1、高二数学（文科）2 0 2 1-0 4 阶考 第 1 页 共 2 页树 德 中 学 高 2019 级 高 二 下 期 4 月 阶 段 性 测 试 数 学（文 科）试 题第 卷（选择 题）一、选 择 题：本 大 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 在 空 间 直 角 坐 标 系 中，点 2,1,3 A 关 于 平 面 z O x 的 对 称 点 为 B，则A、B 两 点 间 的 距 离 为（）A 2 5B 2 C 4 D 2 1 32.若 函 数()f x 的 导 函 数 为()f x，且
2、满 足)2(1)l n 2 f x f x x（，则(1)=f()A 0 B 1 C 2 D 23.点(3,1)P 在 极 坐 标 系 中 的 坐 标 为（）A 5(2,)6B 5(2,)6 C 5(4,)6D 5(4,)64.设a为 实 数，函 数 3 22 f x x a x a x 的 导 函 数 是()f x，且()f x是 偶 函 数，则 曲 线 y f x 在 原 点 处 的 切 线 方 程 为（）A 2 y x B 3 y x C 3 y x D 4 y x 5 函 数3 2()3 9 1 f x x x x 有（）A 极 大 值 1，极 小 值 3 B 极 大 值 6，极 小
3、值 3C 极 大 值 6，极 小 值 2 6 D 极 大 值 1，极 小 值 2 6 6.直 线 l 的 参 数 方 程 为()x a tty b t 为 参 数 l 上 的 点1P 对 应 的 参 数 是1t,则 点1P 与(,)P a b 之 间 的 距 离 是（）A1t B12 t C12 t D122t7 函 数 e l n 2xf x x 的 大 致 图 象 为（）A B C D 8.已 知 点 3 0 A,，0,3 B，若 点 P 在 曲 线1 c oss i nxy（参 数 0,2）上 运 动，则P A B 面 积的 最 小 值 为（）A 92B 6 2C 3 262D 3 26
4、29.已 知)s i n f x x x（，若 1,2 x 时，2()(1)0 f x a x f x，则a的 取 值 范 围 是()A(，1 B 1，)C，)D(，1 0.已 知 函 数，曲 线 上 存 在 两 个 不 同 点，使 得 曲 线 在 这 两 点 处 的 切 线 都 与 y 轴 垂直，则 实 数a的 取 值 范 围 是 A.2(,)e B.e,0 C.21-,)e（D.e,0 1 1.已 知 函 数1)l nxf x xx（的 一 条 切 线 方 程 为y k x b 则 k b 的 最 小 值 为()A 1 B 0 C 1 D 21 2.设 椭 圆2 22 2:1(0)x yC
5、 a ba b 的 左、右 顶 点 分 别 为,A B，P 是 椭 圆 上 不 同 于,A B 的 一 点，设 直 线,A P B P 的 斜 率 分 别 为,m n，则 当2 2(3)3(l n|l n|)3am nb m n m n 取 得 最 小 值 时，椭 圆 C 的 离 心率 为（）A 15B 22C 45D 32第 卷（非 选 择 题 共 90 分）二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分。1 3.在 极 坐 标 系 中，已 知 两 点 A，B 的 极 坐 标 分 别 为 3,3，4,6，则 A O B（其 中 O 为 极 点）的 面积 为1 4.已 知 直
6、线 l 的 参 数 方 程 为c os 53 2s i n 53 1x ty t（t 为 参 数），则 直 线 l 的 倾 斜 角 为1 5 如 图，)y f x（是 可 导 函 数，直 线 l：y=k x+2 是 曲 线 y=f(x)在 x=3 处 的 切 线，令()g x x f x（，其 中()g x 是 g(x)的 导 函 数，则 曲 线 g(x)在 x=3 处 的 切 线 方 程 为 _1 6.已 知 对 任 意 的1,1ex，总 存 在 唯 一 的 1,1 y，使 得2l n 1 eyx x a y 成 立高二数学（文科）2 0 2 1-0 4 阶考 第 2 页 共 2 页（e为
7、自 然 对 数 的 底 数），则 实 数a的 取 值 范 围 是三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7.（本 题 1 0 分）已 知 函 数 2l n f x x a x x，a R.（I）若 1 a，求 曲 线 y f x 在 点 1,1 f 处 的 切 线 方 程；（）若 函 数 f x 在 1,3 上 是 减 函 数，求 实 数a的 取 值 范 围.1 8.（本 题 1 2 分）已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为22 24c o s 4 s i n，以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 O，极 轴 为
