1、具有逐段常值变元的时滞微分方程的振动性2006 年第 27 卷第 2 期中北大学(自然科学版)Vo1.27No.22006(总第 106 期)JOURNA1OFNORTHUNIVERSITYOFCHINA(NATURALSCIENCEEDITION)(SumNo.106)文章编号:16733193(2006)02 016302具有逐段常值变元的时滞微分方程的振动性王青梅(山西水利职业技术学院,山西太原 030027)摘要:考虑多时滞情形下具有逐段常值变元的时滞微分方程的振动性 .应用修改 z一变换.得到了时滞微分方程的特征方程,并且给出了时滞微分方程振动的充分必要条件.即时滞微分方程是振动当且
2、仅当它的特征方程在(O,1) 内没有根 .本文结果推广了文献1中的结果.关键词:振动;逐段常值变元;时滞;修改 z 一变换中图分类号:O175 文献标识码:ATheOscillationofTime-LagDifferentialEquationswithPiecewiseConstantArgumentsWANGQingmei(ShanxiOccupationalCollegeofWaterConservationTechnology,Taiyuan030027.China)Abstract:Asufficientandnecessaryconditionfortheoscillationo
3、ftimelagdifferentialequationswithpiecewiseconstantargumenthasbeenpresentedundertheconditionsofmulti.time.delayandpiecewiseconstantargumentsthroughimprovedZtransform:timelagdifferentialequationsareoscillatoryifandonlyiftheircharacteristicequationshavenorootsin(0,1).Thisfindinghasgeneralizedtheresearc
4、hbyWangYeta1.Keywords:oscillation;piecewiseconstantargument;timelag;improvedZtransform考虑方程 fm(f)+x(tYi)+g(Itkj)一 0,t0,(1)i 一 1,=1式中,kj(一 1,2,;_一 1,2,m)为正整数;P.,qJ 为正实数;?是最大取整函数.文献1应用修改 Z 一变换讨论了m 一 1 时方程(1)的振动性,得到了方程(1)振动的充要条件,解决了文献2中提出的公开问题.本文将文献1中的结果推广为为任意自然数情形,得到了方程(1)振动的充要条件.具有逐段常值变元的时滞微分方程的振动性的一些
5、研究结果见文献35.f记 p=ma.xYi,kj),简记户与g 分别为P 与g,以后涉及,与 qJ 的都用相同的记号.定理方程(1)振动的充分必要条件为方程(2Pz r,+ g 声 Oexp(P2 一 r,)一(P2,+g2)一 0(2)在(0,1)内没有实根 .证明充分性.反证法.不妨设方程(1)有一个最终正解 x(t),由方程(1)可知,最终有 z(f)0;又方程(1)为自治的 ,故可设 t一|D,.)时,z(f)0;而 z(f)0,即 z(f)单调减,从而z(f)有界,于是 z(f)也有界 .因此当 I2I1 时,z(f)和 z(f)的修改 2 一变换都存在.令 Z(f)一X(2,),当
6、 0r/l,IzI1 时,对方程(1) 两边同时用 z 变换,可得一1x(2,)+2x(2,)+ P, z(一 r+“+r1)z+收稿日期:2005 一 1029作者简介 t 王青梅(1969 一),女.讲师主要从事常微分方程的研究164 中北大学(自然科学版)2006 年第 2 期厂 1qi(z-kJX(,0)+荟(一是,+)一 0,解上述方程可得 p(户 zt)x(z,)+ 至络(exp(户一 1)一 1x(z,.)+:exp(户-r,s)?,一 1P(一+U+s)zds+“一 op,一(exp(pt)一 1)一 0.(3)令 7/-,-1 且 II1 时,z(f)一致收敛,于是有eXp(
7、Epiz-,)1)+嚣(eXp(1)_10)+厂 ig(一是+v)z+“+s)ds+ (exp(户f)一) 一 0,又(,1)一(,0) 一 (O),代入上式,可得 g()(2,O)一(z), 其中 g(2)一(p,+rl,一 tg,J)exp(p2 一 r,)一( pt+g,一,),(2) 一p 一 .(z(0)一 lexp(piZ 一.)户(一 JU,一1+“+s)zds)一 g,X(-+v)z(exp( p 一.) 一 1),则有当1,+)时,g()0.由假设(0,1)时没有实根 ,故由 g()在(0,)内连续可知,g()0,(0,+).可以证明 z变换X(z,0)一x(n)(4)在(0
8、,+)内点点收敛 ,从而 II0 时,级数(4)一致收敛.事实上,因(1,+)时,式(4)收敛,故可设是式(4)在(O,o.)内全体收敛点的下确界.若 020,则由阿贝尔定理知,当 0IIa 时,式(4) 发散;IIoo 时,式(4) 一致收敛,且和函数 X(,0)解析 .从而a 是 X(,0)沿轴解析开拓意义下的奇异点 .但是当(0,+CxD)时,g(z)0.再由 g()X(,0)一()可知,X(z,0)可以沿轴解析开拓到(0,+C.) 内.由解析开拓的唯一性知,这是一个矛盾,故式(4)在 z(0,+)内点点收敛.故由阿贝尔定理知,当 IzI0 时,式(4)一致收敛.由上述结论可知,g(z)
9、X(2,0)一()对于(0,+C.)成立.由式(4)可知,(0,+CxD)时,X(z,0)0,从而 g()X(,0)0.r1但是由于(f)单调减,故当(0,+ )时,()p 一.(0)一 lexp(ps)(0)p-ri+1dsJ0一g(一 1)exp(p0)一 1)一p 一 9x(O)一g 声 (一 1)(exp(p 一 0)一 1)Ezx(O)一gz(一 1)p,一.,从而有0 时,()一一,矛盾.必要性.设方程(2)在(o,1) 内有一个实根 .,则可验证 x(t)一 x(n+7/)一(gxz,+pz)exp(一 户 xot)一gxo, 是方程(1)的一个连续正解,其中 07/1,nIt.
10、定理证毕.本文定理给出了具有逐段常值变元的时滞微分方程的振动的充要条件,即微分方程的振动性等价于一个代数方程是否有实根.参考文献:1王幼斌,燕居让 .一段具逐段常值变量的微分差方程振动充要条件.科学通报,1996,4(15):3239.Ez3453WangYoubin,YanJurang.OscillationofdelaydifferentialequationswithpiecewiseconstantargumentsEJ?ChineseScienceBulletin,l996,4l(5):709712.(inChinese)GyoriI.Oscillationtheoryofdelay
11、differentialequationswithapplicationM.ClarendonPress?Oxford?1991.GopalsamyK,GyoriI,LadasG.OscillationofaclassofdelayequationswithcontinuousandpiecewiseconstantargumentsJ.Func.Ekrac.1989,32(3):395406.IaddeGS.IakshmikanthamV.ZhangBG.OscillationTheoryofDifferentialEquationswithDeviatingArgumentsM.MarcelDekker,NewYork,1987.AftabizadehAR,WienerJ.OscillatorypropertiesoffirstorderlinearfunctionalequationJ.App1.Ann1.,1985,20(34):165 一 l87.+一/善r蚤声0一声pXerJ
