2017届高考数学二轮复习 第1部分 专题二 函数与导数 文（课件+习题）（打包7套）.zip

类 型一类 型二 类 型三 限时速解训练 专题 二 函数与 导 数必考点一 函数概念与性质B答案： BC答案： CD 答案： DD 答案： D答案： 1C 答案： CD 答案： DC 答案： C答案： 31限时速解训练五 函数概念与性质(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A． y＝ x3 B． y＝| x|＋1C． y＝－ x2＋1 D． y＝2 －| x|解析：选 B.y＝ x3是奇函数， y＝－ x2＋1 和 y＝2 －| x|在(0，＋∞)上都是减函数，故选 B.2．若函数 y＝ f(2x＋1)是偶函数，则函数 y＝ f(x)的图象的对称轴方程是( )A． x＝1 B． x＝－1C． x＝2 D． x＝－2解析：选 A.∵ f(2x＋1)是偶函数，∴ f(2x＋1)＝ f(－2 x＋1)⇒ f(x)＝ f(2－ x)，∴ f(x)图象的对称轴为直线 x＝1.3．下列函数为奇函数的是( )A． y＝ B． y＝|sin x|xC． y＝cos x D． y＝e x－e － x解析：选 D.因为函数 y＝ 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数 y＝ 为非x x奇非偶函数，排除 A；因为 y＝|sin x|为偶函数，所以排除 B；因为 y＝cos x 为偶函数，所以排除 C；因为 y＝ f(x)＝e x－e － x， f(－ x)＝e － x－e x＝－(e x－e － x)＝－ f(x)，所以函数y＝e x－e － x为奇函数，故选 D.4．已知函数 f(x)＝Error!则 f(2 016)＝( )A．2 014 B.4 0292C．2 015 D.4 0352解析：选 D.利用函数解析式求解． f(2 016)＝ f(2 015)＋1＝…＝ f(0)＋2 016＝ f(－1)＋2 017＝2 －1 ＋2 017＝ ，故选 D.4 03525．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且满足 f(x＋2)＝－ f(x)，当 x∈(0,2)时， f(x)＝2 x2＋3，则 f(7)＝( )A．－5 B．5C．－101 D．101解析：选 A.f(x＋2)＝－ f(x)，令 x＝ x＋2，有 f(x＋4)＝－ f(x＋2)＝ f(x)，知函数的周期是 4；再令 x＝1，有 f(3)＝－ f(1)，而 f(1)＝5，故 f(7)＝ f(3)＝－ f(1)＝－5.6．已知 f(x)＝3 ax2＋ bx－5 a＋ b 是偶函数，且其定义域为[6 a－1， a]，则 a＋ b＝( )2A. B．－117C．1 D．7解析：选 A.∵ f(x)为偶函数，∴ b＝0.定义域为[6 a－1， a]则6a－1＋ a＝0，∴ a＝ ，∴ a＋ b＝ .17 177．若函数 f(x)＝ 是奇函数，则使 f(x)＞3 成立的 x 的取值范围为( )2x＋ 12x－ aA．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：选 C.f(－ x)＝ ＝ ，由 f(－ x)＝－ f(x)得 ＝－ ，即2－ x＋ 12－ x－ a 2x＋ 11－ a·2x 2x＋ 11－ a·2x 2x＋ 12x－ a1－ a·2x＝－2 x＋ a，化简得 a·(1＋2 x)＝1＋2 x，所以 a＝1， f(x)＝ .2x＋ 12x－ 1由 f(x)＞3 得 0＜ x＜1.故选 C.8．设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x∈(0,1)时， f(x)＝log (1－ x)，则12函数 f(x)在(1,2)上( )A．是增函数且 f(x)＜0B．是增函数且 f(x)＞0C．是减函数且 f(x)＜0D．是减函数且 f(x)＞0解析：选 D.设－1＜ x＜0，则 0＜－ x＜1， f(－ x)＝log (1＋ x)＝ f(x)＞0，故函数 f(x)在12(－1,0)上单调递减．又因为 f(x)以 2 为周期，所以函数 f(x)在(1,2)上也单调递减且有f(x)＞0.9．已知函数 f(x)＝ ，若 f(a)＝ ，则 f(－ a)＝( )x2＋ x＋ 1x2＋ 1 23A. B．－23 23C. D．－43 43解析：选 C.f(x)＝ ＝1＋ ，设 f(x)＝1＋ g(x)，即 g(x)＝ ＝ f(x)x2＋ x＋ 1x2＋ 1 xx2＋ 1 xx2＋ 1－1. g(x)为奇函数，满足 g(－ x)＝－ g(x)．由 f(a)＝ ，得 g(a)＝ f(a)－1＝－ ，则23 13g(－ a)＝ ，故 f(－ a)＝1＋ g(－ a)＝1＋ ＝ .13 13 43310．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)＝－1，且对任意 x∈R，有 f(x)＝－ f(2－ x)成立，则 f(2 017)的值为( )A．1 B．－1C．0 D．2解析：选 C.由题知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f(x)＝－ f(2－ x)，可知函数 f(x)为周期为 4 的周期函数．令 x＝1 得， f(1)＝－ f(2－1)＝－ f(1)，所以 f(1)＝0，所以 f(2 017)＝ f(4×504＋1)＝ f(1)＝0，故选 C.11．设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足条件 y＝ f(x＋1)是偶函数，且当 x≥1 时，f(x)＝ x－1，则 f ， f ， f 的大小关系是( )(12) (23) (32) (13)A． f ＞ f ＞ f(23) (32) (13)B． f ＞ f ＞ f(23) (13) (32)C． f ＞ f ＞ f(32) (23) (13)D． f ＞ f ＞ f(13) (32) (23)解析：选 A.函数 y＝ f(x＋1)是偶函数，所以 f(－ x＋1)＝ f(x＋1)，即函数关于 x＝1 对称．所以 f ＝ f ， f ＝ f ，(23) (43) (13) (53)当 x≥1 时， f(x)＝ x－1 单调递减，(12)所以由 ＜ ＜ ，可得43 32 53f ＞ f ＞ f ，(43) (32) (53)即 f ＞ f ＞ f ，故选 A.(23) (32) (13)12．已知偶函数 f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，则满足 f(2x－1)＜ f 的 x 的取值范(13)围是( )A. B.(13， 23) [13， 23)C. D.(12， 23) [12， 23)解析：选 A.由函数 f(x)为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数 f(x)在区间4[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式 f(2x－1)＜ f 转化为 f(|2x－1|)＜ f .根据单调(13) (13)性，知|2 x－1|＜ ，解得 ＜ x＜ ，故选 A.13 13 23二、填空题(把答案填在题中横线上)13．函数 y＝ ＋lg x 的定义域是________．2－ x解析：由Error!得 0＜ x≤2.因此，函数 y＝ ＋lg x 的定义域是(0,2]．2－ x答案：(0,2]14．已知函数 f(x)＝ 的图象的对称中心是(3，－1)，则实数 a 的值为________．