（全国版）2017版高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 理（课件+习题）（打包8套）.zip

- 1 -算法与程序框图、基本算法语句(25分钟 60 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.运行如图所示的程序,输出的结果是 ( )a=3b=5a=a+bPRINT aENDA.7 B.8 C.5 D.3【解析】选 B.a=3,b=5,a=a+b=3+5=8.所以输出的结果是 8.2.阅读程序框图如图,若输入的 a,b,c分别为 16,28,39,则输出的 a,b,c分别是 ( )A.39,16,28 B.16,28,39C.28,16,39 D.39,28,16【解析】选 A.依次执行程序框图知 x=16,a=39,c=28,b=16,因此输出结果为 39,16,28.3.(2015·北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 ( )- 2 -A.(-2,2) B.(-4,0)C.(-4,-4) D.(0,-8)【解析】选 B.x=1,y=1,k=0;s=0,t=2;x=0,y=2,k=1;s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2;s=-4,t=0,x=-4,y=0,k=3.输出(-4,0).4.(2016·新乡模拟)运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t的取值范围为 ( )A.t≥ B.t≥ C.t≤ D.t≤【解析】选 B.依次执行循环体得,第一次执行:n=2,x=2t,a=1;第二次执行:n=4,x=4t,a=3,第三次执行:n=6,x=8t,a=3,此时输出的值为 38t,若 38t≥3,则 8t≥1,t≥ .【加固训练】(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[-2,2],则输出的 S∈ ( )- 3 -A.[-6,-2] B.[-5,-1]C.[-4,5] D.[-3,6]【解题提示】由判断框分两种情况讨论,再求两种情况下两个函数的值域,最后求这两个值域的并集.【解析】选 D.当 t∈ 时,把 2t2+1的值赋给 t,再判断 t0,把 t-3的值赋给 S,所以当 t∈时,S=2t 2-2,此时 S∈ ;当 t∈ 时, 把 t-3的值赋给 S,S=t-3,此时 S∈ ,所以由 S∈ 与 S∈ 求并集得输出的S∈ .5.(2016·宜昌模拟)为了求满足 1+2+3+…+n10? B.n≤10?C.n0,故输出的 k的值是 6.答案:6【一题多解】本题还可以采用如下解法:只需求出不满足 k2-6k+5≤0 的最小正整数 k就行,显然是 6.8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 S= .【解析】由程序框图知,S 可看成一个数列{a n}的前 2016项和,其中 an=(n∈N *,n≤2016),所以 S= + +…+ =1- + - +…+ - =1- = .故输出的是 .答案:三、解答题(每小题 10分,共 20分)9.(2016·合肥模拟)根据下面的要求,求满足 1+2+3+…+n500的最小的自然数 n.(1)下面是解决该问题的一个程序,但有 3处错误,请找出错误并予以更正.(2)画出执行该问题的程序框图.i=1S=1n=0DoS=S+ii=i+1n=n+1- 7 -LOOP UNTIL S=500PRINT n+1END【解析】(1)错误 1 S=1,改为 S=0;错误 2 S=500,改为 S500;错误 3 PRINT n+1,改为 PRINT n-1.(2)程序框图如图:10.(2016·岳阳模拟)根据如图的程序框图,将输出的 x,y值依次分别记为 x1,x2,…,x2016;y1,y2,…,y2016.(1)写出数列{x n},{yn}的通项公式(不要求写出求解过程).(2)求数列{x n-yn}的前 n项和 Sn(n≤2016).【解析】(1)x n=2n-1,yn=3n-1,(n≤2016).(2)因为 xn-yn=2n-3n,所以 Sn=(2+4+6+…+2n)-(3+32+33+…+3n)= -- 8 -=n(n+1)- (n≤2016).(20分钟 40 分)1.(5分)(2016·大同模拟)如图所示的程序框图中,输入 A=192,B=22,则输出的结果是 ( )A.0 B.2 C.4 D.6【解析】选 B.输入后依次得到:C=16,A=22,B=16;C=6,A=16,B=6;C=4,A=6,B=4;C=2,A=4,B=2;C=0,A=2,B=0.故输出的结果为 2.2.(5分)(2015·全国卷Ⅱ)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的 a,b分别为 14,18,则输出的 a为 ( )A.0 B.2 C.4 D.14【解析】选 B.程序框图在执行过程中,a,b 的值依次为 a=14,b=18;b=4;a=10;a=6;a=2;b=2,此时 a=b=2程序结束,输出 a的值为 2.【加固训练】如图给出的是计算 1+ + +…+ 的值的一个程序框图 ,则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的是 ( )- 9 -A.n=n+2,i=15? B.n=n+2,i15?C.n=n+1,i=15? D.n=n+1,i15?【解析】选 B.1+ + +…+ 是连续奇数的前 15项倒数之和 ,所以 n=n+2,即执行框中的①处应填 n=n+2;根据程序框图可知,循环一次后 s=1,i=2,循环两次后 s=1+ ,i=3,所以求 s=1+ + +…+ 需要循环 15次,i=16时,跳出循环,所以判断框中的②处应填 i15?.3.(5分)有以下程序:INPUT xIF x-1 AND x=1 THENf(x)=x﹡xELSEf(x)=-x+2END IFEND IFPRINT f(x)END根据以上程序,若函数 g(x)=f(x)-m在 R上有且只有两个零点,则实数 m的取值范围是 .【解析】由题意知,f = 画出 f(x)的图象如图所示.