1、2.1.2空间中直线与 直线之间的位置关系,教学目标,知识与能力,了解空间中两条直线的位置关系。理解并掌握公理4和等角定理。异面直线所成角的定义、范围及应用。,教学重难点,重点,难点,异面直线的概念。 公理4及等角定理。,异面直线所成角的计算。,复习：平面内两条直线的位置关系,相交直线 （有一个公共点）,平行直线 （无公共点）,两路相交,立交桥,立交桥中, 两条路线AB, CD,既不平行，又不相交,观察实例,六角螺母,两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.,两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.,异面直线的定义:,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面
2、直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,合作探究,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,空间中直线与直线之间的位置关系,异面直线的画法,说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边
3、a, b, c, d, e, 之间有何关系？,ab c d e ,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,等角定理,异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,(2)问题提出,(1)复习回顾,(3)解决问题,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与
4、 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?, aa , a a a a (公理4),解答： 如图,设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,同理 bb, 1 = 2 (等角定理),答 :这个角的大小与O点的位置无关.,异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,例题
5、示范,例：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BDFG BD且FG BD,变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,课堂小结,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。,异面直线的定义:,相交直线,平行直线,异面直线,空间两直线的位置关系,公理：,在空间平行于同一条直
6、线的两条直线互相平行。,空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。,等角定理：,异面直线所成的角:,平移，转化为相交直线所成的角。,随堂练习,一、下图长方体中,平行,相交,异面,BD和FH是 直线,EC和BH是 直线,BH和DC是 直线,与棱AB所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,说出以下各对线段的位置关系?,1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。,3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。,错,错,错,2）a ,b ,则a,b一定异面。,二、判断,1. 两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关
7、系是( )A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.相交或异面,三、选择,D,D,3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能,D,四、,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？,连接HA、AF，,(2)连接FH，,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,则AH=HF=FA, AFH为等边,