a－ xx－ a－ 1解析：函数 f(x)＝ 的图象的对称中心是(3，－1)，将函数的表达式化为 f(x)＝a－ xx－ a－ 1＝－1＋ ，所以 a＋1＝3，所以 a＝2.a－ xx－ a－ 1 － 1x－ a－ 1答案：215．已知函数 f(x)＝Error!若 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为________．解析：要使函数 f(x)在 R 上单调递增，则有Error!即Error!解得 2＜ a≤3，即 a 的取值范围是(2,3]．答案：(2,3]16．关于函数，给出下列命题：①若函数 f(x)是 R 上周期为 3 的偶函数，且满足 f(1)＝1，则 f(2)－ f(－4)＝0；②若函数 f(x)满足 f(x＋1) f(x)＝2 017，则 f(x)是周期函数；③若函数 g(x)＝Error!是偶函数，则 f(x)＝ x＋1；④函数 y＝ 的定义域为 .log13|2x－ 3| (32， ＋ ∞ )其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①因为 f(x＋3)＝ f(x)且 f(－ x)＝ f(x)，所以 f(2)＝ f(－1＋3)＝ f(－1)＝ f(1)＝1， f(－4)＝ f(－1)＝ f(1)＝1，故 f(2)－ f(－4)＝0，①正确．②因为 f(x＋1) f(x)＝2 017，所以 f(x＋1)＝ ， f(x＋2)＝ ＝ f(x)．所以2 017f x 2 017f x＋ 1f(x)是周期为 2 的周期函数，②正确．③令 x＜0，则－ x＞0， g(－ x)＝－ x－1.又 g(x)为偶函数，所以 g(x)＝ g(－ x)＝－ x－1.即 f(x)＝－ x－1，③不正确．④要使函数有意义，需满足Error!即 0＜|2 x－3|≤1，5所以 1≤ x≤2 且 x≠ ，即函数的定义域为 ∪ ，④不正确．32 [1， 32) (32， 2]答案：①②类 型一类 型二 类 型三 限时速解训练 必考点二 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质 D 答案： DD 答案： DA 答案： AA 答案： AC 答案： CB 答案： BD 答案： DB 答案： BA 1限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知 a＝5 0.5， b＝0.5 5， c＝log 50.5，则下列关系中正确的是( )A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ cC． c＞ a＞ b D． c＞ b＞ a解析：选 A.因为 a＝5 0.5＞5 0＝1,0＜ b＝0.5 5＜0.5 0＝1，c＝log 50.5＜log 51＝0，所以 a＞ b＞ c.故选 A.2．函数 f(x)＝ln( x＋1)－ 的一个零点所在的区间是( )2xA．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选 B.因为 f(1)＝ln 2－2＜0， f(2)＝ln 3－1＞0，所以 f(x)在(1,2)上必存在零点．故选 B.3．函数 f(x)＝ln 的图象是( )(x－1x)解析：选 B.要使函数 f(x)＝ln 有意义，需满足 x－ ＞0，解得－1＜ x＜0 或 x＞1，(x－1x) 1x所以排除 A、D；当 x＞10 时， x－ 一定大于 1，ln 大于 0，故选 B.1x (x－ 1x)4．函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y＝e x关于 y 轴对称，则 f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1C．e － x＋1 D．e － x－1解析：选 D.依题意， f(x)的图象向右平移 1 个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y＝e － x，于是 f(x)的图象相当于曲线 y＝e － x向左平移 1 个单位长度的结果，∴ f(x)＝e － x－1 ，故选 D.5．函数 f(x)＝ ax＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为( )A. B.14 12C．2 D．4解析：选 B.f(x)＝ ax＋log a(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是 y＝ ax与 y＝log a(x＋1)的2单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为 f(0)＋ f(1)＝ a0＋log a1＋ a＋log a2＝ a，∴log a2＋1＝0，∴ a＝ .126．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝Error!则 f(2 019)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选 D.∵2 019＝6×337－3，∴ f(2 019)＝ f(－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选 D.7．设 ＜ b＜ a＜1，那么( )12 (12) (12)A． aa＜ ab＜ ba B． aa＜ ba＜ abC． ab＜ aa＜ ba D． ab＜ ba＜ aa解析：选 C.由于指数函数 y＝ x是减函数，由已知 ＜ b＜ a＜1，得 0＜ a＜ b＜1.当(12) 12 (12) (12)0＜ a＜1 时， y＝ ax为减函数，所以 ab＜ aa，排除 A、B；又因为幂函数 y＝ xa在第一象限内为增函数，所以 aa＜ ba，选 C.8．下列四个命题：①∃ x0∈(0 ，＋ ∞)， x0＜ x0；(12) (13)②∃ x0∈(0,1) ，③∀ x∈(0，＋∞)， x＞ x；(12)④∀ x∈ ， x＜ x.(0，13) (12)其中真命题是( )A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析：选 C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选 C.9．若 a＝2 x， b＝ ， c＝ x，则“ a＞ b＞ c”是“ x＞ 1”的( )xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选 B.如图，可知“ x＞1”⇒“ a＞ b＞ c”，但“ a＞ b＞ c”⇒ “x＞1” ，即“a＞ b＞ c”是“ x＞1”的必要不充分条件．故选 B.310．若不等式 4x2－log ax＜0 对任意 x∈ 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )(0，14)A. B.[1256， 1) (1256， 1)C. D.(0，1256) (0， 1256]解析：选 A.∵不等式 4x2－log ax＜0 对任意 x∈ 恒成立，∴ x∈ 时，函数(0，14) (0， 14)y＝4 x2的图象在函数 y＝log ax 的图象的下方．如图，∴0＜ a＜1.再根据它们的单调性可得4× 2≤log a ，即 logaa ≤log ，(14) 14 14∴ ≥ ，14∴ a≥ .综上可得 ≤ a＜1，故选 A.1256 125611．已知 x0是 f(x)＝ x＋ 的一个零点， x1∈(－∞， x0)， x2∈( x0,0)，则( )(12) 1xA． f(x1)＜0， f(x2)＜0B． f(x1)＞0， f(x2)＞0C． f(x1)＞0， f(x2)＜0D． f(x1)＜0， f(x2)＞0解析：选 C.