x2.4时，由30x15085得2.1x2.2；当1.9x2.1时，恒有5x97.585。综合上述可知：满足要求时，该装置的电流应控制在1.8A至2.2A之间。4. （2003年浙江杭州12分）如图，在矩形ABCD中，BD20，ADAB，设ADB，已知sin是方程的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，ECCF8，设BE x，AEF的面积等于y。（1） 求出y
12、与x之间的函数关系式；（2） 当E，F两点在什么位置时，y有最小值？并求出这个最小值。【答案】解：（1）解方程可得或。ADAB，舍去，取，则有AD=16，AB=12。设BE=x，则有EC=16x，FC=8EC=x8，DF=12FC=20x。则AEF的面积为。（2），当x=10，即BE=10，CF=2时，y有最小值为46。5. （2004年浙江杭州10分）二次函数的图象的一部分如下图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（1）请判断实数的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求的值。【答案】解：（1）二次
13、函数的图象过A（1，0）和点B（0，1），。b=1a。二次函数图象开口向下，顶点M在第二象限，。1a PQ（点P在线段OC上）和CM PQ（点P在OC的延长线上）两种情况讨论。13. （2011年浙江杭州6分）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标14. （2011年浙江杭州10分）设函数（为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数，当时，随着的增大而增大，试求出的一个值【答案】解：（1）如两个函数为，函
14、数图形函数图形如图所示： （2）不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）且与轴至少有1个交点。证明如下：在中，令，得；令，得。不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。【考点】二次函数综合题【分析】（1）令=0或1，分别得到两个特殊函数，画出图象即可。（2）猜想：不论取何值，函数的图象必过定点（0，1），（-2，-1）。令，得；令，得。可知当x2+2x=0，即x=0或-2时，函数值与的取值无关。（3）只求m的一个值即可当0时，抛物线对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，根据题意，得，而当0时，可确定m的范围，在范围内取m的一个值即可。 15. （2012年
15、浙江杭州8分）当k分别取1，1，2时，函数y=（k1）x24x+5k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值16. （2012年浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点A（1，k）和点B（1，k）（1）当k=2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值【答案】解：（1）当k=2时，A（1，2），A在反比例函数图象上，设反比例函数的解析式为：。将A（1，2）代入得： ，解得：m
16、=2。反比例函数的解析式为：。（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，k0。二次函数y=k（x2+x1）=，它的对称轴为：直线x=。要使二次函数y=k（x2+x1）满足上述条件，在k0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x时，才能使得y随着x的增大而增大。综上所述，k0且x。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。【分析】（1）当k=2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k0。又由二次函数y=k（x2+x1）的对称轴为x=，可得x时，才能使得y随着x的增大而增大。（3）由ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q，A（1，k），即可得，从而求得答案。 28
