2017版高考数学一轮总复习 第10章 概率与统计 文（课件+习题）（打包12套）新人教A版.zip

1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 概率与统计 第一节 随机事件及其概率 AB 卷 文 新人教 A 版1.(2013·新课标全国Ⅰ，3)从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )A. B.12 13C. D.14 16解析 4 个取 2 个有 6 种方法，差为 2 的只有 1 和 3，2 和 4.故 P＝ ＝ .26 13答案 B2.(2016·新课标全国Ⅱ，18)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数 0 1 2 3 4 ≥5频数 60 50 30 30 20 10(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 ＝0.55，故 P(A)的估计值为 0.55.60＋ 50200(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 ＝0.3，30＋ 30200故 P(B)的估计值为 0.3.2(3)由所给数据得保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05调查的 200 名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋ a×0.25＋1.25 a×0.15＋1.5 a×0.15＋1.75 a×0.10＋2 a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.1.(2015·广东，7)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品.现从这 5 件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为( )A.0.4 B.0.6C.0.8 D.1解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a， b，有 3 件合格品，记为 c， d， e，从这 5 件产品中任取 2 件，结果有( a， b)，( a， c)，( a， d)，( a， e)，( b， c)，( b， d)，( b， e)，(c， d)，( c， e)，( d， e)共 10 种.恰有一件次品的结果有 6 种，则其概率为 p＝ ＝0.6.610答案 B2.(2015·江苏，5)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________.解析 这两只球颜色相同的概率为 ，故两只球颜色不同的概率为 1－ ＝ .16 16 56答案 563.(2015·湖南，16)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1， A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1， a2和 2 个白球 b1、 b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为3正确吗？请说明理由.解 (1)所有可能结果为：( A1， a1)，( A1， a2)，( A1， b1)，( A1， b2)，( A2， a1)，( A2， a2)，(A2， b1)，( A2， b2)；( B， a1)，( B， a2)，( B， b1)，( B， b2)共计 12 种结果.(2)不正确，理由如下：设“中奖”为事件 A，则 P(A)＝ ＝ ，412 13P( )＝1－ ＝ ， P(A)＜ P( )，故此种说法不正确.A－ 13 23 A－ 4.(2015·陕西，19)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.解 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 P＝ ＝ .2630 1315(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3 日等)，这样，在 4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 ，78以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 .7845.(2015·北京，17)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买， “×”表示未购买.商品顾客人数 甲 乙 丙 丁100 √ × √ √217 × √ × √200 √ √ √ ×300 √ × √ ×85 √ × × ×98 × √ × ×(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 ＝0.2.2001 000(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 ＝0.3.100＋ 2001 000(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 ＝0.2，2001 000顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ＝0.6，100＋ 200＋ 3001 000顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ＝0.1.1001 000所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.6.(2015·四川，17)一辆小客车有 5 个座位，其座位号为 1，2，3，4，5，乘客P1， P2， P3， P4， P5的座位号分别为 1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先5后上车，乘客 P1因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位.