在同一坐标系下作出函数 f(x)＝ x， f(x)＝－ 的图象(如图)，由图象可知当(12) 1xx∈(－∞， x0)时， x＞－ ；当 x∈( x0,0)时， x＜－ ，所以当 x1∈(－∞， x0)，(12) 1x (12) 1x4x2∈( x0,0)时，有 f(x1)＞0， f(x2)＜0，故选 C.12．设函数 f(x)＝ － ，[ x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 y＝[ f(x)]的值域是( )2x1＋ 2x 12A．{0,1} B．{－1,0}C．{－1,1} D．{1}解析：选 B.f(x)＝ － ＝ － ，∵2 x＞0，2x1＋ 2x 12 12 11＋ 2x∴1＋2 x＞1,0＜ ＜1，∴－1＜－ ＜0，11＋ 2x 11＋ 2x∴－ ＜ － ＜ ，即－ ＜ f(x)＜ ，12 12 11＋ 2x 12 12 12∵[ x]表示不超过 x 的最大整数，∴ y＝[ f(x)]的值域为{－1,0}，故选 B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数 f(x)＝lg x，若 f(ab)＝1，则 f(a2)＋ f(b2)＝________.解析：∵ f(x)＝lg x， f(ab)＝1，∴lg( ab)＝1，∴ f(a2)＋ f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg( ab)＝2.答案：214．若函数 f(x)＝2 |x－ a|(a∈R)满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，且 f(x)在[ m，＋∞)上单调递增，则实数 m 的最小值等于________．解析：由 f(1＋ x)＝ f(1－ x)可知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 a＝1.结合图象知函数 f(x)＝2 |x－1| 在[1，＋∞)上单调递增，故实数 m 的最小值为 1.答案：115．已知函数 f(x)＝ 则不等式 f(x)＞1 的解集为________．解析：若 x≤0，则不等式 f(x)＞1 可转化为 3x＋1 ＞1⇒ x＋1＞0⇒ x＞－1，∴－1＜ x≤0；若 x＞0，则不等式 f(x)＞1 可转化为 log x＞1⇒ x＜ ，∴0＜ x＜ .综上，不等式 f(x)＞113 13 13的解集为 (－ 1，13)答案： (－ 1，13)516．若直线 y＝2 a 与函数 y＝| ax－1|( a＞0 且 a≠1)的图象有两个公共点，则实数 a 的取值范围是________．解析：当 a＞1 时，作出函数 y＝| ax－1|的图象如图(1)，此时 y＝2 a＞2，只有一个交点，不成立．当 0＜ a＜1 时，函数 y＝| ax－1|的图象如图(2)，此时 0＜2 a＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有 0＜2 a＜1，即 0＜ a＜ ，所以 a12的取值范围是 .(0，12)答案： (0，12)类 型一类 型二 类 型三 限时速解训练 综 合提升 训练 滚动训练 必考点三 导数及其应用答案： 1答案： 8D 答案： D答案： y＝ 2xC 答案： CC 答案： CC 答案： CC 1限时速解训练七 导数及其应用(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设函数 f(x)＝ － aln x，若 f′(2)＝3，则实数 a 的值为( )x24A．4 B．－4C．2 D．－2解析：选 B.f′( x)＝ － ，故 f′(2)＝ － ＝3，因此 a＝－4.x2 ax 22 a22．曲线 y＝e x在点 A 处的切线与直线 x－ y＋3＝0 平行，则点 A 的坐标为( )A．(－1，e －1 ) B．(0,1)C．(1，e) D．(0,2)解析：选 B.设 A(x0，e x0)， y′＝e x，∴ y′| x＝ x0＝e x0.由导数的几何意义可知切线的斜率 k＝e x0.由切线与直线 x－ y＋3＝0 平行可得切线的斜率 k＝1.∴e x0＝1，∴ x0＝0，∴ A(0,1)．故选 B.3．若函数 f(x)＝ x3－2 cx2＋ x 有极值点，则实数 c 的取值范围为 ( )A.[32， ＋ ∞ )B.(32， ＋ ∞ )C. ∪(－ ∞ ， －32] [32， ＋ ∞ )D. ∪(－ ∞ ， －32) (32， ＋ ∞ )解析：选 C.若函数 f(x)＝ x3－2 cx2＋ x 有极值点，则 f′( x)＝3 x2－4 cx＋1＝0 有根，故Δ ＝(－4 c)2－12≥0，从而 c≥ 或 c≤－ .32 324．已知 f(x)＝ aln x＋ x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数 x1， x2都有12≥2 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )f x1 － f x2x1－ x2A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(0,1]解析：选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于 2，所以函数的导数2f′( x)＝ ＋ x≥2.可得 x＝ 时， f′( x)有最小值 2.∴ a≥1.ax a5．已知 x＝2 是函数 f(x)＝ x3－3 ax＋2 的极小值点，那么函数 f(x)的极大值为( )A．15 B．16C．17 D．18解析：选 D.x＝2 是函数 f(x)＝ x3－3 ax＋2 的极小值点，即 x＝2 是 f′( x)＝3 x2－3 a＝0的根，将 x＝2 代入得 a＝4，所以函数解析式为 f(x)＝ x3－12 x＋2，令 f′( x)＝3 x2－12＝0，得 x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当 x＝－2 时函数 f(x)取得极大值 f(－2)＝18，故选 D.6．若幂函数 f(x)的图象过点 ，则函数 g(x)＝e xf(x)的单调递减区间为( )(22， 12)A．(－∞，0) B．(－∞，－2)C．(－2，－1) D．(－2,0)解析：选 D.设幂函数 f(x)＝ xα ，因为图象过点 ，所以 ＝ α ， α ＝2，所以 f(x)(22， 12) 12 (22)＝ x2，故 g(x)＝e xx2，令 g′( x)＝e xx2＋2e xx＝e x(x2＋2 x)＜0，得－2＜ x＜0，故函数单调减区间为(－2,0)故选 D.7．若函数 f(x)＝2 x2－ln x 在其定义域内的一个子区间( k－1， k＋1)内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[1,2)C. D.[1，32) [32， 2)解析：选 C.f′( x)＝4 x－ ＝ ，1x  2x－ 1  2x＋ 1x∵ x＞0，由 f′( x)＝0 得 x＝ .12∴令 f′( x)＞0，得 x＞ ；令 f′( x)＜0，得 0＜ x＜ .12 12由题意得Error!⇒1≤ k＜ .故 C 正确．328．如果函数 y＝ f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数 y＝ f(x)在区间 内单调递增；(－ 3， －12)3②函数 y＝ f(x)在区间 内单调递减；(－12， 3)③函数 y＝ f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当 x＝2 时，函数 y＝ f(x)有极小值；⑤当 x＝－ 时，函数 y＝ f(x)有极大值．12则上述判断中正确的是( )A．