8、x 轴 的 非 负 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系（1）求 曲 线 C 的 普 通 方 程；（2）,P Q 为 曲 线 C 上 两 点，若 O P O Q，求2 21 1|O P O Q的 值 1 9.（本 题 1 2 分）已 知 函 数2)l n()f x x a x x（,且)f x（在 点 1 x 处 取 得 极 值(1)求 实 数a的 值；(2)若 关 于x的 方 程5)-2f x x b（在 区 间 1,3 上 有 解，求 b 的 取 值 范 围 2 0（本 题 1 2 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线1C 的 方 程 为2 2x y 4，直 线
9、 l 的 参 数 方 程23 3 3x ty t（t 为 参 数），若 将 曲 线1C 上 的 点 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 变 为 原 来 的32倍，得 曲 线2C.（1）写 出 曲 线2C 的 参 数 方 程；（2）设 点 2,3 3 P，直 线 l 与 曲 线2C 的 两 个 交 点 分 别 为 A，B，求1 1P A P B的 值.2 1.（本 题 1 2 分）已 知 函 数21()(2 1)l n(1)2f x x a x a x，其 中 a 为 实 数。1l n(1)=1xx（注 意（）（1）若 曲 线()y f x 在 点 2(2)f（，处 的 切 线 方 程 为 2
10、y x，试 求 函 数()f x 的 单 调 区 间；（2）当=0 a，1 2,2,3 x x，且1 2x x 时，若 恒 有1 2 2 1()()l n(1)l n(1)f x f x x x，试 求 实数 的 取 值 范 围 2 2（本 题 1 2 分）已 知 函 数()(f x l nx m x m 为 常 数）（1）讨 论 函 数()f x 的 单 调 区 间；（2）当3 22m 时，设21()()2g x f x x 的 两 个 极 值 点1x，2 1 2()x x x，求)()(2 1x f x f 的 最 小 值.高二数学（文科）2 0 2 1-0 4 阶考 第 3 页 共 2
11、页树 德 中 学 高 2019 级 高 二 下 期 4 月 阶 段 性 测 试 数 学（文 科）试 题 答 案1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2B C A A C C D D C D B D1 3.3 1 4.01 2 7 1 5.3 0 y 1 6.2,ee（1 7.（1）当 1 a 时，2()l n f x x x x，所 以1()2 1 f x xx，所 以(1)2 f，又(1)2 f，所以 曲 线()y f x 在 点(1,(1)f 处 的 切 线 方 程 为 2 0 x y；（5 分）（2）因 为 函 数 f（x）在 1，3 上 是 减 函 数，所 以21 2
12、 1()2 0 x axf x x ax x 在 1，3 上 恒 成 立，令2()2 1 h x x ax，则(1)0(3)0hh，解 得（1 0 分）1 73a，故1 7,3.所 以 实 数a的 取 值 范 围1 7,3.（1 0 分）1 8.（1）由 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为22 24c o s 4 s i n，可 得2 2 2 2c os 4 s i n 4，将 c o s,s i n x y 代 入，可 得2 24 4 x y 可 得 曲 线 C 的 普 通 方 程 为2214xy.（5 分）（2）因 为22 24c o s 4 s i n，所 以2 221 c o s
13、4 s i n4，因 为 O P O Q，设1(,)P，则 Q 的点 坐 标 为2(,)2P，所 以2 22 22 2 2 21 2c os()4 s i n()1 1 1 1 c os 4 s i n2 2|4 4 O P O Q 2 25 c os 5 s i n 54 4.（1 2 分）1 9.(1)f(x)l n(x a)x2 x，f(x)2 x 1，函 数 f(x)l n(x a)x2 x 在 点 x 1 处 取 得 极 值，f(1)0，即 当 x 1 时，2 x 1 0，1 0，解 得 a 0.经 检 验 符 合 题 意（5 分）(2)f(x)x b，l n x x2 x x b，
14、l n x x2x b.令 h(x)l n x x2x(x 0)，则 h(x)2 x.当 x 1,3 时，h(x)，h(x)随 x 的 变 化 情 况 如 下 表：计 算 得 h(1)，h(3)l n 3，h(2)l n 2 3，h(x)，l n 2 3，所 以 b 的 取 值 范 围 为，l n 2 3（1 2 分）2 0（1）曲 线1C 的 方 程 为2 2x y 4，直 线 l 的 参 数 方 程23 3 3x ty t（t 为 参 数），若 将 曲 线1C 上 的 点 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 变 为 原 来 的32倍，得 曲 线2C.曲 线2C 的 直 角 坐 标 方 程
