（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第十二章 概率与统计 理（课件+习题）（打包9套）新人教B版.zip

1§12.2 古典概型与几何概型考点一 古典概型10.(2012 重庆,15,5 分)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 (用数字作答). 答案 解析 相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课,可以分两类:第一类:文化课之间不排艺术课,设此事件为 A,则 P(A)==.第二类:文化课之间排艺术课,设此事件为 B,①三节文化课之间有一节艺术课的排列情况总数为 2.②三节文化课中间有两节不相邻艺术课的排列总数为,∴P(B)==,∴P=P(A)+P(B)=+=.评析 本题考查对排列、组合的综合应用,运用分类讨论思想解题是本题的关键.11.(2012 上海,11,4 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 答案 解析 由题意可知,每人都选择其中两个项目,则三人共有() 3=27 种选法,有且仅有两人选择的项目完全相同的有··=18 种选法,所以所求事件概率为 P==.评析 本题考查组合及等可能事件概率,考查学生运用数学知识解决实际问题的能力.考点二 几何概型9.(2015 湖北,7,5 分)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1为事件“x+y≥”的概率,p 2为事件“|x-y|≤”的概率,p 3为事件“xy≤”的概率,则( )A.p116,∴p 1-p30,即 p1p3.而 p2-p3=-ln 2=lnp3p2.评析 本题考查几何概型概率的求解,不等式形成的区域面积的计算,定积分等知识,考查推理运算能力和化归与转化思想.10.(2012 湖北,8,5 分)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.1- B.- C. D.答案 A 如图,连结 OD,不妨设 OA=2,∴弓形 OCD 的面积 S0=×π×1 2-×12=,由图形的对称性知阴影部分面积为 S=×π×2 2-(π×1 2-2S0)+2S0=4S0=π-2,∴此点取自阴影部分的概率是=1-,故选 A.3评析 本题考查几何概型,圆、弓形面积公式等,考查学生的应用意识;结合图形的对称性,运用割补法,顺利求出阴影部分的面积是解题的关键.11.(2013 山东,14,4 分)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率为 . 答案 解析 (1)当-3≤x≤-1 时,|x+1|-|x-2|=-3,此时|x+1|-|x-2|≥1 不成立.(2)当-1x2 时,由|x+1|-|x-2|=2x-1≥1,得 x≥1,又-1x2,∴1≤x2.(3)当 2≤x≤3 时,|x+1|-|x-2|=3≥1 恒成立.综上所述:当 1≤x≤3 时,|x+1|-|x-2|≥1 成立,由几何概型知,所求概率为=.1§12.3 二项分布与正态分布考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布7.(2014陕西,19,12 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg) 300 500概 率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概 率 0.4 0.6(1)设 X表示在这块地上种植 1季此作物的利润,求 X的分布列;(2)若在这块地上连续 3季种植此作物,求这 3季中至少有 2季的利润不少于 2 000元的概率.解析 (1)设 A表示事件“作物产量为 300 kg”,B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”,由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4,∵利润=产量×市场价格-成本,∴X 所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,所以 X的分布列为X 4 000 2 000 800P 0.3 0.5 0.2(2)设 Ci表示事件“第 i季利润不少于 2 000元”(i=1,2,3),由题意知 C1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于 2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有 2季利润不少于 2 000元的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这 3季中至少有 2季的利润不少于 2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.评析 本题考查了离散型随机变量的分布列,相互独立事件,二项分布等知识;考查应用意识,分类讨论的意识、运算求解的能力.8.(2012山东,19,12 分)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得21分,没有命中得 0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得 2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(1)求该射手恰好命中一次的概率;(2)求该射手的总得分 X的分布列及数学期望 EX.解析 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手射击甲靶命中”为事件 B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D,由题意知 P(B)=,P(C)=P(D)=,由于 A=B +C+ D,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(B +C+ D)=P(B )+P(C)+P( D)=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)=××+ 1- ×× 1- + 1- × 1- ×=.(2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P( )=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]=××=,P(X=1)=P(B )=P(B)P()P()=××=,P(X=2)=P(C+ D)=P(C)+P( D)=××+××=,P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD)=××+××=,P(X=4)=P(CD)=××=,P(X=5)=P(BCD)=××=.故 X的分布列为X 0 1 2 3 4 5P所以 EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.评析 本题考查互斥、对立及相互独立事件的概率,考查分布列及期望,考查学生分析问题、解决问题的能力.解答本题的关键是准确分析 X的取值情况及其相对应的概率.1§12.4 离散型随机变量及其分布列、均值与方差考点一 离散型随机变量及其分布列9.(2013天津,16,13 分)一个盒子里装有 7张卡片,其中有红色卡片 4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片 3张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的 4张卡片中,含有编号为 3的卡片的概率;(2)在取出的 4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X的分布列和数学期望.解析 (1)设“取出的 4张卡片中,含有编号为 3的卡片”为事件 A,则 P(A)==.所以取出的 4张卡片中,含有编号为 3的卡片的概率为.(2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以随机变量 X的分布列是X 1 2 3 4P随机变量 X的数学期望 EX=1×+2×+3×+4×=.