①② B．②③C．③④⑤ D．③解析：选 D.当 x∈(－3，－2)时， f′( x)＜0， f(x)单调递减，①错；当 x∈ 时，(－12， 2)f′( x)＞0， f(x)单调递增，当 x∈(2,3)时， f′( x)＜0， f(x)单调递减，②错；当 x＝2时，函数 y＝ f(x)有极大值，④错；当 x＝－ 时，函数 y＝ f(x)无极值，⑤错．故选 D.129．函数 f(x)＝3 x－ x3在区间( a2－12， a)上有最小值，则实数 a 的取值范围是( )A．(－1,3) B．(－1,2)C．(－1,3] D．(－1,2]解析：选 D.由题知 f′( x)＝3－3 x2，令 f′( x)＞0，解得－1＜ x＜1；令 f′( x)＜0，解得x＜－1 或 x＞1，由此得函数在(－∞，－1)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故函数在 x＝－1 处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a2－12， a)上的最小值，∴ a2－12＜－1＜ a，解得－1＜ a＜ ，又当 x＝2 时， f(2)＝－2，故有 a≤2.综上知11a∈(－1,2]，故选 D.10．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，且 f(x)的导函数 f′( x)＜ ，则 f(x)＜ ＋ 的解12 x2 12集为( )A．{ x|－1＜ x＜1} B．{ x|x＜－1}C．{ x|x＜－1，或 x＞1} D．{ x|x＞1}解析：选 D.设 F(x)＝ f(x)－ ，则 F(1)＝ f(1)－ ＝1－1＝0， F′( x)＝ f′( x)－(x2＋ 12) (12＋ 12)，对任意 x∈R，有 F′( x)＝ f′( x)－ ＜0，即函数 F(x)在 R 上单调递减，则 F(x)＜0 的12 12解集为(1，＋∞)，即 f(x)＜ ＋ 的解集为(1，＋∞)，故选 D.x2 1211．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f′( x)＞ f(x)，则( )A． f(2)＜e 2f(0) B． f(2)≤e 2f(0)C． f(2)＝e 2f(0) D． f(2)＞e 2f(0)4解析：选 D.由题意构造函数 g(x)＝ ，则 g′( x)＝ ＞0，则 g(x)＝f xex f′  x － f xex在 R 上单调递增，则有 g(2)＞ g(0)，故 f(2)＞e 2f(0)．f xex12．直线 y＝ a 分别与直线 y＝2( x＋1)，曲线 y＝ x＋ln x 交于点 A， B，则| AB|的最小值为( )A．3 B．2C. D.324 32解析：选 D. 解方程 2(x＋1)＝ a，得 x＝ －1.a2设方程 x＋ln x＝ a 的根为 t(t＞0)，则 t＋ln t＝ a，则| AB|＝ ＝|t－a2＋ 1| |t－ t＋ ln t2 ＋ 1|＝ .|t2－ ln t2 ＋ 1|设 g(t)＝ － ＋1( t＞0)，t2 ln t2则 g′( t)＝ － ＝ (t＞0)，12 12t t－ 12t令 g′( t)＝0，得 t＝1.当 t∈(0,1)时， g′( t)＜0；当 t∈(1，＋∞)时， g′( t)＞0，所以 g(t)min＝ g(1)＝ ，32所以| AB|≥ ，所以| AB|的最小值为 .32 32二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数 f(x)＝ x2＋3 x－2ln x，则函数 f(x)的单调递减区间为________．解析：函数 f(x)＝ x2＋3 x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f′( x)＝2 x＋3－ ，令 2x＋3－2x＜0，即 2x2＋3 x－2＜0，解得 x∈ .又 x∈(0，＋∞)，所以 x∈ .所以函数2x (－ 2， 12) (0， 12)f(x)的单调递减区间为 .(0，12]14．若函数 f(x)＝－ x3＋ x2＋2 ax 在 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是13 12 (23， ＋ ∞ )________．解析：对 f(x)求导，得 f′( x)＝－ x2＋ x＋2 a＝－ 2＋ ＋2 a.(x－12) 145当 x∈ 时， f′( x)的最大值为 f′ ＝ ＋2 a.[23， ＋ ∞ ) (23) 29令 ＋2 a＞0，解得 a＞－ .29 19所以 a 的取值范围是 .(－19， ＋ ∞ )15．若方程 kx－ln x＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是________．解析：令 y＝ kx， y＝ln x.若方程 kx－ln x＝0 有两个实数根，则直线 y＝ kx 与曲线 y＝ln x 有两个不同交点．故直线 y＝ kx 应介于 x 轴和曲线 y＝ln x 过原点的切线之间．设曲线 y＝ln x 过原点的切线的切点为( x0，ln x0)，又 y′| x＝ x0＝ ，故切线方程为 y－ln x0＝ (x－ x0)，将原点代入得， x0＝e，此时1x0 1x0y′| x＝ x0＝ ＝ ，故所求 k 的取值范围是 .1x0 1e (0， 1e)答案： (0，1e)16．设定义在 R 上的函数 y＝ f(x)的导函数为 f′( x)．如果存在 x0∈[ a， b]，使得 f(b)－ f(a)＝ f′( x0)(b－ a)成立，则称 x0为函数 f(x)在区间[ a， b]上的“中值点” ．那么函数f(x)＝ x3－3 x 在区间[－2,2]上的“中值点”为________．解析：由 f(x)＝ x3－3 x 求导可得 f′( x)＝3 x2－3，设 x0为函数 f(x)在区间[－2,2]上的“中值点” ，则 f′( x0)＝ ＝1，即 3x －3＝1，解得 x0＝± .f 2 － f － 22－  － 2 20 233答案：±2331专题二 函数与导数必考点一 函数概念与性质[高考预测]——运筹帷幄1．根据函数解析式求解函数的定义域或值域．2．考查分段函数的求值或已知函数值求自变量取值等．3．考查函数的性质的判定及应用．[速解必备]——决胜千里1．有关函数的奇偶性问题(1)若 f(x)是奇函数，且 x＝0 有意义时，则 f(0)＝0；(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶．2．有关函数的对称性问题(1)若函数 y＝ f(x)满足 f(a＋ x)＝ f(a－ x)，即 f(x)＝ f(2a－ x)，则 f(x)的图象关于直线x＝ a 对称．(2)若 f(x)满足 f(a＋ x)＝ f(b－ x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称．a＋ b2(3)若 f(x＋ a)为奇函数⇒ f(x)的图象关于点( a,0)成中心对称；若 f(x＋ a)为偶函数⇒ f(x)的图象关于直线 x＝ a 对称．3．有关函数的周期性问题(1)若函数 y＝ f(x)的图象有两条对称轴 x＝ a， x＝ b(a≠ b)，则函数 y＝ f(x)必是周期函数，且一个周期为 T＝2| a－ b|；(2)若函数 y＝ f(x)的图象有两个对称中心 A(a,0)， B(b,0)(a≠ b)，则函数 y＝ f(x)必是周期函数，且一个周期为 T＝2| a－ b|；(3)如果函数 y＝ f(x)的图象有一个对称中心 A(a， c)和一条对称轴 x＝ b(a≠ b)，则函数y＝ f(x)必是周期函数，且一个周期为 T＝4| a－ b|.