1、一 平面直角坐标系一、基础达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x2y20，则曲线C的方程为()A.25x29y20 B.25x29y21C.9x225y20 D.9x225y21解析将伸缩变换代入x2y20，得25x29y20，此即为曲线C的方程.答案A2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是()A.(9，1) B.(3，1)C.(1，3) D.(2，2)解析设D(x，y)，则由题意，得，即(4，2)(5x，1y)，即D(1，3).答案C3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(1，0)，B(1，0)，C(
2、1，1)，D(1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a0)的作用下变成正方形，则a的值为()A.1 B.2 C. D.解析如图，由矩形ABCD变为正方形ABCD，已知yy，边长为1，AB长由2缩为原来的一半，xx，a.答案C4.已知f1(x)sin x，f2(x)sin x(0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则为()A. B.2 C.3 D.解析对照伸缩变换公式：由ysin x得到ysin x故，即.，3.答案C5.若点P(2016，2017)经过伸缩变换后的点在曲线xyk上，则k_.解析P(2 016，2 017)经过
3、伸缩变换得代入xyk，得kxy1.答案16.可以将椭圆1变为圆x2y24的伸缩变换为_.解析将椭圆方程1，化为4，4.令得x2y24，即x2y24.伸缩变换为所求.答案7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x22y23x0变成曲线x28y212x0的伸缩变换.解令伸缩变换为将其代入x28y212x0得2x282y212x0，与x22y23x0.进行比较，得故从而伸缩变换为二、能力提升8.在平面直角坐标系中，方程3x2y10所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为()A.3x4y10 B.3xy10C.9xy10 D.x4y10解析由伸缩变换得代入方程3x2y10有9xy10.答案C9.平面直角坐标
4、系中，在伸缩变换：作用下仍是其本身的点为_.解析设P(x，y)在伸缩变换：作用下得到P(x，y).依题意得其中0，0，1，1.xy0，即P(0，0)为所求.答案(0，0)10.已知实数x，y满足方程x2y24x10，则x2y2的最大值和最小值分别为_.解析x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.答案74；7411.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x2y0；(2)x2y22.解(1)由伸缩变换得将
5、其代入5x2y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x3y0.所以经过伸缩变换后，直线5x2y0变成直线5x3y0.(2)将代入x2y22，得到经过伸缩变换后的图形的方程是2，即1.所以经过伸缩变换后，圆x2y22变成椭圆1.12.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.解以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于
6、点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.三、探究与创新13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解(1)设曲线方程为yax2.因为D(8，0)在抛物线上，0a82，解得：a.曲线方程为yx2.(2)设变轨点为C(x，y).根据题意可知得4y27y360，解得y4或y(不合题意).y4.得x6或x6(不合题意，舍去).C点的坐标为(6，4).|AC|2，|BC|4.所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.5