评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.10.(2013陕西,19,12 分)在一场娱乐晚会上,有 5位民间歌手(1 至 5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手,其中观众甲是 1号歌手的歌迷,他必选 1号,不选 2号,另在 3至 5号中随机选 2名.观众乙和丙对 5位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1至 5号中随机选 3名歌手.(1)求观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率;(2)X表示 3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X的分布列及数学期望.解析 (1)设 A表示事件“观众甲选中 3号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3号歌手”,则 P(A)==,P(B)==.∵事件 A与 B相互独立,∴观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率为P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)]=×=.(2)设 C表示事件“观众丙选中 3号歌手”,则 P(C)==,∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为P(X=0)=P( )=××=,P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C)=××+××+××=,P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)2=××+××+××=,P(X=3)=P(ABC)=××=,∴X 的分布列为X 0 1 2 3P∴X 的数学期望 EX=0×+1×+2×+3×==.11.(2013福建,16,13 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得 2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得 3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解析 解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这 2人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则事件 A的对立事件为“X=5”,因为 P(X=5)=×=,所以 P(A)=1-P(X=5)=,即这 2人的累计得分 X≤3 的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2).由已知可得,X 1~B,X2~B,所以 E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,从而 E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因为 E(2X1)E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.记“这 2人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则事件 A包含有“X=0” “X=2”“X=3”三个两两互斥的事件,因为 P(X=0)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=,即这 2人的累计得分 X≤3 的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则 X1,X2的分布列如下:X1 0 2 4PX2 0 3 6P3所以 E(X1)=0×+2×+4×=,E(X2)=0×+3×+6×=.因为 E(X1)E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.评析 本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识.12.(2013江西,18,12 分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以 O为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这 8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率;(2)求 X的分布列和数学期望.解析 (1)从 8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有=28 种,X=0 时,两向量夹角为直角共有 8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X=0)==.(2)两向量数量积 X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2 时,有 2种情形;X=1 时,有 8种情形;X=-1时,有 10种情形.所以 X的分布列为X -2 -1 0 1PEX=(-2)×+(-1)×+0×+1×=-.13.(2013山东,19,12 分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率;(2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3分、对方得 0分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2分、对方得 1分.求乙队得分 X的分布列及数学期望.解析 (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲队以3∶2 胜利”为事件 A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故 P(A1)==,P(A2)=×=,P(A3)=×=.所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为,以 3∶2 胜利的概率为.(2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以4P(A4)=××=.由题意,随机变量 X的所有可能的取值为 0,1,2,3.根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=.又 P(X=1)=P(A3)=,P(X=2)=P(A4)=,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=,故 X的分布列为X 0 1 2 3P所以 EX=0×+1×+2×+3×=.评析 本题考查古典概型、相互独立、互斥、分类讨论思想等基础知识和基本技能,考查逻辑推理能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14.(2012天津,16,13 分)现有 4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1或 2的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2的人去参加乙游戏.(1)求这 4个人中恰有 2人去参加甲游戏的概率;(2)求这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用 X,Y分别表示这 4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ.解析 依题意知,这 4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这 4个人中恰有 i人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)= .(1)这 4个人中恰有 2人去参加甲游戏的概率 P(A2)=·=.