(4)若函数 f(x)满足－ f(x)＝ f(a＋ x)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数；(5)若 f(x＋ a)＝ (a≠0)恒成立，则 T＝2 a；1f x(6)若 f(x＋ a)＝－ (a≠0)恒成立，则 T＝2 a.1f x[速解方略]——不拘一格类型一 函数表示及定义域、值域[例 1] (1)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为( )A．(－1,1) B. (－ 1， －12)2C．(－1,0) D. (12， 1)解析：基本法：由已知得－1＜2 x＋1＜0，解得－1＜ x＜－ ，所以函数 f(2x＋1)的定义域12为 ，选 B.(－ 1， －12)答案：B方 略 点 评 ： 此 题 型 视 2x＋ 1为 整 体 ， 使 之 在 f x 的 定 义 域 内 再 求 解 x.(2)设函数 f(x)＝Error!则 f(－2)＋ f(log212)＝( )A．3 B．6C．9 D．12解析：基本法：∵－2＜1，∴ f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；∵log 212＞1，∴ f(log212)＝2log 212－1＝2log 26＝6.∴ f(－2)＋ f(log212)＝9.速解法：由 f(－2)＝3，∴ f(－2)＋ f(log212)＞3 排除 A.由于 log212＞1，要用 f(x)＝2 x－1 计算，则 f(log212)为偶数，∴ f(－2)＋ f(log212)为奇数，只能选 C.答案：C方略点评：1.基本法分段求值．是分段函数的正向求值的一般思路：速解法是巧用了结果的特征排除答案．2．求函数 f[g(x)]的定义域问题，要注意 g(x)的整体思想的应用．3．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．1．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10 lg x的定义域和值域相同的是( )A． y＝ x B． y＝lg xC． y＝2 x D． y＝1x解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域．函数 y＝10 lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数 y＝ x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数 y＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数 y＝2 x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数 y＝ 的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选 D.1x答案：D32．设函数 f(x)＝Error!若 f ＝4，则 b＝( )(f(56))A．1 B.78C. D.34 12解析：基本法： f ＝3× － b＝ － b，(56) 56 52当 － b≥1，即 b≤ 时， f ＝2 － b，52 32 (52－ b) 52即 2 － b＝4＝2 2，得到 － b＝2，即 b＝ ；52 52 12当 － b＜1，即 b＞ 时， f ＝ －3 b－ b＝ －4 b，52 32 (52－ b) 152 152即 －4 b＝4，得到 b＝ ＜ ，舍去．152 78 32综上， b＝ ，故选 D.12答案：D类型二 函数的奇偶性 对称性[例 2] (1)若函数 f(x)＝ xln(x＋ )为偶函数，则 a＝________.a＋ x2解析：基本法：由已知得 f(－ x)＝ f(x)，即－ xln( － x)＝ xln(x＋ )，则 ln(x＋ )＋ln( － x)＝0，a＋ x2 a＋ x2 a＋ x2 a＋ x2∴ln[( )2－ x2]＝0，得 ln a＝0，a＋ x2∴ a＝1.速解法：根据“奇×奇＝偶” ，设 g(x)＝ln( x＋ )为奇函数即可．a＋ x2又∵ g(0)＝0，∴ln ＝0，∴ a＝1.a答案：1方略点评：基本法是根据偶函数的定义 f － x ＝ f x 待定 a.速解法是根据奇函数、偶函数的特殊结论快速求解.(2)设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A． f(x)g(x)是偶函数B．| f(x)|g(x)是奇函数C． f(x)|g(x)|是奇函数D．| f(x)g(x)|是奇函数解析：基本法：由题意可知 f(－ x)＝－ f(x)， g(－ x)＝ g(x)，对于选项 A， f(－ x)·g(－ x)4＝－ f(x)·g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B.|f(－ x)|g(－ x)＝|－ f(x)|g(x)＝| f(x)|g(x)，所以| f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项C， f(－ x)|g(－ x)|＝－ f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项D，| f(－ x)g(－ x)|＝|－ f(x)g(x)|＝| f(x)g(x)|，所以| f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C.速解法： y＝ f(x)是奇函数，则 y＝| f(x)|为偶函数．故 f(x)·g(x)＝奇，A 错，| f(x)|g(x)＝偶，B 错．f(x)|g(x)|＝奇，C 正确．答案：C方略点评：1.函数奇偶性判定主要有①定义法，②图象法，③特殊结论．要注意定义域必须关于原点对称．2．此题基本法利用的是定义法，速解法利用的是特殊结论．1．已知函数 f(x)是定义在区间[－ a， a](a＞0)上的奇函数，若 g(x)＝ f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1C．2 016 D．4 032解析：基本法：函数 f(x)是定义在区间[－ a， a](a＞0)上的奇函数，则 f(x)最小值与最大值的关系为 f(x)min＝－ f(x)max，所以 g(x)min＝ f(x)min＋2 016， g(x)max＝ f(x)max＋2 016，则 g(x)max＋ g(x)min＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选 D.速解法：因为函数 f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称．而 g(x)＝ f(x)＋2 016 的图象是由 f(x)的图象向上平移 2 016 个单位长度得到的，故 g(x)的图象关于点(0，2 016)对称，所以 ＝2 016，即 g(x)max＋ g(x)min＝4 032.故选 D.g x max＋ g x min2答案：D2．已知 f(x)、 g(x)是 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－ g(x)＝ x3＋ x2＋1， f(1)＋ g(1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3解析：基本法：把 x＝－1 代入已知，得 f(－1)－ g(－1)＝1，所以 f(1)＋ g(1)＝1.