1、第 1 页绝密 启封并使用完毕前 九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试 文科数学试题解析版 本试卷分第I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120 分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第 I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷（选择题 60分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2,1,0,1,2 A=-，2|2 B x x=，则 A B=I(C)A.0,1 B.1,1-C.1,0,1-D.0 解:|2 2 B x x=-Q，1,1 0 A B=-I，故选 C.2.已知复数 z满足()10 3 i z-=，则 z=(D)A.3 i-B.3 i-+C.3 i-D.3 i+解:10 10(3 i)3 i3 i(3 i)(3 i)z+=+-+，故选D.3.已知等差数列 na 的前 n项和为nS，若11 a=，46 S=，则7S=(D)A.7 B.9 C.11 D.14 解:法一:由11 a=，46 S=，得4(4 1)4
3、 1 62d-+=，解得13d=，77(7 1)17 1 142 3S-=+=，故选D.法二:1 444()62a aS+=Q，又11 a=，42 a=，1 7 477()7 2142 2a a aS+=，故选D.4.已知sin21 cosaa=+，则 tana=(A)A.43-B.34-C.43 D.2 解:22sin cossin2 2tan 21 cos 22cos2a aa aaa=+Q，22 tan42tan31 tan2aaa=-，故选 A.5.已知 0 1 a b，则下列结论正确的是(B)A.a bb b B.b ba b C.a ba a D.a ab a 解:法一:0 1 a
4、 b Q，by x=，ay x=在(,)0+上单调递增，xy a=，xy b=在(,)0+上单调递减，故选B.法二:取14a=，12b=，则12aa=，12ba=，12bb=，412ab=，显然b ba b，故选 B.6.将函数 2cos(2)6y xp=+的图像向左平移6p个单位得到函数()f x，则函数()sinf xyx x=的图像大致为(D)第2 页 解:依题意得()2cos()2cos()2sin 2 2 26 6 2f x x x xp p p=+=+=-，则()2sin2 4cossin sinf x x xyx x x x x-=，x k p，kZ，显然该函数为奇函数，且当(0
5、,)2x 时，0 y)的右焦点 F，若存在平行于 x轴的直 线 l，与双曲线 E 相交于,A B两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为(B)A.2 3 1+B.3 1+C.3 D.2 3 解:如图，由对称性知 OA OB=，OAF D 为边长为 c 的等边三角形，3(,)2 2c c 在双曲线 E 上，2 22 2314 4c ca b-=，2 222 234c cc a a-=-，222341eee-=-，解得 3 1 e=+，故选B.10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算
6、D B C A x y O A F B x y O 2p p 1-p 2-2-p 1 2 D x y O 2p p 1-p 2-2-p 1 2 C B x y O 2p p 1-p 2-2-p 1 2 A x y O 2p p 1-p 2-1 2 2-p 否 是 c a b=+开始 输出 S 结束,a b b c=(1)i S cSi-+=5 i 1 i i=+1 i=0 a=1 b=0 S=第3 页珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字
7、为奇数的概率为(C)A.13 B.49 C.59 D.23 解:依题意得所拨数字可能为 610 601 511 160 151 115 106 61 16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选C.11.已知函数()ln f x x a x a=-+(R a)有两个零点，则 a的取值范围是(B)A.(e,+)B.2(e,)+C.2 3(e,e)D.2 2(e,2e)解:()1a x af xx x-=-=(0 x),当 0 a 时，()0 f x，()f x 在(0,+)上单调递增，不合题意，当 0 a 时，0 x a 时，()0 f x 时，()0 f x，()f x
8、在(0,)a 上单调递减，在(,)a+上单调递增，min()()2 ln f x f a a a a=-，依题意得 2 ln 0 a a a-，取1e x=，22x a=，则1x a，且1()(e)e 0 f x f=，2 22()()2 ln(2ln 1)f x f a a a a a a a a=-+=-+，令()2 ln 1 g a a a=-+，则2()1 0 g aa=-，()g a 在2(e,)+上单调递增，2 2()(e)e 3 0 g a g=-，2()0 f x，故 a的取值范围是2(e,)+，故选B.12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水