- 10 -若函数 g(x)=f(x)-m有两个零点,即直线 y=m与函数 y=f(x)有两个交点,故 m0或 m=1.答案:m0 或 m=14.(12分)甲、乙两位同学为解决数列求和问题,试图编写一程序.两人各自编写的程序框图分别如图 1和如图 2.(1)根据图 1和图 2,试判断甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致?当 n=20时分别求它们输出的结果.(2)若希望通过对图 2虚框中某一步(或几步)的修改来实现“求首项为 2,公比为 3的等比数列的前 n项和”,请你给出修改后虚框部分的程序框图.【解析】(1)图 1中程序框图的功能是求 2+4+6+8+…+2n的和,当 n=20时,S=2+4+6+…+40=420.图 2中程序框图的功能是求 2+4+6+…+2n的和,当 n=20时,S=2+4+6+…+40=420.所以甲、乙两位同学编写的程序框图输出的结果是一致的.(2)修改后虚框部分程序框图为- 11 -5.(13分)已知数列{a n}满足如图所示的程序框图.(1)写出数列{a n}的一个递推关系式.(2)证明:{a n+1-3an}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(3)求数列{n(a n+3n-1)}的前 n项和 Tn.【解题提示】该题利用程序框图给出了一个数列的递推关系式,进一步求有关数列的通项公式和前 n项和,可从数列的有关知识入手.【解析】(1)由程序框图可知,a1=a2=1,an+2=5an+1-6an.(2)由 an+2-3an+1=2(an+1-3an),且 a2-3a1=-2可知,数列{a n+1-3an}是以-2 为首项,2 为公比的等比数列,可得an+1-3an=-2n,即 = - ,因为 -1= ,又 -1=- ,所以数列 是以- 为首项, 为公比的等比数列,- 12 -所以 -1=- ,所以 an=2n-3n-1(n∈N *).(3)因为 n(an+3n-1)=n·2n,所以 Tn=1·2+2·22+…+n·2n ①,2Tn=1·22+2·23+…+n·2n+1 ②,两式相减得 Tn=(-2-22-…-2n)+n·2n+1=- +n·2n+1=2-2n+1+n·2n+1= 2n+1+2(n∈N *).【加固训练】根据如图所示的程序框图,将输出的 x,y值依次分别记为x1,x2,…,xn,…,x2008;y1,y2,…,yn,…,y2008.(1)求数列{x n}的通项公式 xn.(2)写出 y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{y n}的一个通项公式 yn,并证明你的结论.(3)求 zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(n∈N *,n≤2008).【解析】(1)由框图,知数列{x n}中,x 1=1,xn+1=xn+2,所以 xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N *,n≤2008).(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.由此,猜想 yn=3n-1(n∈N *,n≤2008).证明:由框图,知数列{y n}中,y n+1=3yn+2,- 13 -所以 yn+1+1=3(yn+1),所以 =3,y1+1=3.所以数列{y n+1}是以 3为首项,3 为公比的等比数列.所以 yn+1=3·3n-1=3n,所以 yn=3n-1(n∈N *,n≤2008).(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)],记 Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,①则 3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1,②①-②,得-2S n=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1=2× -3-(2n-1)·3n+1=3n+1-6-(2n-1)·3n+1=2(1-n)·3n+1-6,所以 Sn=(n-1)·3n+1+3.又 1+3+…+(2n-1)=n2,所以 zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N *,n≤2008).- 1 -随 机 抽 样(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.现要完成下列 3 项抽样调查:①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请 32 名听众进行座谈.③高新中学共有 160 名教职工,其中教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为合理的抽样方法是 ( )A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样【解析】选 A.对于①,个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法;对于②,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号,是系统抽样;对于③,个体有明显的差异,所以选用分层抽样法.【加固训练】为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样【解析】选 C.小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异而男女生视力情况差异不大,故选用按学段分层抽样的抽样方法.2.(2016·长沙模拟)为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂,要从编号依次为 1 到 50 的塑料瓶装饮料中抽取 5 瓶进行检验,用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 瓶饮料的编号可能是 ( )- 2 -A.5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32C.1,2,3,4,5 D.7,17,27,37,47【解析】选 D.