(2)设“这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3∪A 4.由于 A3与 A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=·+=.所以,这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1与 A3互斥,A 0与 A4互斥,故P(ξ=0)=P(A 2)=,P(ξ=2)=P(A 1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A 0)+P(A4)=.所以 ξ 的分布列是Ξ 0 2 4P随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=0×+2×+4×=.评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.515.(2015湖南,18,12 分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4个红球、6 个白球的甲箱和装有 5个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1个球.在摸出的 2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3次抽奖机会,记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X的分布列和数学期望.解析 (1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的 1个球是红球},B1={顾客抽奖 1次获一等奖},B2={顾客抽奖 1次获二等奖},C={顾客抽奖 1次能获奖}.由题意,A 1与 A2相互独立,A 1与 A2互斥,B 1与 B2互斥,且 B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为 P(A1)==,P(A2)==,所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖 3次可视为 3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是 P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故 X的分布列为X 0 1 2 3PX的数学期望为 E(X)=3×=.16.(2015安徽,17,12 分)已知 2件次品和 3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用 100元,设 X表示直到检测出 2件次品或者检测出 3件正X 200 300 400P6品时所需要的检测费用(单位:元),求 X的分布列和均值(数学期望).解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,P(A)==.(2)X的可能取值为 200,300,400.P(X=200)==,P(X=300)==,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.故 X的分布列为EX=200×+300×+400×=350.17.(2013浙江,19,14 分)设袋子中装有 a个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1分,取出一个黄球得 2分,取出一个蓝球得 3分.(1)当 a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2球所得分数之和,求 ξ 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所得分数.若Eη=,Dη=,求 a∶b∶c.解析 (1)由题意得 ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==.所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6P(2)由题意知 η 的分布列为η 1 2 3P所以 E(η)=++=,D(η)=·+·+·=,化简得解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1.评析 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识.18.(2014天津,16,13 分)某大学志愿者协会有 6名男同学,4 名女同学.在这 10名同学中,3名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10名同学中随机选取 3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率;7(2)设 X为选出的 3名同学中女同学的人数,求随机变量 X的分布列和数学期望.解析 (1)设“选出的 3名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则P(A)==.所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量 X的所有可能值为 0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量 X的分布列是X 0 1 2 3P随机变量 X的数学期望 E(X)=0×+1×+2×+3×=.评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.19.(2013课标全国Ⅰ,19,12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4件作检验,这 4件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为 100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X的分布列及数学期望.解析 (1)设第一次取出的 4件产品中恰有 3件优质品为事件 A1,第一次取出的 4件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A 2B2),且 A1B1与 A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为 400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以 X的分布列为X 400 500 800PEX=400×+500×+800×=506.25.20.(2014重庆,18,13 分)一盒中装有 9张各写有一个数字的卡片,其中 4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是 2,2张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3张卡片.(1)求所取 3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取 3张卡片上的数字的中位数,求 X的分布列与数学期望.8(注:若三个数 a,b,c满足 a≤b≤c,则称 b为这三个数的中位数)解析 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为 1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故 X的分布列为X 1 2 3P从而 E(X)=1×+2×+3×=.评析 本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.21.(2012江苏,22,10 分)设 ξ 为随机变量.从棱长为 1的正方体的 12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率 P(ξ=0);(2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ).解析 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8个顶点中的 1个,过任意 1个顶点恰有 3条棱,所以共有 8对相交棱,因此 P(ξ=0)===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1或,其中距离为的共有 6对,故 P(ξ=)==,于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,所以随机变量 ξ 的分布列是ξ 0 1P(ξ)因此 E(ξ)=1×+×=.评析 本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.22.(2012江西,18,12 分)如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这 6个点中随机选取3个点,将这 3个点及原点 O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的 3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).(1)求 V=0的概率;(2)求 V的分布列及数学期望 EV.解析 (1)从 6个点中随机选取 3个点总共有=20 种取法,选取的 3个点与原点在同一个平面内的取法有=12 种,因此 V=0的概率为 P(V=0)==.9(2)V的所有可能取值为 0,,,,,因此 V的分布列为V 0P由 V的分布列可得EV=0×+×+×+×+×=.评析 本题主要考查的知识点有:古典概型概率、随机变量的分布列及期望、三棱锥的体积公式;考查了分类讨论思想和空间想象能力.23.(2012重庆,17,13 分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数 ξ 的分布列与期望.解析 设 Ak、B k分别表示甲、乙在第 k次投篮投中,则 P(Ak)=,P(Bk)=(k=1,2,3).(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)+P()P()P(A2)+P()P()P()P()P(A3)=+××+××=++=.(2)ξ 的所有可能取值为 1,2,3.由独立性知P(ξ=1)=P(A 1)+P(B1)=+×=,P(ξ=2)=P(A 2)+P(B2)=××+×=,P(ξ=3)=P()=×=.综上知,ξ 的分布列为ξ 1 2 3P从而,Eξ=1×+2×+3×=(次).评析 本题主要考查互斥事件与独立事件的概念,重点考查离散型随机变量的分布列与期望,运用数学建模思想是解题的关键.24.(2012福建,16,13 分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50辆,统计数据如下:品 牌 甲 乙首次出现故障时间 x(年) 02 0210轿车数量(辆) 2 3 45 5 45每辆利润(万元)1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.解析 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A.则 P(A)==.(2)依题意得,X 1的分布列为X1 1 2 3PX2的分布列为X2 1.8 2.9P(3)由(2)得,E(X 1)=1×+2×+3×==2.86(万元),E(X 2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).因为 E(X1)E(X2),所以应生产甲品牌轿车.评析 本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想.考点二 均值与方差10.(2014浙江,9,5 分)已知甲盒中仅有 1个球且为红球,乙盒中有 m个红球和 n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入 i个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξ i(i=1,2);(b)放入 i个球后,从甲盒中取 1个球是红球的概率记为 pi(i=1,2).则( )A.p1p2,E(ξ 1)E(ξ 2) C.p1p2,E(ξ 1)E(ξ 2) D.p10,即有 p1p2.此时,ξ 2的取值为1,2,3.P(ξ 2=1)=,P(ξ 2=2)=,P(ξ 2=3)=,则 E(ξ 2)=1×+2×+3×==3p2=,则有 E(ξ 1)p2,E(ξ 1)Dξ 2 B.Dξ 1=Dξ 2 C.Dξ 1Dξ 2.评析 本题主要考查离散型随机变量的期望与方差,考查实数大小的比较,考查数据处理能力及转化与归纳思想.12.(2013安徽,5,5 分)某班级有 50名学生,其中有 30名男生和 20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案 C A、B 不正确,无法确定采用的是哪种抽样方法.男生的平均成绩为 90,女生的平均成绩为 91,但这只能反映这五名男生和这五名女生的情况,不能准确反映全班的成绩.又男生成绩的方差为 8,大于女生成绩的方差 6,故 C正确.1213.(2014福建,18,13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4个球中有 1个所标的面值为 50元,其余 3个均为 10元,求:(i)顾客所获的奖励额为 60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是 60 000元,并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和 50元的两种球组成,或标有面值 20元和 40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.解析 (1)设顾客所获的奖励额为 X.(i)依题意,得 P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为 60元的概率为.(ii)依题意,得 X的所有可能取值为 20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即 X的分布列为X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为 60元.所以,先寻找期望为 60元的可能方案.对于面值由 10元和 50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1.对于面值由 20元和 40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2.以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1的分布列为X1 20 60 100PX1的期望为 E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为 D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2的分布列为X2 40 60 80PX2的期望为 E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为 D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2奖励额的方差比方案 1的小,所以应该13选择方案 2.注:第(2)问,给出方案 1或方案 2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3分;进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2分.评析 本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.14.(2014江苏,22,10 分)盒中共有 9个球,其中有 4个红球、3 个黄球和 2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出 2个球,求取出的 2个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机变量X表示 x1,x2,x3中的最大数.