9、平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为1 2 3 4,l l l l，则(B)A.1 2 3 4l l l l B.1 2 3 4l l l l=C.1 2 3 4l l l l=D.1 2 3 4l l l l=解:正 n 边形的中心运动轨迹是由 n 段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2np，每段圆弧的半径 r为顶点到中心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22 l n r rnp=p，圆的中心运动轨迹长也为 2 r p，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足1 2 3 4r r r r=，1 2 3 4l l l l=，故选B.第卷（
10、非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共 20分.13.已知向量,a b 满足 1=a，2=b，()-a a b，则a 与 b 的夹角为 60.解:()-Qa a b，20-=a a b，1 1 2cos,0-=a b，1cos,2=a b，a与b的夹角为 60.14.设,x y满足约束条件2 2 02 2 0 x yx yy x+-+，则 3 2 z x y=-的最大值是23.解:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过2 2(,)3 3时
11、取得最大值，即max2 2 23 23 3 3z=-=yx 1 2 1112O 第4 页15.ABC D 中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，若2 2 2 8tana b cC+-=，则 ABC D 的面积为 2.解:由余弦定理知2 2 22 cos a b c ab C+-=，82 costanab CC=，sin 4 ab C=,1sin 22ABCS ab CD=.16.如图，在一个底面边长为 2,侧棱长为 10 的正四棱锥 P ABCD-中，大球1O 内切于 该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为224p.解:设O为正方形 ABCD的中
12、心，AB的中点为 M，连接,PM OM PO，则 1 OM=，2 210 1 3 PM PA AM=-=-=，9 1 2 2 PO=-=，如图，在截面 PMO中，设 N 为球1O 与平面 PAB 的切点，则 N 在 PM 上，且1O N PM，设球1O 的半径 为 R，则1O N R=，1sin3OMMPOPM=Q，1113NOPO=，则13 PO R=，114 2 2 PO PO OO R=+=，22R=，设球1O 与球2O 相切于点Q，则 PQ=2 2 PO R R-=，设球2O 的半径为 r，同理可得 4 PQ r=，22 4Rr=，故小球2O 的 体积3 4 23 24V r=p=p.
13、三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列 na 满足11 a=，212a=，1 22n n na a a+=()求证:1 nna a+-为等比数列；()求 na 的通项公式 解:()由1 22n n na a a+=，得2 112()()n n nna a a a+-=-，即+2 1+11()2n n n na a a a+-=-2分 又2 112a a-=-，+2 1+112n nn na aa a+-=-4分 1 nna a+-是以12-为首项，12-为公比的等比数列5分()由()知1+11 1 1()()()2 2 2
14、n nn na a-=-=-6分 111()2nn na a-=-,21 21()2nn na a-=-，2 11()2a a-=-(2 n)，累加得2 2 111 1()1 1 1 1 1 2 12 2()()()()()1 2 2 2 2 3 3 21()2nn n nna a-=-+-+-+-=-L 9分 又11 a=，1 2 1 2 2 11()()3 3 2 3 3 2n nna=-=-(2 n)11分 又11 a=也符合上式，2 2 1()3 3 2nna=-12分 18.(本小题满分12分)BMI指数（身体质量指数，英文为 Body Mass Index，简称 BMI）是衡量人体
15、胖瘦程度的一个标准，BMI=体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当 BMI 28 时为肥胖.某地区随机调查了1200名 35岁以上成人的身体健康状况，其中有 200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：2O O 1O 2O P M Q N 1O P C B A D 第5 页()求被调查者中肥胖人群的 BMI平均值m；()填写下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=+，n a b c d=+.解:()根据频率分布直方图，200名高血压患者中，BMI值在