(1)若乘客 P1坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法.下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号(2)若乘客 P1坐在了 2 号座位，其他的乘客按规则就坐，求乘客 P5坐到 5 号座位的概率.解 (1)余下两种坐法如下表所示：乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1(2)若乘客 P1坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客 P1 P2 P3 P4 P52 1 3 4 52 3 1 4 5座位号2 3 4 1 562 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 12 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种，设“乘客 P5坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中的基本事件的个数为 4，所以 P(A)＝ ＝ .48 127.(2014·陕西，19)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率.解 (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ， B 表示事件“赔付金额为 4 000 元” ，以频率估计概率得 P(A)＝ ＝0.15， P(B)＝ ＝0.12.1501 000 1201 000由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)＋ P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为＝0.24，由频率估计概率得 P(C)＝0.24. 241001【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 概率与统计 第一节 随机事件及其概率模拟创新题 文 新人教 A 版一、选择题1.(2016·云南统一检测)在 2，0，1，5 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字 2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A. B.34 58C. D.12 14解析 分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4 种取法，符合题意的取法有 2 种，故所求概率 P＝ .12答案 C2.(2016·广东惠州 4 月模拟)语文、数学、英语共三本课本放成一摞，语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是( )A. B.16 13C. D.12 23解析 三本书放一摞的所有可能为(语，数，英)(语，英，数)，(数，语，英)，(数，英，语)，(英，语，数)，(英，数，语)共 6 种放法，其中有 4 种情况符合条件，故所求概率p＝ ＝ .46 23答案 D3.(2015·长春第一次调研)下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若 A， B 为两个事件，则 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)；③若事件 A， B， C 两两互斥，则 P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝1；④若事件 A， B 满足 P(A)＋ P(B)＝1，则 A， B 是对立事件.其中错误命题的个数是( )A.0 B.1C.2 D.3解析 ①正确；②公式成立的条件是 A， B 互斥，故错误；③ A∪ B∪ C 不一定为全部事件，2故错误；④ A， B 不一定为互斥事件，故错误.答案 D4.(2015·湖南岳阳质检)用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本，则个体 m 被抽到的概率为( )A. B.1100 120C. D.199 150解析 总体含有 100 个个体，则每个个体被抽到的概率为 ，所以以简单随机抽样的方1100法从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ×5＝ .1100 120答案 B二、填空题5.(2015·珠海一模)现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动，则甲被选中的概率为________.解析 从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动，有甲、乙；甲、丙；乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为 .23答案 236.(2014·大连检测)现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，取出的是理科书的概率为________.解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A， B， C， D， E，则A， B， C， D， E 彼此互斥，取到理科书的概率为事件 B， D， E 概率的和.∴ P(B∪ D∪ E)＝ P(B)＋ P(D)＋ P(E)＝ ＋ ＋ ＝ .15 15 15 35答案 35创新导向题对立事件概率求解问题7.在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，以 为概率的事件是( )710A.都不是一等品 B.恰有 1 件一等品C.