1、课后素养落实(十六)抛物线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1已知点F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点若|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()ABCD1B设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|BF|xAxBxAxBp3，则AB的中点C到y轴的距离d故选B2抛物线y12x2上的点到焦点F的距离的最小值为()A3B6CDC将方程化为标准形式是x2y，则p设M是抛物线y12x2上的一点，则x0，当且仅当x00时，取等号，故抛物线y12x2上的点到焦点F的距离最小值为3过抛物线y22px(p0)的焦点F作弦AB，其所在直线的倾斜角为，则|AB|等于()
2、AB4pC6pD8pD由抛物线的焦点弦公式得，|AB|8p4动点到点(3，0)的距离比它到直线 x2的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆B双曲线C双曲线的一支D抛物线D已知条件等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D5已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()ABCDD由得x25x40，x1或x4不妨设A(4，4)，B (1，2)，则|5，2，(3，4)(0，2)8cosAFB二、填空题6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB
3、|_8|AB|x1x2p6287线段AB是抛物线y2x的一条焦点弦，且|AB|4，则线段AB的中点C到直线x0的距离为_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|x1x2p4，x1x24，中点C(x0，y0)到直线x0的距离为x08过抛物线y22px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOAkOB的值是_4kOAkOB，根据焦点弦的性质x1x2，y1y2p2，故kOAkOB4三、解答题9在抛物线y22x上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解法一：设P(x0，y0)是y22x上任一点，则点P到直线l的距离d，当y01时，dmi
4、n，P法二：设与抛物线相切且与直线xy30平行的直线方程为xym0，由得y22y2m0，(2)242m0，m平行直线的方程为xy0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin，此时点P的坐标为10如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，求此抛物线的方程解过A、B分别作准线的垂线AA、BD，垂足分别为A、D，则|BF|BD|，又2|BF|BC|，在RtBCD中，BCD30又|AF|3，|AA|3，|AC|6，|FC|3F到准线距离p|FC|y23x11设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，
5、则|AB|的最小值为()ABpC2pD无法确定C当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p12有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)过点B 作BTCD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分()A圆B抛物线C椭圆D双曲线B由于BTCD，故BTAD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|BT|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分故选B13(多
6、选题)设抛物线C：y23x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角可能是()ABCDAC如图，作AHl于H，则|AH|FA|3，作FEAH于E，则|AE|3，在RtAEF中，cosEAF，EAF，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为14(一题两空)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k_，cosAFB_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，x1x24，|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22由得x14，x21，A(4，4)，B(1，2)，将B(1，2)代入yk(x2)，得k由两点间的距离公式得|AB|，又|FA|2|FB|6，由余弦定理得，cosAFB15已知点O为抛物线y22x的顶点，点A，B都在抛物线上，且AOB90，证明：直线AB必过一定点证明设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB的方程为yx，由题意知k0由解得或即点A的坐标为，同样由解得点B的坐标为(2k2，2k)故AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2不论实数k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0故直线过定点P(2，0)