16、28,30)的人数为 0.1 2 200 40=，在30,32)的人数为 0.05 2 200 20=，在32,34)的人数为 0.025 2 200 10=2分 1000 名非高血压患者中，BMI 值在 28,30)的人数为 0.08 2 1000 160=，在 30,32)的人数为0.03 2 1000 60=，在32,34)的人数为 0.005 2 1000 10=4分 被调查者中肥胖人群的 BMI平均值(40 160)29(20 60)31(10 10)3329.840 20 10 160 60 10m+=+6分()由()知，200名高血压患者中，有 40 20 10 70+=人肥胖，
17、200 70 130-=人不肥胖7分 1000名非高血压患者中，有160 60 10 230+=人肥胖，1000 230 770-=人不肥胖8分 9分 221200(70 770 230 130)12.8 10.828200 1000 900 300K-=11分 有 99.9%的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关12分 19.(本小题满分12分)如图所示的几何体1 1 1ABC A B C-中，四边形1 1ABB A 是正方形，四边形1 1BCC B 是梯形，1 1/B C BC，且1 112B C BC=，AB AC=，平面1 1ABB A 平面 ABC.()求证：平面1 1ACC 平
18、面1 1BCC B；()若 2 AB=，90 BAC=，求几何体1 1 1ABC A B C-的体积.解:()取 BC的中点 E，连接1,AE C E，AB AC=Q，AE BC 1分 1 1ABB A Q 是正方形，1BB AB，又平面1 1ABB A 平面 ABC，1BB 平面 ABC，又 AE Q 平面 ABC，1AE BB 2分 又1,BB BC Q 平面1 1BCC B，1BB BC B=I，AE 平面1 1BCC B 3分 2()P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 肥胖 不肥胖 合计 高血压 非高血压 合计 肥胖 不肥胖 合计
19、高血压 70 130 200 非高血压 230 770 1000 合计 300 900 1200 BMI 频率组距 18 20 22 24 26 28 30 32 340.0250.0500.100高血压 BMI 频率组距 18 20 22 24 26 28 30 32 340.0050.0300.080非高血压 A B C 1A 1B 1C 第6 页1 1/B C BE Q，四边形1 1BB C E为平行四边形，1 1 1/C E B B A A，四边形1 1AA C E为平行四边形 4分 1 1/AE A C，1 1A C 平面1 1BCC B 5分 又1 1AC 平面1 1ACC，平面1
20、 1ACC 平面1 1BCC B 6分()由()知所求几何体为四棱锥1 1C AAC E-和直三棱柱1 1 1ABE A B C-的 组合体7分 CE AE Q，1CE AA，1,AA AE平面1 1AA C E，CE 平面1 1AA C E，四棱锥1 1C AA C E-的体积1 1 1 1 11 1 1 42 2 23 3 3 3AA C E C AA C EV S CE AA AE CE-=矩形9分 直三棱柱1 1 1ABE A B C-的体积1 1 1 1 11 12 2 2 22 2ABE A B C ABEV S AA BE AE AA-=11分 所求几何体1 1 1ABC A B
21、 C-的体积1 1 1 1 14 1023 3C AA C E ABE A B CV V V-=+=+=12分 20.(本小题满分12分)过点(1,0)A 的动直线l与 y 轴交于点(0,)T t，过点T 且垂直于l的直线 l与直线 2 y t=相交于点 M()求 M 的轨迹方程；()设 M 位于第一象限，以 AM 为直径的圆 O与 y 轴相交于点 N，且 30 NMA=，求 AM 的值 解:()(,)1 0 A Q，(0,)T t，当 0 t=时，M 的坐标为(,)0 0 1分 当 0 t 时，01 0ltk t-=-，1 1llkk t=-=，l 的方程为1y x tt=+2 分 由 2
22、y t=得2x t=，2(,2)M t t 3分 验证当 0 t=时，也满足2(,2)M t t 4 分 M 的坐标满足方程24 y x=，即 M 的轨迹方程为24 y x=5分()法一:设0 0(,)M x y(0 0,0 x y)，则20 04 y x=，0 01(,)2 2x yO+，圆 O的方程为0 0(1)()(0)()0 x x x y y y-+-=6分 令 0 x=得20 00 y y y x-+=，即22 0004yy y y-+=，02yy=，即0(0,)2yN，O N x/轴8分 30 NMA=Q，60 NO A=Q，3AMk=，直线 AM 的方程为 3(1)y x=-1
23、0分 联立23(1)4y xy x=-=，消去 y 整理得23 10 3 0 x x-+=，解得 3 x=或13x=(舍)，即03 x=11分 A Q 为抛物线24 y x=的焦点，01 4 AM x=+=12分 法二:作1O O y 轴于1O，1MM y 轴于1M，则1 11()2O O MM OA=+6分 又 A为抛物线24 y x=的焦点，112O O MA=，故圆 O与 y 轴相切于点 N 8分 30 NMA=Q，60 NO A=Q，3AMk=，直线 AM 的方程为 3(1)y x=-10分 联立23(1)4y xy x=-=，消去 y 整理得23 10 3 0 x x-+=，解得 3
