1、关于超级 Cochrane 和的混合型均值数学年刊26A:4(2005),469-476关于超级 Cochrane 和的混合型均值料木张天平木张文鹏料提要本文利用 Gauss 和与原特征的性质以及 DirichletL 一函数的均值定理研究了超级 Cochrane 和与超级 Kloosterman 和的混合型均值,并给出了一个有趣的渐近公式.关键词超级 Cochrane 和,超级 Kloosterman 和,混合型均值MR(2000)主题分类 11F20中图法分类 0156.4文献标识码 A文章编号 1000-8314(2005)04-0469-081.引言对任意给定的正整数 q,n 及整数
2、h,定义经典的 Dedekind 和 S(,q)如下:)(等 ),其中cc=x,一一兰萋并定义广义 Dedekind 和 S(,n,q)如下:(等),其中百 nc=一 D薹萋【X】表示不超过 X 的最大整数,B()是 Bernoulli 多项式,百()是定义在【0,1】区间上的第 n 个 Bernoulli 周期函数.文【1,2】研究了关于 s(,n,q)的一些均值性质.2000年 10月,美国着名解析数论专家 ToddCochrane 在西安访问期间提出了一种类似于Dedekind和的和式(,q)q01(等 )本文 2004 年 10 月 16 日收到.西北大学数学系,西安 710069;陕
3、西师范大学数学与信息科学学院,西安 710062.E-maihtianpzhangeyou.corn西北大学数学系 ,西安 710069.E-国家自然科学基金(No.10271093,60472068)和陕西省自然科学基金(No.2004A09)资助的项目470 数学年刊 26 卷 A 辑_-_-_-_一这里 0 瓦三 1(modq),表示对所有的与 q 互素的 0 求和.他建议对 c(h,q)的算术性质和均值分布情况加以研究,然而我们至今对此都知之甚少.文3】发现了Cochrane 和与如下定义的 Kloosterman 和:K(rrt,rt;q)=erob+nb),之间存在着极为有趣的联系
4、例如,若 q 是一个完全平方数(即 Plq 当且仅当 Plq),则有如下渐近公式:砌()=g)+.(p().(1_)而对于一般的整数 q23,文4】得到了如下渐近公式:K(hjq)q(卜而 1)+.(),(1.2)这里 e 为任意小的正实数.文5】 中 Mordell 定义超级 Kloosterman 和如下:酬+1je().关于超级 Kloosterman 和的性质,许多学者都对此作了深入细致地的研究.结果表明,超级 Kloosterman 和在 Maass 形式(见6)的 Fourier 系数估计,以及 Selberg 关于特征值猜想的研究中都得到了很好的应用(见7】);不仅如此 ,Smi
5、th 还建立了超级Kloosterman和与 Heibronn 和之间的一个重要关系式 (见【8】).类似地,可以定义超级 Cochrane 和如下:cc;m:_m(詈) m(q)_m()?本文利用 Gauss 和与原特征的性质以及 DirichletL 一函数的均值定理研究超级Cochrane和与超级 Kloosterman 和的混合型均值,并给出一个有趣的渐近公式,即证明下面的定理若 q3 为整数,则对任意的奇数 m,m2,m+,有渐近式,Kl(h,k+1;q)C(h,q;m,)=-krak+(一菇 12)圳 E)_(27r)m1+1 上上一口 f 口一 1/.一,.如果在定理中取 q=P
6、,立即可得推论若 P 为奇素数 ,则对任意的奇数 m,m2,m+,有渐近式pKl(h,k+1;p)C(h,p;m,k)=+p).4 期张天平张文鹏关于超!兰竺望鱼型望堕!2.几个简单引理为了完成定理的证明,需要引入下面几个简单引理.引理 2.1(见9)设 q 为任意正整数 ,)(是模 q 的非原特征,并且)(q 营 Xq?则当(n,q)1 时,有:(南)()(南)q*zql:其中(n)为 MSbius 函数,q1 是和 q 有相同素因数的 q 的最大除数,7-()()=G(1,)()以及G(n,)()=)(b)e()为关于特征 )(的 Gauss 和.而当(n,q)=1 时 ,有 a(n,)(