利用系统抽样,把编号分为 5 段,每段 10 个,每段抽取一个,号码间隔为 10.3.(2016·洛阳模拟)系统抽样是从 N 个个体中抽取 n 个个体为样本,先确定抽样间隔,即抽样距 k= (取整数部分),从第一段 1,2,…,k 个号码中随机抽取一个入样号码 i0,则 i0,i0+k,…,i0+(n-1)k 号码均入样构成样本,所以每个个体的入样可能性是 ( )A.相等的 B.不相等的 C.与 i0有关 D.与编号有关【解析】选 A.因为每个个体都是随机编号,每一段利用简单随机抽样,因此,每个个体入样的可能性是相等的.4.(2016·洛阳模拟)某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查,将 840 人按1,2,…,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为 ( )A.11 B.12 C.13 D.14【解析】选 B.方法一:按照系统抽样的规则,将 840 名职工分成 42 组,每组抽取 1 人,其中编号 481 在第25 组,编号 720 在第 36 组,其中共有 12 组.因而编号落入区间[481,720]的人数为 12.方法二:840÷42=20,把 1,2,…,840 分成 42 段,不妨设第 1 段抽取的号码为 l,则第 k 段抽取的号码为l+(k-1)·20,1≤ l≤20,1≤k42.令 481≤ l+(k-1)·20≤720,得 25+ ≤k≤37- .由 1≤ l≤20,则 25≤k≤36.满足条件的 k 共有 12120ll个.5.某连队身高符合抗战胜利 70 周年阅兵标准的士兵共有 45 人,其中 18 岁～19 岁的士兵有 15 人,20岁～22 岁的士兵有 20 人,23 岁以上的士兵有 10 人,若该连队有 9 个参加阅兵的名额,如果按年龄分层选派士兵,那么,该连队年龄在 23 岁以上的士兵参加阅兵的人数为 ( )A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选 D.设该连队年龄在 23 岁以上的士兵参加阅兵的人数为 x,则 = ,解得 x=2.【加固训练】交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( )A.101 B.808 C.1212 D.2012【解析】选 B.四个社区抽取的总人数为 12+21+25+43=101,由分层抽样可知, = ,解得 N=808.6.(2016·安阳模拟)参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量- 3 -为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为 ( )A.26,16,8 B.25,17,8C.25,16,9 D.24,17,9【解析】选 B.依题意及系统抽样的意义可知,将这 600 名学生按编号依次分成 50 组,每一组各有 12 名学生,第 k(k∈N *)组抽中的号码是 3+12(k-1).令 3+12(k-1)≤300 得 k≤ ,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令 3003+12(k-1)≤495 得 k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是 42-25=17.第Ⅲ营区被抽中 50-25-17=8(人).7.(2016·常德模拟)某公路设计院有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加 1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除 1 个个体,则 n 等于 ( )A.5 B.6 C.7 D.8【解题提示】先根据样本容量是 n 时,系统抽样的间隔及分层抽样中各层人数为整数,得出 n 的特征,再由当样本容量为 n+1 时,总体中剔除 1 个个体后,系统抽样的间隔为整数验证可得.【解析】选 B.总体容量为 6+12+18=36.当样本容量是 n 时,由题意知,系统抽样的间隔为 ,分层抽样的比例是 ,抽取的工程师人数为 ·6= ,技术员人数为 ·12= ,技工人数为 ·18= ,所以 n 应是 6 的倍数,36 的约数,即 n=6,12,18.当样本容量为(n+1)时,剔除 1 个个体后,总体容量为 35 人,系统抽样的间隔为 ,因为 必须是整数,所以 n 只能取 6,即样本容量 n=6.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为 .【解析】设总体容量为 n,则 = ,所以 n=160.答案:160【加固训练】某校有高级教师 26 人,中级教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其他教师中共抽取了 16 人,则该校共有教师 人.【解析】设该校其他教师有 x 人,- 4 -则 = ,所以 x=52,故全校教师共有 26+104+52=182(人).答案:1829.(2016·怀化模拟)经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” “不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出 5位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.【解析】设班里“喜欢”摄影的同学有 y 人,“一般”的有 x 人,“不喜欢”的有(x-12)人,则解得所以全班共有 30+18+6=54(人),又 30- =3.所以“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 3 人.答案:310.(2016·咸宁模拟)一个总体中的 1000 个个体编号为 0,1,2,…,999,并依次将其分为 10 个小组,组号为0,1,2,…,9,要用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 0 组随机抽取的号码为 x,则第 k组中抽取的号码的后两位数为 x+33k 的后两位数.