1、2.4 正态分布(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.正态曲线及性质1,2,4,5,7,862.正态分布在实际中的应用9,1011,12,133.“小概率事件”和假设检验的基本思想3一、选择题1下列关于正态曲线性质的叙述：曲线在x轴上方，关于x对称；由曲线和x轴围成的面积随变化而变化；越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“瘦高”；曲线关于x对称，只有在x(3，3)时，曲线在x轴上方说法正确的是()ABCDB解析由正态曲线性质知正确；对于，曲线与x轴围成的面积恒为1，错误；对于，曲线关于x对称，且曲线始终在x轴上方，错误故选B项2设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(c1)P(
2、c1)，则c()A1B2C3D4B解析由服从正态分布N(2,9)，对应的正态曲线的对称轴为x2.若P(c1)P(c1)，则c1与c1对应的曲线面积相等，所以c1与c1关于直线x2对称，有2，可得c2.故选B项3假设总体服从正态分布N，如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中取值应落在区间()ABCDC解析由假设性检验的3原则知，我们如果接受假设，则取值应该落在(3，3)中，故如果拒绝假设，则应落在区间(3，3)之外故选C项4某校高考数学成绩近似服从正态分布N(100,25)，且P(110)0.98，则P(90100)的值为()A0.49B0.52C0.51D0.48D解析因为随机变量服从正态分布
3、N(100,25)，所以正态曲线关于100对称，因为P(110)10.980.02，所以P(90100)(10.04)0.48.故选D项5随机变量X的概率分布密度函数解析式是f(x)e，x(，)，则E(2X1)()A5B9C3D2C解析由f(x)e知1，所以E(X)1，所以E(2X1)2E(X)13.6设XN(0,1)，则有如下命题：P(X0)P(0X)；P(X0)0.5；已知P(|X|1)0.682 6，则P(X1)0.158 7；已知P(|X|2)0.954 4，则P(X2)0.977 2；已知P(|X|3)0.997 4，则P(X3)0.998 7.其中正确的个数有()A2B3C4D5D
4、解析由于曲线关于x0对称，所以正确；当P(|X|1)0.682 6时，P(X1)0.158 7，正确；当P(|X|2)0.022 8，所以P(X2)0.977 2，正确；当P(|X|3)0.001 3，所以P(X3)0.998 7，正确故选D项二、填空题7已知正态总体落在区间(0.2，)的概率是0.5，那么相应的正态曲线在x_时达到最高点解析正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2，所以正态曲线在横坐标为0.2时，达到最高点答案0.28设随机变量服从标准正态分布N(0,1)，已知P(1.96)0.025，则P(|1.96)_.解析P(|1.96)12P(1.96)120.0250.950.答案0
5、.9509假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，则p0_.(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4)解析由题意知800，50，所以9002，所以p0P(x900)P(x2)0.50.954 40.977 2.答案0.977 2三、解答题10设在一次数学考试中，某班学生的分数服从正态分布N(110,202)，且知满分为150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数解析因为N(110
6、,202)，所以110，20，所以P(11020130的概率为(10.682 6)0.158 7，所以90的概率为0.682 60.158 70.841 3，所以及格的人数为540.841 345，130分以上的人数为540.158 79.11某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？解析还有7分钟时，若选第一条路线，即XN(5,1)，能及时到达的概率P1P(X7)P(X5)P(5X7)P(2X2)；若选第二条路线，即XN(6,0.16)，能及
7、时到达的概率P2P(X7)P(X6)P(6X7)P(2.5X2.5)因为P(2.5P(2X2)，所以P1P2，所以应选第二条路线12从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212
8、.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，即ZN(200,12.22)从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.四、选做题13某地区模拟考试的数学成绩X服从正态分布N(90，2)，且P(X70)0.2.从该地区参加模拟考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在70,110的人数记作随机变量，则的方差为()A2B2.1C2.4D3C解析由正态分布知，每个人数学成绩在70,110的概率为2(0.50.2)0.6，所以10名学生的数学成绩在70,110的人数服从二项分布B(10,0.6)，所以的方差为100.6(10.6)2.4.故选C项5