至少有 1 件一等品 D.至多有 1 件一等品3解析 从 5 件产品中任取 2 件有 10 种取法，设 3 件一等品为 1，2，3，2 件二等品为4，5.这 10 种取法是(1，2)(1，3)(2，3)(1，4)(1，5)(2，4)(2，5)(3，4)(3，5)(4，5)，其中 2 件均为一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共 3 种.∴至多有 1 件一等品的概率 P＝1－ ＝ .310 710答案 D分层抽样中的概率问题8.从一批苹果中随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]频数 5 10 20 15用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100]内的苹果中共抽取 4 个，再从 抽 取 的4 个 苹 果 中 任 取 2 个 ， 则 有 1 个 苹 果 的 重 量 在 [80， 85)内 的 概 率 为 ( )A. B.12 13C. D.14 16解析 设从重量在[80，85)内的苹果中抽取 x 个，则从重量在[95，100]内的苹果中抽取(4－ x)个，因为频数分布表中[80，85)，[95，100]两组的频数分别为 5，15，所以5∶15＝ x∶(4－ x)，解得 x＝1，即抽取的 4 个苹果中重量在[80，85)内的有 1 个，记为 a，重量在[95，100]内的有 3 个，记为 b1， b2， b3，任取 2 个有ab1， ab2， ab3， b1b2， b1b3， b2b3，共 6 种不同的方法，其中有 1 个苹果的重量在[80，85)内的事件有 ab1， ab2， ab2，共 3 个，所以所求概率为 ＝ .36 12答案 A专项提升测试模拟精选题一、选择题9.(2015·湖南十二校联考)甲袋中装有 3 个白球 5 个黑球，乙袋中装有 4 个白球 6 个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放4回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为( )A. B.3544 2544C. D.3744 544解析 若先从甲袋中取出的是白球，则满足题意的概率为 P1＝ × ＝ ；若先从甲袋38 511 1588中取出的是黑球，则满足题意的概率为 P2＝ ，易知这两种情况不可能同时发生，故所58求概率为 P＝ P1＋ P2＝ ＋ ＝ .1588 58 3544答案 A二、填空题10.(2015·临沂模拟)一只袋子中有 7 个红球，3 个绿球，从中无放回地任意抽取两次，每次取一个，至少取到一个红球的概率为____________.解析 至少取到一个红球的对立事件是取到的两个都是绿球，其概率为 P1＝ × ＝ ，310 29 115故至少取到一个红球的概率 P＝1－ P1＝ .1415答案 141511.(2016·广东六校联考)盒子里共有大小相同的 3 个白球，1 个黑球.若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是________.解析 设 3 个白球为 A， B， C，1 个黑球为 d，则从中随机摸出两只球的所有可能情况有：AB， AC， Ad， BC， Bd， Cd，共 6 种，其中两只球颜色不同的有 3 种，故所求概率为 .12答案 1212.(2014·开封模拟)已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别是 0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析 断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率 P2＝1－ P1＝1－0.97＝0.03.答案 0.97 0.03三、解答题513.(2015·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型 A B AB O该血型的人所占比/% 28 29 8 35已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解 (1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 型血的事件分别记为A′， B′， C′， D′，它们是互斥的.由已知，有 P(A′)＝0.28， P(B′)＝0.29， P(C′)＝0.08， P(D′)＝0.35.因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′＋ D′.根据互斥事件的加法公式，有 P(B′＋ D′)＝ P(B′)＋ P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一 由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“不能输给 B 型血的人”为事件A′＋ C′，且 P(A′＋ C′)＝ P(A′)＋ P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的 人 ”是对 立 事 件 ， 故 由 对 立 事 件 的 概 率 公 式 ， 有 1－ P(B′ ＋ D′ )＝ 1－ 0.64＝ 0.36.答 ： 任 找 一 人 ， 其 血 可 以 输 给 小 明 的 概 为 0.64， 其 血 不 能 输 给 小 明 的 概 率 为 0.36.创新导向题随机事件的有放回抽取及分类讨论问题14.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为 1，2，3，4，5 的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号为 3，则获得奖金 100 元；若抽取小球的编号为偶数，则获得奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖，现某顾客有放回的抽奖两次.