当 x=24 时,所抽取样本的 10 个号码是 ,若所抽取样本的 10 个号码中有一个的后两位数是 87,则 x 的取值集合是 .【解析】当 x=24 时,按规则可知所抽取的样本的 10 个号码依次为:24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.当 k=0,1,2,…,9 时,33k 的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.若抽取样本的 10 个号码中有一个的后两位数是 87,从而 x 可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90,所以 x 的取值集合是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}.答案:24,157,290,323,456,589,622,755,888,921 {21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}(20 分钟 40 分)1.(5 分)某初级中学有学生 270 人,其中七年级 108 人,八、九年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按七、八、九年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况:- 5 -①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( )A.②,③都不能为系统抽样B.②,④都不能为分层抽样C.①,④都可能为系统抽样D.①,③都可能为分层抽样【解析】选 D.对于系统抽样,应在 1～27,28～54,55～81,82～108,109～135,136～162,163～189,190～216,217～243,244～270 中各抽取 1 个号;对于分层抽样,七年级编号 1～108,八年级编号 109～189,九年级编号 190～270,利用分层抽样可知,七年级抽取 ×10=4(人),八年级应抽取 ×10=3(人),九年级应抽取 ×10=3(人),所以应在 1～108 中抽取 4 个号,109～189 中抽取 3 个号,190～270 中抽取 3 个号.结合各选项知,D 正确.2.(5 分)(2016·宜宾模拟)某年级有 1000 名学生,现从中抽取 100 人作为样本,采用系统抽样的方法,将全体学生按照 1～1000 编号,并按照编号顺序平均分成 100 组(1～10 号,11～20 号,…,991～1000 号).若从第 1 组抽出的编号为 6,则从第 10 组抽出的编号为 ( )A.86 B.96 C.106 D.97【解析】选 B.由题意,可知系统抽样的组数为 100,间隔为 10,由第一组抽出的号码为 6,则由系统抽样的法则,可知第 n 组抽出个数的号码应为 6+10(n-1),所以第 10 组应抽出的号码为 6+10×(10-1)=96.3.(5 分)(2016·汕头模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在 A,B,C,D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列,且共回收 1000 份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 150 的样本,若在 B 单位抽取 30 份,则在 D 单位抽取的问卷是 份.【解析】由题意依次设在 A,B,C,D 四个单位回收的问卷数分别为 a1,a2,a3,a4,在 D 单位抽取的问卷数为 n,则有 = ,解得 a2=200,又 a1+a2+a3+a4=1000,即 3a2+a4=1000,所以 a4=400,所以 = ,解得 n=60.答案:604.(12 分)(2016·福州模拟)某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从 8～10 岁,11～12 岁,13～14- 6 -岁,15～16 岁四个年龄段回收的问卷依次为:120 份,180 份,240 份,x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本,其中在 11～12 岁学生问卷中抽取 60 份.求在 15～16 岁学生中抽取的问卷份数.【解题提示】先求出抽取比例,从而求出总体的个数,再求出 15～16 岁回收问卷份数 x,最后计算出在15～16 岁学生中抽取的问卷份数即可.【解析】11～12 岁回收 180 份,其中在 11～12 岁学生问卷中抽取 60 份,则抽样比为 .因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为 300 的样本,所以从 8～10 岁,11～12 岁,13～14 岁,15～16 岁四个年龄段回收的问卷总数为 =900 份,则 15～16 岁回收问卷份数为:x=900-120-180-240=360(份).所以在 15～16 岁学生中抽取的问卷份数为 360× =120 份.【加固训练】某单位最近组织了一次健身活动,参加活动的职工分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%.为了了解各组中不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本.试确定(1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例.(2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.【解题提示】(1)根据登山组和游泳组中青年人、中年人和老年人的人数之和所占的百分比分别等于参加活动的三类职工的比例,列方程组解决.(2)先计算出游泳组的总人数,再根据游泳组中青年人、中年人和老年人的比例进行计算.【解析】(1)方法一:设登山组人数为 x,游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为 a,b,c,则有 =47.5%, =10%,解得 b=50%,c=10%.