7、)=(n)x()()7-()().引理 2.2(见9)令)(是由模 m 的原特征)(导出的模 q 的特征,则有恒等式()()=(q,#,q)()(m)引理 2.3 若 h,q 为正整数且满足条件 q3,(,q)=1,则对任意的奇数?7/,1,m2, ?mk+1,有恒等式;=.薹).囔)1其中)(一 1)=一 1,表示)( 是模 q 的奇特征.证利用模 q 的特征和的正交性,有C(h,q;m,k)注意到:q(?q()()=1.q(詈).塞川()=一薹以及对于满足条件(,q)=1 的任意整数 h,有 G(hn,)()=()G(n,)().故得C(h,q;m,)=1.q(一 ml!)-oo一.塞(一
8、)暑-oo.川472 数学年刊 26 卷 A 辑=mlq-“q-mk+l蔓).(2 丌)(q)IrJ27ri)差)(+.十+(q)焉.【rJ 一Y(一 1)=一 1,一k 上 1=一.crk 上 10Lrk+1=ink+),f这就完成引理 2.3 的证明.引理 2.4(见3,引理 3)设整数 q,r 满足 q3 和(r,q):1,)(为模 q 的 Dirichlet特征,则有)(r)=(兰)(d),(q)= (d)(兰),XroodqdI(q,r-1)dlq其中表示对模 q 的所有原特征求和,(q)为模 q 的原特征个数.引理 2.5 设整数 q:UV,其中 u 为完全平方数或 u=1,V 为
9、无平方因子数.则对于任意正整数 tl,t2,t+1,有渐近式(dldk+1)L(tl,)L(tk+l,)l(一菇).证无妨假定 t=min(tl,t2,tk+1).令 r+1(n)=dd2dt-+tk+l,则对任意参数 Nud 及模 ud 的任意非主特征)(,利用 Abel 求和公式,得L(tl,)一 .(tk+l,2,=薹=+t其中 A(y,)= (n)r+l(n).n注意到对于 B(u,)()=)(n)+l(n),这里+1(n)是第 k+1 个除数函数,有n(见10,引理 4)lB(u,)()ly2-(/)+(ud)(2.1)利用 Cauchy 不等式,将要证明以下估计:lA(y,)l I
10、B(,)J(ud)JB(y,)J)irI】d_udlxroodudxroodud一(/)+./(ud).(2.2)令 W 表示不等于 t 的 ti 的个数,这里 1ik+1,分以下两种情况来讨论:4 期张天平张文鹏关于超级 Cochrane 和的混合型均值 473(i)若 W=0,有A(y,)=( 几)+1(几)=B(y,)利用 Cauchy 不等式,可得NnYIA(y,)IYxroodudx(一 1)=一 1(ii)若 1W 惫,有A(y,)=dl-一 dd+l?d+l(2/2k+1)+e3/2(d1(d1?d 珊 d 叫+1dk+1)d 一.d(m)r(m)(几 )-w+l(几)Nmn_y
11、(m)r(m)-w+l(几)m利用 Cauchy 不等式,可得IA(y,)Xmodudx(一 1)=一 1N|mn_y/mr(m)jmYudn_y/m+r(m)mNXroodudx(一 1)=一 1(几)一+1(n)f(几)-w+l(几)n_N/myl-(/州)+./(d)结合(i)和(ii)可知,估计式(2.2)对任意满足 0W 惫的整数 W 都成立.因此有综上所述,有dlvdlld+lXroodudx(一 1)=一 1uk+ld()()詈 d.dtk+(丢)()触?+1)q寿(x(一 1)=一 1.JN=dlvdlld+q2+e()抖 22uk+ld(赤) ()詈 d.udtk+(丢)()
12、roodud(d.?d+)(几)+0(V7xrk+l(n)几(2.3)474 数学年刊 26 卷 A 辑故由引理 2.4 可得.dlvdlIuk+ld(赤) ()ddtk+(暑) (dk+1)dlvdlI(u-ds)(8)rk+l(n)ntln(几,“d)=ldldk+1n-一 l2+(q)+0fdIuk(札)一2k+1(q)q:一2 一(q)lnNsl(ud(n,ud)=luk+ld()?ddtk+(暑 )d1?.dk+1()+.()uk+ld()(赤)(暑)()uk+ld (赤)( 赤)dk+1Irk+1(n)(s).dtk+lnt(暑)()+.()dk+lJ(ud)+O(d 焘)V善dlIuk+ldk+l