(1)求该顾客两次抽奖后都没中奖的概率；(2)求该顾客两次抽奖后奖得奖金之和为 100 元的概率.解 (1)该顾客有放回的抽奖两次结果的所有情况有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，6(5，5)共 25 种.两次都没中奖的情况有(1，1)，(1，5)，(5，1)，(5，5)共 4 种，其概率 p＝ .425(2)两次抽奖奖金之和为 100 元的情况有：①第一次获奖 100 元，第二次没有中奖，其结果有(3，1)，(3，5)，故概率 p1＝ ；225②两次均获 50 元，其结果有(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)，故概率 p2＝ .425③第一次没有中奖，第二次获奖 100 元，其结果有(1，3)，(5，3)，故概率 p3＝ .225∴所求概率 p＝ p1＋ p2＋ p3＝ .825第一 节 随机事件及其概率知 识 点一 频 率和概率1.在相同的条件 S下重复 n次 试验 ， 观 察某一事件 A是否出 现，称 n次 试验 中事件 A出 现 的次数 nA为 事件 A出 现 的 频 数，称事件 A出 现 的比例 fn(A)＝ 为 事件 A出 现 的 频 率 .2.对 于 给 定的随机事件 A，如果随着 试验 次数的增加，事件 A发 生的 fn(A)稳 定在某个 上，把 这 个 记 作P(A)，称 为 事件 A的概率， 简 称 为 A的概率 .频 率 常数 常数(1)[三个性 质 ： ① 概率的取 值 范 围 ： [0， 1]； ② 必然事件的概率为 1； ③ 不可能事件的概率 为 0]口袋内装有一些大小相同的 红 球、白球和黑球，从中摸出 1个球，摸出 红 球的概率 为 0.42，摸出白球的概率 为 0.28，若 红 球有 21个， 则 黑球有 ________个 .解析 摸出黑球的概率为 1－ 0.42－ 0.28＝ 0.30， 口袋内球的个数为 21÷0.42＝ 50， 所以黑球的个数为 50× 0.30＝ 15.答案 15知 识 点 二 事件的关系与运算定 义 符号表示包含关系如果事件 A发 生， 则 事件 B一定 发 生，这时 称事件 B包含事件 A(或称事件 A包含于事件 B)B⊇ A(或A⊆ B)相等关系若 B⊇ A且 A⊇ B，那么称事件 A与事件B A＝ B并事件(和事件 )若某事件 发 生当且 仅 当事件 A发 生或事件 B发 生， 则 称此事件 为 事件 A与事件 B的 (或和事件 )A∪ B(或 A＋B)相等并事件交事件(积 事件 )若某事件 发 生当且 仅 当事件 A发 生且事件 B发 生， 则 称此事件 为 事件A与事件 B的 (或 积 事件 )A∩ B(或 AB)互斥事件若 A∩ B为 不可能事件，那么称事件 A与事件 B A∩ B＝ ∅对 立事件若 A∩ B为 不可能事件， A∪ B为 必然事件，那么称事件 A与事件 B互为事件A∩ B＝ ∅，P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1交事件互斥对 立(2)[两种方法：求复 杂 的互斥事件的概率一般有两种方法：① 直接法：将所求事件的概率分解 为 一些彼此互斥的事件的概率的和 ， 运用互斥事件的求和公式 计 算； ② 间 接法：先求此事件的 对 立事件的概率 ， 再用公式 P(A)＝ 1－ P()， 即运用逆向思 维 (正 难则 反 )， 特 别 是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型 题 目 ，用 间 接法就 显 得比 较简 便 ]从一箱 产 品中随机地抽取一件，设 事件 A＝ {抽到一等品 }，事件 B＝ {抽到二等品 }，事件 C＝ {抽到三等品 }，且已知 P(A)＝ 0.65， P(B)＝ 0.2， P(C)＝ 0.1，则 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率 为 ________.解析 事件 “ 抽到的不是一等品 ” 与事件 A是对立事件 ， 由于 P(A)＝ 0.65， 所以由对立事件的概率公式得 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率为 P＝ 1－ P(A)＝ 1－ 0.65＝ 0.35.答案 0.35►一个易 错 点：互斥事件与 对 立事件混淆致 误 .(3)[如果事件 A与事件 B互斥 ， 则 P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)；且P(A∩ B)＝ 0， 如果事件 A与事件 B对 立 ， 则 P(A)＝ 1－ P(B)]抛掷 一粒骰子， 观 察 掷 出的点数， 设 事件 A为 出 现 奇数点，事件 B为 出 现 2点，已知 P(A)＝， P(B)＝， 则 出 现 奇数点或 2点的概率 为 ________.互斥事件的概率突破方法判断两事件是否互斥，是运用互斥事件概率公式的前提， 实际问题 中 经 常涉及是否 为 互斥事件的判断 .判断要在充分理解事件自身含 义 的基 础 上，运用研究集合关系的方法来 进 行 .【例 1】 一个盒子中有 10个完全相同的球，分 别标 以号 码 1， 2， … ， 10，从中任取一球，求下列事件的概率 .(1)A＝ {球的 标 号数不大于 3}；(2)B＝ {球的 标 号数是 3的倍数 }；(3)C＝ {球的 标 号数 为质 数 }.[点 评 ] 解决本 题 的关 键 是判断出事件 为 互斥事件 ， 再用互斥事件概率公式求解 .对 立事件的概率(1)解决此 类问题 ，首先 应结 合互斥事件和 对 立事件的定 义分析出是不是互斥事件和 对 立事件，再决定使用哪一公式，不要乱套公式而 导 致出 错 .(2)要注意分 类讨论 和等价 转 化数学思想的运用 .(3)在解决至多、至少的有关 问题时 ，通常考 虑 利用 对 立事件的概率公式 .(1)解决此 类问题 ，首先 应结 合互斥事件和 对 立事件的定 义分析出是不是互斥事件和 对 立事件，再决定使用哪一公式，不要乱套公式而 导 致出 错 .(2)要注意分 类讨论 和等价 转 化数学思想的运用 .(3)在解决至多、至少的有关 问题时 ，通常考 虑 利用 对 立事件的概率公式 .