故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为 40%,50%,10%.方法二:设参加活动的总人数为 x,游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为 a,b,c,则“参加登山组的青年人人数加上参加游泳组的青年人人数等于参加活动的青年人人数”,即x·50%+ x·a=x·42.5%,解得 a=0.4=40%,同理 b=50%,c=10%.即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为 40%,50%,10%.- 7 -(2)游泳组的总人数为 200× =150(人),所以游泳组中,抽取的青年人人数为 150×40%=60;抽取的中年人人数为 150×50%=75;抽取的老年人人数为 150×10%=15.5.(13 分)(2016·石家庄模拟)有以下三个案例:案例一:从同一批次同类型号的 10 袋牛奶中抽取 3 袋检测其三聚氰胺含量;案例二:某公司有员工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职称的 200人,其余人员 120 人.从中抽取容量为 40 的样本,了解该公司职工收入情况;案例三:从某校 1000 名高一学生中抽取 10 人参加一项主题为“学雷锋,树新风”的志愿者活动.(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适?(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程.(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号:如果在起始组中随机抽取的号码为 L(编号从 0开始),那么第 K 组(组号 K 从 0 开始,K=0,1,2,…,9)抽取的号码的百位数为组号,后两位数为 L+31K 的后两位数.若 L=18,试求出 K=3 及 K=8 时所抽取的样本编号.【解析】(1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层抽样,案例三用系统抽样.(2)①分层,将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;②确定抽样比例 q= = ;③按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、16 人、10 人、6 人;④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本;⑤汇总构成一个容量为 40 的样本.(3)K=3 时,L+31K=18+31×3=111,故第 3 组样本编号为 311.K=8 时,L+31K=18+31×8=266,故第 8 组样本编号为 866.- 1 -用样本估计总体(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.(2016·新乡模拟)某学校对高一新生的体重进行了抽样调查.右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图,其中体重(单位:kg)的范围是[45,70],样本数据分组为[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70],已知被调查的学生中体重不足 55kg 的有 36,则被调查的高一新生体重在 50kg 至 65kg 的人数是( )A.90 B.75 C.60 D.45【解析】选 A.由题意可知:被调查的学生中体重不足 55kg 的频率是(0.04+0.02)×5=0.3,所以样本容量是 =120,所以被调查的高一新生体重在 50kg 至 65 kg 的人数是(0.04+0.06+0.05)×5×120=90.【加固训练】一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下表(其中 x,y∈N *):分组[10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]频数2 x 3 y 2 4则样本在区间[10,50)上的频率为 .【解析】由样本容量为 20,得 x+y=9,则 = =0.7.答案:0.72.(2016·绵阳模拟)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( )- 2 -A.46,45,56 B.46,45,53C.47,45,56 D.45,47,53【解析】选 A.茎叶图中共有 30 个数据,所以中位数是第 15 个和第 16 个数据的平均数,即 (45+47)=46,排除 C,D;再计算极差,最小数据是 12,最大数据是 68,所以 68-12=56.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:(1)中位数计算时中间两数找不准.(2)极差与方差概念混淆导致错误.3.(2016·汕头模拟)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是 ( )【解析】选 A.由分组可知 C,D 一定不对;由茎叶图可知[0,5)有 1 人,[5,10)有 1 人,所以第一、二小组频- 3 -率相同,频率分布直方图中矩形的高应相等,可排除 B.【加固训练】在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间小长方形的面积等于其他 10 个小长方形的面积和的 ,且样本容量为 160,则这组的频数为 ( )A.32 B.0.2 C.40 D.0.25【解析】选 A.频率等于长方形的面积,所有长方形的面积等于 1,设中间长方形的面积等于 S,则 S= (1-S),S= ,设该组的频数为 x,则 = ,得 x=32.4.(2016·福州模拟)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m,n 的比值 = ( )A.1 B. C. D.【解析】选 D.