15、为2 22()43x y，整 理 得2 214 9x y，曲 线2C 的 参 数 方 程2 c os3 s i nxy（为 参 数）；（4 分）（2）将 直 线 l 的 参 数 方 程 化 为 标 准 形 式 为12233 32x ty t（t 为 参 数），高二数学（文科）2 0 2 1-0 4 阶考 第 4 页 共 2 页将 参 数 方 程 代 入2 214 9x y，得22313 322214 9tt，整 理 得27()1 8 3 6 04t t.设,A B 对 应 的 参 数 分 别 为1 2,t t，则2 2 1 17 2,71 4 47t t t t，.（8 分）1 27 27P
16、A P B t t，1 21 4 47P A P B t t，721 1 1714427P A P BP A P B P A P B.（1 2 分）2 1.解：（1）函 数()f x 的 定 义 域 为|1 x x，()(2 1)1af x x ax，f（2）2(2 1)2 a a，可 知21 21.()11 1xa f x xx x 当22 0 x，即 2 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增；当 1 2 x 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减 所 以 函 数()f x 的 单 调 递 增 区 间 为(2,)，单 调 递 减 区 间 为(1,2)意，（5 分）（2）
17、函 数2(2 2)3 1()(2 1)1 1a x a x af x x ax x 令2()(2 2)3 1 h x x a x a，4(1)a a，当 0 a，1 时，可 知 4(1)0 a a，故2(2 2)3 1 0 x a x a 恒 成 立，可 知()0 f x，()f x 在 区 间(1,)上 为 单 调 递 增 函 数，不 妨 设2 1x x，且1x，2 2 x，3，则22 111()()1xf x f x l nx 变 为2 1 2 1()()(1)(1)f x f x l n x l n x，即2 2 1 1()(1)()(1)f x l n x f x l n x，.（7
18、分）设 函 数2 21 1()()(1)(2 1)(1)(1)(2 1)()(1)2 2g x f x l n x x a x a l n x l n x x a x a l n x，由2 1()()g x g x，得()g x 在 2 x，3 时 为 单 调 递 减 函 数，即22(1)3 1()01x a x ag xx，即22(1)3 1 0 x a x a，也 即2(3 2)2 1 0 x a x x 对 2 x，3 与 0 a，1 恒 成 立 因 为 3 2 0 x，可 知 0 a 时，2(3 2)2 1 x a x x 取 最 大 值，即22 1 0 x x 22 1 x x 对
19、2 x，3 时 恒 成 立，由2 22 1(1)4 x x x，可 知 4，即 取 值 范 围 为 4，)经 书 面 同 意，（1 2 分）2 2.【解 析】解：（1）1 1()m xf x mx x，0 x，当 0 m 时，由 1 0 m x，解 得1xm，即 当10 xm 时，()0 f x，()f x 单 调 递 增；由 1 0 m x 解 得1xm，即 当1xm 时，()0 f x，()f x 单 调 递 减；当 0 m 时，1()0 f xx，即()f x 在(0,)上 单 调 递 增；当 0 m 时，1 0 m x，故()0 f x，即()f x 在(0,)上 单 调 递 增 所
20、以 当 0 m 时，()f x 的 单 调 递 增 区 间 为1(0,)m，单 调 递 减 区 间 为1(,)m；当 0 m 时，()f x 的 单 调 递 增 区 间 为(0,)（5 分）(2)由 题 意 得1x，2x 为 0 1)(2 m x x x g 的 两 个 零 点，由(1)得 122 302 12 1x xm x xm故2 1222121 222121212 12221 2 1)(21l n)(21l n l n)()(21)()(x xx xxxx xxxxxx x m x x x f x f 设21xxt，由2 1x x 且 1 02921)(2 122 1 2tttx xx xm得210 t，.（8 分）则)()1(21l n)()(2 1ttt t x f x f 得 02)1()(22 ttt.)(t 于21,0 单 调 递 减，故2 l n43)21()(t.故)()(2 1x f x f 最 小 值 为 2 l n43.（1 2 分）