答案：C类型三 函数单调性、周期性与对称性的综合应用[例 3] (1)偶函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝2 对称， f(3)＝3，则 f(－1)＝________.5解析：基本法：∵函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，∴ f(2＋ x)＝ f(2－ x)对任意 x恒成立，令 x＝1，得 f(1)＝ f(3)＝3，∴ f(－1)＝ f(1)＝3.速解法：由题意 y＝ f(x)的图象关于 x＝0 和 x＝2 对称，则周期 T＝4.∴ f(－1)＝ f(－1＋4)＝ f(3)＝3.答案：3方略点评：基本法是利用函数关于 x＝ a 对称，则 f a＋ x ＝ f a－ x 的性质计算.速解法是利用了周期性，可快速求解.(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数 a 满足f(log2a)＋ f(log a)≤2 f(1)，则 a 的取值范围是( )12A．[1,2] B. (0，12]C. D．(0,2][12， 2]解析：基本法：∵ f(log a)＝ f(－log 2a)＝ f(log2a)，12∴原不等式可化为 f(log2a)≤ f(1)．又∵ f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a≤1，即 1≤ a≤2.∵ f(x)是偶函数，∴ f(log2a)≤ f(－1)．又 f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a≤0，∴ ≤ a≤1.12综上可知 ≤ a≤2.12速解法：当 a＝2 时，log 2a＝1， a＝－1，原不等式为 f(1)＋ f(－1)≤2 f(1)，即2f(1)≤2 f(1)成立，排除 B.当 a＝ 时，原不等式为 f(－1)＋ f(1)≤2 f(1)成立，排除 A.12当 a＝ 时，原不等式为 f(－2)＋ f(2)≤2 f(1)，14即 f(2)≤ f(1)与 f(x)为增函数矛盾，排除 D.答案：C方略点评：1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定6义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．若函数 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数，则 f(x1)1 时， y0，当 x∈(0,1)且 00，记忆：“真底同，对数正” ．5．log ab＝ ，log ab·logbc·logcd＝log ad.1logba6． y＝ ax y＝log ax定义域 R 值域 R值域(0，＋∞) 定义域(0，＋∞)137．对于函数， y＝ ax＋ ，( a0， b0)的单调分界点是 ax＝ ，即 x＝± .bx bx ba[速解方略]——不拘一格类型一 比较函数值的大小[例 1] (1)设 a＝log 32， b＝log 52， c＝log 23，则( )A． a＞ c＞ b B． b＞ c＞ aC． c＞ b＞ a D． c＞ a＞ b解析：基本法：∵ ＜2＜3,1＜2＜ ，3＞2，∴log 3 ＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 5 ，log 23＞l3 5 3 5og22，∴ ＜ a＜1,0＜ b＜ ， c＞1，12 12∴ c＞ a＞ b.故选 D.速解法：分别作出 y＝log 3x， y＝log 2x， y＝log 5x 的图象，在图象中作出 a、 b、 c 的值，观察其大小，可得 c＞ a＞ b.答案：D方略点评：基本法是利用了每个对数值的范围的估算.,速解法是利用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象，便可容易得出大小关系.(2)已知 x＝ln π， y＝log 52， z＝ ，则( )A． x＜ y＜ z B． z＜ x＜ yC． z＜ y＜ x D． y＜ z＜ x解析：基本法：由已知得 x＝ln π＞1， y＝log 52∈(0,1)，z＝ ∈(0,1) ，又 2＜e＜3，∴ ＜ ＜ ，2 e 3∴ ＞ ＞ ，得 z＝ ＞ ，而 y＝log 52＜log 5 ＝ ，∴ y＜ z＜ x，故选 D.1e 13 12 12 5 12答案：D方略点评：1 利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来比较大小.2 对于多个数的大小比较，可插入 0，分出正数与负数，正数中再插入 1，分出0 ，1 间与1 ，＋∞ 的数；也可直接利用单调性或数形结合法比较大小.141．(2016·高考全国丙卷)已知 a＝ ，则( )A． b＜ a＜ c B． a＜ b＜ cC． b＜ c＜ a D． c＜ a＜ b解析：利用幂函数的性质比较大小．∵ y＝ 在第一象限内为增函数，又 5＞4＞3，∴ c＞ a＞ b.答案：A2．设 a＝ ， b＝ 2， c＝ 3，则( )A． a＞ b＞ c B． a＞ c＞ bC． b＞ c＞ a D． c＞ a＞ b解析：基本法：∵ b＝－log 32∈(－1,0)， c＝－log 23＜－1，a＝ ＞0，∴ a＞ b＞ c，选 A.答案：A类型二 指数函数、对数函数图象的变换与应用[例 2] (1)设函数 y＝ f(x)的图象与 y＝2 x＋ a的图象关于直线 y＝－ x 对称，且 f(－2)＋ f(－4)＝1，则 a＝( )A．－1 B．1C．2 D．4解析：基本法：设( x， y)是函数 y＝ f(x)图象上任意一点，它关于直线 y＝－ x 的对称点为(－ y，－ x)，由 y＝ f(x)的图象与 y＝2 x＋ a的图象关于直线 y＝－ x 对称，可知(－ y，－ x)在 y＝2 x＋ a的图象上，即－ x＝2 － y＋ a，解得 y＝－log 2(－ x)＋ a，所以 f(－2)＋ f(－4)＝－log 22＋ a－log 24＋ a＝1，解得 a＝2，选 C.速解法：设 y1＝ f(－2)，则(－2， y1)关于 y＝－ x 的对称点为(－ y1,2)在 y＝2 x＋ a上，∴2＝2－ y1＋ a，∴－ y1＋ a＝1，即 y1＝ a－1同理设 y2＝ f(－4)，∴4＝2－ y2＋ a，即 y2＝ a－2.∴ y1＋ y2＝1，∴ a－1＋ a－2＝1，∴ a＝2答案：C方略点评：两种方法都采用了关于 y＝－ x 对称点的特征.基本法是具体求出对称函数，速解法是间接求出 f －2 及 f －4.15(2)当 0＜ x≤ 时，4 x＜log ax，则 a 的取值范围是( )12A. B.(0，22) (22， 1)C．(1， ) D．( ，2)2 2解析：基本法：易知 0＜ a＜1，则函数 y＝4 x与 y＝log ax 的大致图象如图，则只需满足loga ＞2，解得 a＞ ，12 22∴ ＜ a＜1，故选 B.22速解法：若 a＞1，∵ x∈ ，显然 logax＜0，原不等式不成立，∴0＜ a＜1.(0，12]若 a＝ ，当 x＝ 时，log ax＝1,4 x＝4 ＝2，显然不成立，∴故只能选 B.12 12 12答案：B方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验．2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到即“形似”又“神似” ．1．(2016·高考全国乙卷)函数 y＝2 x2－e |x|在[－2,2]的图象大致为( )解析：利用导数研究函数 y＝2 x2－e |x|在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．∵ f(x)＝2 x2－e |x|， x∈[－2,2]是偶函数，又 f(2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除 A，B.