对 立事件的概率【例 2】 (2016·山西太原五中 4月 检测 )某商区停 车场临时 停车 按 时 段收 费 ，收 费标 准 为 ：每 辆 汽 车 一次停 车 不超 过 1小 时 收 费 6元，超 过 1小 时 的部分每小 时 收 费 8元 (不足 1小时 的部分按 1小 时计 算 )， 现 有甲、乙二人在 该 商区 临时 停车 ，两人停 车 都不超 过 4小 时 .[点 评 ] 利用 “正 难则 反 ” 的原 则 ， 灵活利用 对 立事件概率解决复 杂 事件概率的求解 ， 尤其含有 “ 至多 ”“ 至少 ” 等 词语的概率 问题 .￿ 随机事件的概率 问题【示例】 近年来，某市 为 了促 进 生活垃圾的分 类处 理，将生活垃圾分 为 厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三 类 ，并分别设 置了相 应 的垃圾箱 .为调查 居民生活垃圾分 类 投放情况， 现 随机抽取了 该 市三 类 垃圾箱中 总计 1 000吨生活垃圾，数据 统计 如下 (单 位：吨 )[方法点 评 ] 概率 统计综 合 题 一般是先 给 出 样 本数据或 样 本数据的分布等 ， 在解 题 中首先要 处 理好数据 ， 如数据的个数、数据的分布 规 律等 ， 即把数据分析清楚 ， 然后再根据 题 目的要求 进 行相关的 计 算 .1【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 概率与统计 第三节 随机抽样、用样本估计总体模拟创新题 文 新人教 A 版一、选择题1.(2016·晋冀豫三省一调)某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行调查，若抽到编号之和为 48，则抽到的最小编号为( )A.2 B.3C.4 D.5解析 系统抽样间隔为 ＝6，设抽取最小编号为 x，则 x＋( x＋6)＋( x＋12)＋( x＋18)244＝4 x＋36＝48，得 x＝3.答案 B2.(2015·江西南昌模拟)某中学为了检验 1 000 名在校高三学生对函数模块掌握的情况，进行了一次测试，并把成绩进行统计，得到的样本频率分布直方图如图所示，则考试成绩的众数大约为( )A.55 B.65C.75 D.85解析 由直方图可得众数大约为 ＝75，故选 C.70＋ 802答案 C3.(2016·湖南湘西第二次质量检测)某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 982克并且小于 104 克的产品的个数是( )A.90 B.75C.60 D.45解析 由频率分布直方图可知，产品净重小于 100 克的概率是 0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为 ＝120，产品净重大于或等于 104 克的概率为360.30.075×2＝0.15，∴产品净重大于或等于 98 克而小于 104 克的概率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为 120×0.75＝90.故选 A.答案 A4.(2015·河南豫东、豫北十所名校阶段检测)在某次测量中得到的 A 样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据，则 A， B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.平均数 B.标准差C.众数 D.中位数解析 利用平均数、标准差、众数、中位数等统计特征数的概念求解.由 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与 A 样本不相同，标准差不变，故选 B.答案 B二、填空题5.(2015·合肥二模)五一期间，某淘宝店趁势推出了“抢红包”的促销活动.已知每人有 5 次抢红包的机会，每次可得到 1 元至 30 元不等的红包.甲、 乙二人在这 5 次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示.若甲 5 次获得的红包金额的均值为 x1，乙 5 次获得的红包金额的均值为 x2，则 x1－ x2＝________.解析 由茎叶图可知，甲获得的红包金额分别为 1，2，12，20，30，乙获得的红包金额分别为 1，2，5，10，30，所以甲获得的红包金额的均值 x1＝ ＝13，1＋ 2＋ 12＋ 20＋ 305乙获得的红包金额的均值 x2＝ ＝9.6，所以 x1－ x2＝13－9.6＝3.4.1＋ 2＋ 5＋ 10＋ 305答案 3.46.(2014·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共 1 000 人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的 4 个分数段进行3分层抽样，抽取 50 人了解情况，则 80～90 分数段应抽取________人.解析 各分数段人数的比例为 0.01∶0.03∶0.04∶0.02＝1∶3∶4∶2，故抽取 50 人，80～90 分数段应抽取 ×50＝20(人).41＋ 2＋ 3＋ 4答案 20创新导向题系统抽样问题7.某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名做视力检查，现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，已知从 33～48 这 16 个数中抽到的数是 39，则在第一小组 1～16 中抽到的数是( )A.5 B.7C.11 D.13解析 在第一小组 1～16 中随机抽到的数为 39－32＝7.答案 B频率分布直方图问题8.某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104)，[104，108)，[108，112)，[112，116)，[116，120)，[120，124)，[124，128)，绘制出频率分布直方图如图所示.