24、 x=或13x=(舍)，即03 x=11分 x y A M ONO 1MA BC1A1B1CE第7 页A Q 为抛物线24 y x=的焦点，01 4 AM x=+=12分 21.(本小题满分12分)已知函数()(1)ln f x x x=-.()求()f x 的单调性；()若不等式 e()ex xf x x a+在(0,)+上恒成立，求实数 a的取值范围 解:()法一：由()(1)ln f x x x=-，知1()ln 1 f x xx=+-1分 当 0 1 x 时，1ln 0,1 0 xx-，1ln 1 0 xx+-，此时()0 f x 时，1ln 0,1 0 xx-，1ln 1 0 xx+
25、-，此时()0 f x 4分()f x 在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增5分 法二：由()(1)ln f x x x=-，知1()ln 1 f x xx=+-1分 令1()()ln 1 h x f x xx=+-(0 x)，则2 21 1 1()0 xh xx x x+=+=，()h x 在(0,)+上单调递增3分 1()ln1 1 0 11h=+-=Q，当(,)0 1 x 时，()0 h x 4分()f x 在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增5分()不等式 e()ex xf x x a+等价于()exxa f x-7 分 令()exxg x=，则1()exx
26、g x-=，当 0 1 x，当 1 x 时，()0 g x，()exxg x=在(,)0 1 上单调递增，在(1,)+上单调递减9 分 又()f x Q 在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增，()exxy f x=-在(,)0 1 上单调递减，在(1,)+上单调递增，即()exxy f x=-在 1 x=处取得最小值1e-11分 1ea-，故实数 a的取值范围是1(,e-12分 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修44：坐标系与参数方程(本小题满分 10分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 E 的参数方程为1 2cos2sinxyjj=+
27、=(j 为参数)，以 O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线1l,2l 的极坐标方程分别为0q q=，02q qp=+(0(0,)q p)，1l 交曲线 E 于点,A B，2l 交曲线 E 于点,C D.()求曲线 E 的普通方程及极坐标方程；()求2 2BC AD+的值.解:()由 E 的参数方程1 2cos2sinxyjj=+=(j 为参数)，知曲线 E 是以(1,0)为圆心，半径为 2的圆，曲线 E 的普通方程为2 2(1)4 x y-+=2分 令 cos x r q=，sin y r q=得2 2 2(cos 1)cos 4 r q r q-+=，即曲线 E 极坐标方程为22
28、 cos 3 0 r r q-=4 分 第 8 页()依题意得1l 2l，根据勾股定理，2 2 2BC OB OC=+，2 2 2AD OA OD=+5 分 将0q q=，02q qp=+代入22 cos 3 0 r r q-=中，得202 cos 3 0 r r q-=，202 sin 3 0 r r q+-=7分 设点,A B C D所对应的极径分别为1 2 3 4,r r r r，则0 1 22cos r r q+=，1 23 r r=-，0 3 42sin r r q+=-，1 23 r r=-8分 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2 1 2 3 4 3
29、 4()2()2 BC AD OA OB OC ODr r r r r r r r r r r r+=+=+=+-+-2 20 04cos 6 4sin 6 16 q q=+=10分 23.选修45：不等式选讲(本小题满分 10分）已知函数1 2()2 1x xf xx+-=-的最大值为 m()求 m 的值；()若,a b c为正数，且 a b c m+=，求证:1bc ac aba b c+.解:()()f x 的定义域为1 R|2x x，1 2(1)(2)2 1 x x x x x+-+-=-Q，当且仅当(1)(2)012x xx+-，即112x-或122x 时取等号3 分 2 1()12 1xf xx-=-，1 m=5分()由()知 1 a b c+=6分 2 2bc ac bc acca b a b+=Q，2 2bc ab bc abba c a c+=，2 2ac ab ac abab c b c+=8分 相加得 2()2()bc ac aba b ca b c+，当且仅当13a b c=时取等号9分 1bc ac aba b c+10分 命题人：审稿人：