设 g(x)＝2 x2－e x，则 g′( x)＝4 x－e x.又 g′(0)0，∴ g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴ f(x)＝2 x2－e |x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.16答案：D2．(2016·山西太原质检)若关于 x 的不等式 4ax－1 ＜3 x－4( a＞0，且 a≠1)对于任意的x＞2 恒成立，则 a 的取值范围为( )A. B.(0，12) (0， 12]C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：基本法：不等式 4ax－1 ＜3 x－4 等价于 ax－1 ＜ x－1.34令 f(x)＝ ax－1 ， g(x)＝ x－1，当 a＞1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图 134所示，由图知不满足条件；当 0＜ a＜1 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图 2所示，则 f(2)≤ g(2)，即 a2－1 ≤ ×2－1，即 a≤ ，所以 a 的取值范围是 ，故选 B.34 12 (0， 12]答案：B类型三 关于指数、对数的方程、不等式的求解方法[例 3] (1)已知函数 f(x)＝Error!且 f(a)＝－3，则 f(6－ a)＝( )A．－ B．－74 54C．－ D．－34 14解析：基本法：当 a≤1 时， f(a)＝2 a－1 －2＝－3，即 2a－1 ＝－1，不成立，舍去；当 a＞1 时， f(a)＝－log 2(a＋1)＝－3，即 log2(a＋1)＝3，得 a＋1＝2 3＝8，∴ a＝7，此时 f(6－ a)＝ f(－1)＝2 －2 －2＝－ .74速解法：当 x≤1 时， f(x)＝2 x－1 －2∈(－2，－1]，不可能 f(x)＝－3.故－log 2(a＋1)＝－3，∴ a＋1＝2 3， a＝7.∴ f(6－ a)＝ f(－1)＝2 －2 －2＝－ ，选 A.74答案：A方略点评：基本法是分别使用两段解析式进行求值验证.速解法是分析第一段的值域来确定17f a ＝－3 的可能性.(2)设函数 f(x)＝Error!则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________．解析：基本法： f(x)≤2⇒Error!或Error!⇒Error!或 Error!⇒x＜1 或 1≤ x≤8⇒ x≤8，故填(－∞，8]．速解法：当 x＜1 时， f(x)＝e x－1 为增函数，当 x≥1 时， f(x)＝ x 为增函数．13∴ f(x)在 R 上为增函数，且 ex－1 ＜1.∴令 x ≤2，∴ x≤8.13答案：(－∞，8]方略点评：1 基本法是分段讨论 f x≤2 的解，速解法是利用了整个函数 f x 的单调性.2 对数函数、指数函数性质的应用，首先明确底数的取值来确认单调性及图象特征.3 分段函数要分段讨论处理，同时注意整体性和分段点.1．已知 f(x)＝Error!若 f(a)＝5，则 a＝________.解析：基本法：利用分段函数求解．由题意可得Error!或 Error!解得 a＝4 或－2.答案：4 或－22．已知函数 f(x)＝Error!若| f(x)|≥ ax，则 a 的取值范围是( )A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[－2,1] D．[－2,0]解析：基本法：| f(x)|＝Error!其图象如图．由对数函数图象的变化趋势可知，要使 ax≤| f(x)|，则 a≤0，且 ax≤ x2－2 x(x≤0)，即 a≥ x－2 对 x≤0 恒成立，所以 a≥－2.综上，－2≤ a≤0，故选 D.答案：D[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——估算法18方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．应用方向估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用此种方法确定选项.19限时速解训练六 指数函数、对数函数、幂函数图象与性质(建议用时 40 分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知 a＝5 0.5， b＝0.5 5， c＝log 50.5，则下列关系中正确的是( )A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ cC． c＞ a＞ b D． c＞ b＞ a解析：选 A.因为 a＝5 0.5＞5 0＝1,0＜ b＝0.5 5＜0.5 0＝1，c＝log 50.5＜log 51＝0，所以 a＞ b＞ c.故选 A.2．函数 f(x)＝ln( x＋1)－ 的一个零点所在的区间是( )2xA．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选 B.因为 f(1)＝ln 2－2＜0， f(2)＝ln 3－1＞0，所以 f(x)在(1,2)上必存在零点．故选 B.3．函数 f(x)＝ln 的图象是( )(x－1x)解析：选 B.要使函数 f(x)＝ln 有意义，需满足 x－ ＞0，解得－1＜ x＜0 或 x＞1，(x－1x) 1x所以排除 A、D；当 x＞10 时， x－ 一定大于 1，ln 大于 0，故选 B.1x (x－ 1x)4．函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y＝e x关于 y 轴对称，则 f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1C．e － x＋1 D．e － x－1解析：选 D.依题意， f(x)的图象向右平移 1 个单位长度之后得到的曲线对应的函数应为y＝e － x，于是 f(x)的图象相当于曲线 y＝e － x向左平移 1 个单位长度的结果，∴ f(x)＝e － x－1 ，故选 D.5．函数 f(x)＝ ax＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为( )A. B.14 12C．2 D．420解析：选 B.f(x)＝ ax＋log a(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是 y＝ ax与 y＝log a(x＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为 f(0)＋ f(1)＝ a0＋log a1＋ a＋log a2＝ a，∴log a2＋1＝0，∴ a＝ .126．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝Error!则 f(2 019)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选 D.∵2 019＝6×337－3，∴ f(2 019)＝ f(－3)＝log 2(1＋3)＝2.故选 D.7．设 ＜ b＜ a＜1，那么( )12 (12) (12)A． aa＜ ab＜ ba B． aa＜ ba＜ abC． ab＜ aa＜ ba D． ab＜ ba＜ aa解析：选 C.由于指数函数 y＝ x是减函数，由已知 ＜ b＜ a＜1，得 0＜ a＜ b＜1.当(12) 12 (12) (12)0＜ a＜1 时， y＝ ax为减函数，所以 ab＜ aa，排除 A、B；又因为幂函数 y＝ xa在第一象限内为增函数，所以 aa＜ ba，选 C.8．