求 X的概率分布和数学期望 E(X).解析 (1)取到的 2个颜色相同的球可能是 2个红球、2 个黄球或 2个绿球,所以 P===.(2)随机变量 X所有可能的取值为 2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的 4个球是 4个红球”,故 P(X=4)==;{X=3}表示的随机事件是“取到的 4个球是 3个红球和 1个其他颜色的球或 3个黄球和 1个其他颜色的球”,故 P(X=3)===;于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.所以随机变量 X的概率分布如下表:X 2 3 4P因此随机变量 X的数学期望E(X)=2×+3×+4×=.评析 本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.15.(2012陕西,20,13 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第 2分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X的分布列及数学期望.解析 设 Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y的分布列如下:Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待 4分钟开始办理业务”,则事件 A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为 1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2分钟.14所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)·P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.(2)解法一:X 所有可能的取值为 0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2分钟,所以 P(X=0)=P(Y2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2分钟,所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1分钟,所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;所以 X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.解法二:X 所有可能的取值为 0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2分钟,所以 P(X=0)=P(Y2)=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1分钟,所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01;P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49.所以 X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.评析 本题考查了互斥事件的概率,运用了互斥事件的概率加法公式求解概率.16.(2015天津,16,13 分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3名,其中种子选手 2名;乙协会的运动员 5名,其中种子选手 3名.从这 8名运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设 A为事件“选出的 4人中恰有 2名种子选手,且这 2名种子选手来自同一个协会”,求事件 A发生的概率;(2)设 X为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X的分布列和数学期望.解析 (1)由已知,有P(A)==.所以,事件 A发生的概率为.(2)随机变量 X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量 X的分布列为15X 1 2 3 4P随机变量 X的数学期望 E(X)=1×+2×+3×+4×=.评析 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.17.(2015福建,16,13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X的分布列和数学期望.解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,则 P(A)=××=.(2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3.又 P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以 X的分布列为X 1 2 3P所以 E(X)=1×+2×+3×=.评析 本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.18.(2012大纲全国,19,12 分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10平前,一方连续发球 2次后,对方再连续发球 2次,依次轮换.每次发球,胜方得 1分,负方得 0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第 4次发球时,甲、乙的比分为 1比 2的概率;(2)ξ 表示开始第 4次发球时乙的得分,求 ξ 的期望.解析 记 Ai表示事件:第 1次和第 2次这两次发球,甲共得 i分,i=0,1,2;A表示事件:第 3次发球,甲得 1分;B表示事件:开始第 4次发球时,甲、乙的比分为 1比 2.(1)B=A0·A+A1·,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=2×0.6×0.4=0.48,(3分)P(B)=P(A0·A+A1·)=P(A0·A)+P(A1·)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.(6分)(2)P(A2)=0.62=0.36.ξ 的可能取值为 0,1,2,3.16P(ξ=0)=P(A 2·A)=P(A2)P(A)=0.36×0.4=0.144,P(ξ=2)=P(B)=0.352,P(ξ=3)=P(A 0·)=P(A0)P()=0.16×0.6=0.096,P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.(10分)Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=0.408+2×0.352+3×0.096=1.400.(12分)评析 本题考查了互斥事件及相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列与方差,对于较为复杂的概率应注意对立事件的应用,考查了运算求解能力.19.(2014安徽,17,12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在 4局以内(含 4局)赢得比赛的概率;(2)记 X为比赛决出胜负时的总局数,求 X的分布列和均值(数学期望).解析 用 A表示“甲在 4局以内(含 4局)赢得比赛”,A k表示“第 k局甲获胜”,B k表示“第 k局乙获胜”,则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+×+××=.所以甲在 4局以内(含 4局)赢得比赛的概率为.(2)X的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故 X的分布列为X 2 3 4 5PEX=2×+3×+4×+5×=.评析 本题考查了独立事件同时发生,互斥事件至少有一个发生、分布列、均值等概率知识;考查应用意识、运算求解能力;准确理解题意是解题的关键;准确运算求解是得分的关键.