甲组数据的中位数为 30+m,平均数为 = ;乙组数据的中位数为 =33,平均数为 = .由 得因此 = .5.(2015·山东高考)为比较甲、乙两地 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温;②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温;③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差;④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.- 4 -其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 ( )A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解题提示】由 = 和 s= 求解.【解析】选 B. = =29,= =30,s 甲 == ,s 乙 == .【加固训练】从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,其茎叶图如图.根据茎叶图,下列描述正确的是 ( )A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【解析】选 D.根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为 27,而乙种树苗的平均高度为 30,但乙种树苗高度- 5 -的分布不如甲种树苗高度的分布集中.6.(2016·龙岩模拟)如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 和 ,样本标准差分别为 sA和 sB,则 ( )A. ,sAsB B. sBC. ,sAsB.7.(2016·开封模拟)如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布,则网民年龄在[35,40)的频率为 ( )A.0.04 B.0.06 C.0.2 D.0.3【解析】选 C.由已知得网民年龄在[20,25)的频率为 0.01×5=0.05,在[25,30)的频率为 0.07×5=0.35.因为年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布,所以其频率也呈递减的等差数列分布,又年龄在[30,45]的频率为 1-0.05-0.35=0.6,所以年龄在[35,40)的频率为 0.2.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.一组数据中的每一个数据都乘以 2,再都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方差是- 6 -4.4,则原来数据的平均数和方差分别是 .【解析】记原数据的平均数为 ,方差为 s2,则 2 -80=1.2,4s2=4.4,因此有 =40.6,s2=1.1.答案:40.6,1.19.(2016·唐山模拟)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.在统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,观察图形的信息,据此估计本次考试的平均分为 .【解析】频率分布直方图中,所有小长方形的面积和为 1,设[70,80)的小长方形面积为 x,则(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,解得 x=0.3,即数学成绩落在[70,80)的频率为 0.3,所以本次考试的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答案:7110.已知一组数据:a 1,a2,a3,a4,a5,a6,a7构成公差为 d 的等差数列,且这组数据的方差等于 1,则公差 d 等于 .【解析】这组数据的平均数为= =a4,又因为这组数据的方差等于 1,所以 [(a1-a4)2+(a2-a4)2+(a3-a4)2+(a4-a4)2+(a5-a4)2+(a6-a4)2+(a7-a4)2]= =1,即 4d2=1,解得 d=± .答案:±(20 分钟 40 分)1.(5 分)(2015·南昌模拟)甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学,在一次数学测试中,成绩统计用茎叶图表示如图,若甲、乙小组的平均成绩分别是 x 甲 ,x 乙 ,则下列结论正确的是 ( )- 7 -A.x 甲 x 乙 ,甲比乙成绩稳定B.x 甲 x 乙 ,乙比甲成绩稳定C.x 甲 x 乙 ;= [(88-90)2+(89-90)2+(92-90)2+(91-90)2]=2,= [(83-87)2+(84-87)2+(88-87)2+(89-87)2+(91-87)2]=9.2, ,因此甲比乙成绩更稳定.2.(5 分)(2016·咸宁模拟)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均值为 ,则 ( )A.me=m0= B.me=m0C.mem0 D.m0me【解析】选 D.由图可知,30 名学生的得分情况依次为:2 个人得 3 分,3 个人得 4 分,10 个人得 5 分,6 个人得 6 分,3 个人得 7 分,2 个人得 8 分,2 个人得 9 分,2 个人得 10 分.中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数即 me=5.5,5 出现次数最多,故 m0=5, = ≈5.97.于是得 m0me .3.(5 分)(2016·许昌模拟)由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于- 8 -1,则这组数据为 .(从小到大排列)【解题提示】要知道平均数及中位数(按从小到大或从大到小的顺序排列,若奇数个数据取中间的数,若偶数个数据取中间两个数的平均数)的求法,以及标准差公式.利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解.【解析】由题意知所以又 s====1,所以(x 1-2)2+(x2-2)2=2.