下列四个命题：①∃ x0∈(0 ，＋ ∞)， x0＜ x0；(12) (13)②∃ x0∈(0,1) ，③∀ x∈(0，＋∞)， x＞ x；(12)④∀ x∈ ， x＜ x.(0，13) (12)其中真命题是( )A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析：选 C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选 C.9．若 a＝2 x， b＝ ， c＝ x，则“ a＞ b＞ c”是“ x＞ 1”的( )xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选 B.如图，可知“ x＞1”⇒“ a＞ b＞ c”，但“ a＞ b＞ c”⇒ “x＞1” ，即“a＞ b＞ c”是“ x＞1”的必要不充分条件．故选 B.2110．若不等式 4x2－log ax＜0 对任意 x∈ 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )(0，14)A. B.[1256， 1) (1256， 1)C. D.(0，1256) (0， 1256]解析：选 A.∵不等式 4x2－log ax＜0 对任意 x∈ 恒成立，∴ x∈ 时，函数(0，14) (0， 14)y＝4 x2的图象在函数 y＝log ax 的图象的下方．如图，∴0＜ a＜1.再根据它们的单调性可得4× 2≤log a ，即 loga ≤log a ，(14) 14 14∴ ≥ ，14∴ a≥ .综上可得 ≤ a＜1，故选 A.1256 125611．已知 x0是 f(x)＝ x＋ 的一个零点， x1∈(－∞， x0)， x2∈( x0,0)，则( )(12) 1xA． f(x1)＜0， f(x2)＜0B． f(x1)＞0， f(x2)＞0C． f(x1)＞0， f(x2)＜0D． f(x1)＜0， f(x2)＞0解析：选 C.在同一坐标系下作出函数 f(x)＝ x， f(x)＝－ 的图象(如图)，由图象可知当(12) 1xx∈(－∞， x0)时， x＞－ ；当 x∈( x0,0)时， x＜－ ，所以当 x1∈(－∞， x0)，(12) 1x (12) 1xx2∈( x0,0)时，有 f(x1)＞0， f(x2)＜0，故选 C.2212．设函数 f(x)＝ － ，[ x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 y＝[ f(x)]的值域是( )2x1＋ 2x 12A．{0,1} B．{－1,0}C．{－1,1} D．{1}解析：选 B.f(x)＝ － ＝ － ，∵2 x＞0，2x1＋ 2x 12 12 11＋ 2x∴1＋2 x＞1,0＜ ＜1，∴－1＜－ ＜0，11＋ 2x 11＋ 2x∴－ ＜ － ＜ ，即－ ＜ f(x)＜ ，12 12 11＋ 2x 12 12 12∵[ x]表示不超过 x 的最大整数，∴ y＝[ f(x)]的值域为{－1,0}，故选 B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知函数 f(x)＝lg x，若 f(ab)＝1，则 f(a2)＋ f(b2)＝________.解析：∵ f(x)＝lg x， f(ab)＝1，∴lg( ab)＝1，∴ f(a2)＋ f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg( ab)＝2.答案：214．若函数 f(x)＝2 |x－ a|(a∈R)满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，且 f(x)在[ m，＋∞)上单调递增，则实数 m 的最小值等于________．解析：由 f(1＋ x)＝ f(1－ x)可知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，所以 a＝1.结合图象知函数 f(x)＝2 |x－1| 在[1，＋∞)上单调递增，故实数 m 的最小值为 1.答案：115．已知函数 f(x)＝ 则不等式 f(x)＞1 的解集为________．解析：若 x≤0，则不等式 f(x)＞1 可转化为 3x＋1 ＞1⇒ x＋1＞0⇒ x＞－1，∴－1＜ x≤0；若 x＞0，则不等式 f(x)＞1 可转化为 log x＞1⇒ x＜ ，∴0＜ x＜ .综上，不等式 f(x)＞113 13 13的解集为 (－ 1，13)答案： (－ 1，13)16．若直线 y＝2 a 与函数 y＝| ax－1|( a＞0 且 a≠1)的图象有两个公共点，则实数 a 的取23值范围是________．解析：当 a＞1 时，作出函数 y＝| ax－1|的图象如图(1)，此时 y＝2 a＞2，只有一个交点，不成立．当 0＜ a＜1 时，函数 y＝| ax－1|的图象如图(2)，此时 0＜2 a＜2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有 0＜2 a＜1，即 0＜ a＜ ，所以 a12的取值范围是 .(0，12)答案： (0，12)24必考点三 导数及其应用[高考预测]——运筹帷幄1．利用导数研究函数的单调性或求单调区间或求参数．2．利用导数求函数的极值、最值，由函数极值求参数．3．利用导数研究函数切线问题．[速解必备]——决胜千里1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．2．若 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋ d 有两个极值点，且 x10 时， f(x)的图象如图， x1为极大值点， x2为极小值点，当 a0 时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．26设 x0，则－ x0 或 f′ x0 即可.②若已知 f x 的单调性，则转化为不等式 f′ x≥0 或 f′ x≤0 在单调区间上恒成立问题求解.1．对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 ≤0，则必有( )1－ xf′  xA． f(0)＋ f(2)＞2 f(1) B． f(0)＋ f(2)≤2 f(1)C． f(0)＋ f(2)＜2 f(1) D． f(0)＋ f(2)≥2 f(1)解析：基本法：选 A.当 x＜1 时， f′( x)＜0，此时函数 f(x)递减，当 x＞1 时， f′( x)＞0，此时函数 f(x)递增，∴当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)＞ f(1)， f(2)＞ f(1)，则 f(0)＋ f(2)＞2 f(1)，故选 A.2．(2016·高考北京卷)函数 f(x)＝ (x≥2)的最大值为________．xx－ 1解析：基本法：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．f′( x)＝ ＝－ ， x－ 1 － x x－ 1 2 1 x－ 1 2当 x≥2 时， f′( x)＜0，所以 f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故 f(x)max＝ f(2)＝ ＝2.22－ 1答案：230[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——构造法方法诠释用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.解题关键 正确分析条件和结构的特殊性，联想常见的数学知识.