已知分数低于 112 分的人有 18 人，则分数不低于 120 分的人数为( )A.40 B.20C.10 D.6解析 分数低于 112 分的人对应的频率/组距为 0.09，分数不低于 120 分的人数对应的频率/组距为 0.05，故其人数为 ×0.05＝10 人.180.09答案 C专项提升测试4模拟精选题一、选择题9.(2016·河北衡水一模)某书法社团有男生 30 名，女生 20 名，从中抽取一个 5 人的样本，恰好抽到了 2 名男生和 3 名女生，①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为( )A.①②③ B.②③C.③④ D.①④解析 无论何种抽样，各个体被抽到的概率相同，由相关抽样类型特征知②，③正确.答案 B二、填空题10.(2016·安徽安庆二模)某学校高二年级共有女生 300 人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于 30 分钟到 90 分钟之间，下图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是________分钟.解析 平均数为 35×0.1＋45×0.1＋55×0.5＋65×0.2＋75×0.05＋85×0.05＝56.5.答案 56.511.(2015·石家庄二中模拟)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示，则 7 个剩余分数的方差为________.解析 由茎叶图知 (87＋94＋90＋91＋90＋90＋ x＋91)＝91，解得 x＝4，所以 7 个剩余17分数的方差为 [(91－87) 2＋(91－94) 2＋(91－90) 2＋(91－91) 2＋(91－90) 2＋(91－94)1752＋(91－91) 2]＝ .367答案 367三、解答题12.(2015·四川成都模拟)随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm的同学被抽中的概率.答案 解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 cm～179 cm 之间，而乙班身高集中于 170 cm～179 cm 之间.因此乙班平均身高高于甲班.(2)甲班的平均身高为＝x－ 158＋ 162＋ 163＋ 168＋ 168＋ 170＋ 171＋ 179＋ 179＋ 18210＝170(cm).甲班的样本方差为 s2＝ [(158－170) 2＋(162－170) 2＋(163－170) 2＋(168－170)1102＋(168－170) 2＋(170－170) 2＋(171－170) 2＋(179－170) 2＋(179－170) 2＋(182－170) 2]＝57.2(cm 2).(3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A.从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181，173)、(181，176)、(181，178)、(181，179)、(179，173)、(179，176)、(179，178)、(178，173)、(178，176)、(176，173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件，∴ P(A)＝ ＝410.25创新导向题分层抽样与概率综合问题613.随着“全面二孩”政策推行，我市将迎来生育高峰，今年新春伊始，宜城各医院产科就已经是一片忙碌，至今热度不减.卫生部门进行调查统计，期间发现各医院的新生儿中，不少都是“二孩” ；在市第一医院，共有 40 个猴宝宝降生，其中 20 个是“二孩”宝宝；市妇幼保健院共有 30 个猴宝宝降生，其中 10 个是“二孩”宝宝.(1)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 7 个宝宝做健康咨询.①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个？②若从 7 个宝宝中抽取两个宝宝进行体检，求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩的概率” ；(2)根据以上数据，能否有 85%的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关？P(K2≥ k0) 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.708 1.323 2.072 2.706K2＝n（ ad－ bc） 2（ a＋ b） （ c＋ d） （ a＋ c） （ b＋ d）解 (1)①由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有 7× ＝4 个，其中一孩宝宝有 2 个.47②在抽取 7 个宝宝中，市一院出生的一孩宝宝 2 人，分别记为 A1， B1，二孩宝宝 2 人，分别记为 a1， b1，妇幼保健院出生的一孩宝宝 2 人，分别记为 A2， B2，二孩宝宝 1 人，记为 a2，从 7 人中抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω ＝{( A1， B1)，(A1， a1)，( A1， b1)，( A1， A2)，( A1， B2)，( A1， a2)，( B1， a1)，( B1， b1)，( B1， A2)，(B1， B2)，( B1， a2)，( a1， b1)，( a1， A2)，( a1， B2)，( a1， a2)，( b1， A2)，( b1， B2)，(b1， a2)，( A2， B2)，( A2， a2)，( B2， a2)}，用 A 表示：“两个宝宝恰出生不同医院且均属二孩” ，则 A＝{( a1， a2)，( b1， a2)}，∴ P(A)＝ .221(2)2×2 列联表一孩 二孩 合计第一医院 20 20 40妇幼保健院 20 10 30合计 40 30 707K2＝＝ 70×（ 20×10－ 20×20） 240×30×40×30≈1.9442.072.故没有 85%的把握 认为一孩、二孩宝宝的出生与医院有关.