同理可求得(x 3-2)2+(x4-2)2=2.由 x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x 1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2) 2+(y-2)2=2 上的点,分析知 x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.答案:1,1,3,34.(12 分)(2015·佛山模拟)寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动,下表是今年某个档口某种精品的销售数据.日期 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 2 月 17 日 2 月 18 日白天 35 32 43 39 51销售量(件) 晚上 46 42 50 52 60已知摊位租金 900 元/档,剩余精品可以以进货价退回厂家.(1)画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数.(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品,其中甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售,承包时间段内销售所获利润归承包者所有.如果其他条件不变,以今年的数据为依据,甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理?- 9 -【解析】(1)以十位数为茎,个位数为叶,画出茎叶图,如图所示:这组数据的中位数是 =44.5.(2)由题意,今年花市期间该摊位所售精品的销售量与时间段有关,明年合租摊位的租金较为合理的分摊方法是根据今年的平均销售量按比例分担,因为今年白天的平均销售量为=40(件/天),今年晚上的平均销售量为=50(件/天),所以甲同学应分担的租金为900× =400(元),乙同学应分担的租金为 900× =500(元).5.(13 分)(2016·内江模拟)今年西南一地区遭遇严重干旱,某乡计划向上级申请支援,为上报需水量,乡长事先抽样调查了 100 户村民的月均用水量,得到这 100 户村民月均用水量的频率分布表如下表:(月均用水量的单位:吨)用水量分组 频数 频率[0.5,2.5) 12[2.5,4.5)[4.5,6.5) 40[6.5,8.5) 0.18[8.5,10.5] 6合计 100 1- 10 -(1)请完成该频率分布表,并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图.(2)估计样本的中位数是多少?(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水,若该乡共有 1200 户,请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨?【解题提示】(1)由各频率之和为 1,各频数之和为 100 求解.(2)根据中位数前的频率之和为 0.5 求解.(3)先求出样本中的月用水量的平均值,再估计上级支援该乡的月调水量.【解析】(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下:用水量分组 频数 频率[0.5,2.5) 12 0.12[2.5,4.5) 24 0.24[4.5,6.5) 40 0.40[6.5,8.5) 18 0.18[8.5,10.5] 6 0.06合计 100 1(2)设中位数为 x,因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06+0.12)×2=0.36,月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06+0.12+0.20)×2=0.76,所以 x∈[4.5,6.5),则(x-4.5)×0.2=0.5-0.36,解得 x=5.2.故中位数是 5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为 1.5×0.12+3.5×0.24+5.5×0.40+7.5×0.18+9.5×0.06=5.14.又 5.14×1200=6168.答:上级支援该乡的月调水量是 6168 吨.【加固训练】某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各 50 名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计,高三年级文科数学平均分是 100 分,两个班数学成绩的频率分布直方图如下(总分:150 分):(1)文 1 班数学平均分是否超过校平均分?- 11 -(2)从文 1 班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是多少?(3)文 1 班一个学生对文 2 班一个学生说:“我的数学成绩在我班是中位数,从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是 0.60”,则文 2 班数学成绩在[100,110)范围内的人数是多少?【解析】(1)文 1 班数学平均分至少是=100.4,文 1 班数学平均分超过校平均分.(2)文 1 班在[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分数段共有人数是 33,从文 1 班中任取一人,其数学成绩达到或超过校平均分的概率是 P=0.66.(3)设文 1 班这个学生的数学成绩是 x,则 x∈[100,110),文 2 班数学成绩在[80,90),[90,100),[100,110)范围内的人数分别是 b,c,y,如果 x=100,则 =0.60,y=15,即文 2 班数学成绩在[100,110)范围内的人数至少是 15 人;又因为 所以由②得: 所以4+12+y≤35=b+c+y≤10+y-1+y⇒13≤y≤19,则文 2 班数学成绩在[100,110)范围内的人数是 15 或 16 或 17 或 18 或 19 人.