1、广义对策平衡点集的本质连通区第 2o 卷第 3 期2O03 年 8 月贵州大学(自然科学版)JournalofGnizhouUniversity(NaturalSciences)V01.20No.3Aug.2003文章编号 10005269(2O03)o3022104广义对策平衡点集的本质连通区水俞建(1.贵州省科技厅,贵州贵阳 550002;2.贵州大学数学系 ,贵州贵阳 550025)摘要研究广义对策平衡点集的本质连通区问题,证明了存在性.关键词广义对策;最佳回应映射;本质连通区中图分类号 0225 文献标识码 A0 引言设是一个紧度量空间是从到自身的连续映射,2首先对,引进了本质不动点的
2、概念.但是,甚至当具有所谓不动点性质时,也并非任何连续映射都至少有一个本质不动点.为此,5首先对引进了不动点集本质连通区的概念,并证明了任何将 Hilbert 立方体映人自身的连续映射,其不动点集至少存在一个本质连通区.4推广 31的结果:设 X 是线性赋范空间中的非空凸紧集,F:-2 是一个非空凸紧值的上半连续映射,则其不动点集至少有一个本质连通区.43 还将这一结果应用到 n 人非合作有限对策,证明了其Nash 平衡点集至少存在一个本质连通区.6首先应用代数几何的方法,证明了对任何 n 人非合作有限对策,其 Nash 平衡点集的连通区必为有限个,而至少有一个是本质的.正如2所指出的 ,“本
3、质“概念的引进,是为了研究稳定性:不动点的稳定性,以及之后的平衡点的稳定性,等等.78利用集值映射的通有(Generic) 连续性结论,对一般 n 人非合作对策的 Nash平衡点的稳定性,进行了深入的研究.1O对一般 n 人非合作对策证明了 平衡点集本质连通区的存在性.93 则进一步,对广义对策(抽象经济)的平衡点集证明了其本质连通区的存在性.在对策空间中,4 儿 6和1O考虑的是支付函数的一致拓扑,在广义对策空间中,9考虑的是支付函数和可行策略映射的一致拓扑.与6不同,在 n 人非合作有限对策的对策空间中,3考虑的是最佳回应映射的一致拓扑,而这一拓扑与支付函数的一致拓扑不是等价的.本文针对广
4、义对策(抽象经济)空间中引进最佳回应映射的一致拓扑,证明了本质连通区的存在性.1 预备知识设是线性赋范空间中的非空凸紧集,F:-2 是一个非空凸紧值的上半连续映射,则存在,使F(x). 这就是着名的 FanGlicksberg 不动点定理.设 C=F:X-2:F 是一个非空凸紧值的上半连续映射 VFl,F2C, 定义p(F.,)=s.(),()_u_ph(FF2其中 h 是上的 Hausdorff 距离.VFC,记 fix(F)是映射 F 的所有不动点所成之集,则(F)咖.将 fix(F)分解成若干个(有限个或无限个)互不相交的连通区的和集.设 e(F)是 fix(F)的一个连通区,如果对任何
5、开集 D=)e(F),存在收稿日期:20030604项目来源:国家自然科学基金资助课题(10061002).作者简介:俞建(1944 一), 男 ,教授,研究方向:非线性分析,对策论等.?222?贵州大学 (自然科学版 )第 20 卷6,使对满足 p(F,F)6 的任何 F,都有 fix(F)fl0咖,则称 e(F)是 fix(F)的一个本质连通区.4证明了:对任意 FEC,至少存在一个 Fix(F)的本质连通.设 N=1,2,t1.是局中人的集合.ViEEN,X 是第 i 个局中人的策略集,它是线性赋范空间巨中的非空凸紧集.记=兀置,= 兀 f.ViEEN,G;:XA 一 2 是第 i 个局
6、中人的可行策略映射,它是一 i=1,f.个非空凸紧值的连续映射.ViEEN,:F是第 i 个局币人的支付函数,它是连续的,且 VEE,11,(11,)是拟凹的 .由1中定理 23(JP.351),存在EX, 使ViEN,I.EGf(),且(,5)=ms.x(,5).Ef)(注:1中要求 ViEN,VE,一(,)是凹的,可以改进为拟凹的,见下文).这样的EX,称为此广义对策(或抽象经济) 的平衡点.同9,记P=P=,G 一,G),G 满足以上性质,VENVp1=1,G11,G1,P2=(厂 21,G11,G1)EP,定义.Il(p,p:)Pt()一()I+Pt(G(),G2()其中 VtEN,h
7、 是 E 上的Hausdorff 距离.VpEP,记 E(p)为此广义对策 P 的所有平衡点所成之集 ,则 E(p)咖.将 E(p)分解成若干个(有限个或无限个)互不相交的连通区的和集,设 e(p)是 E(p)的一个连通区,如果对任何开集 0e(p),存在60,使对满足 h(p,g)6 的任何 g,都有 E(g)n0 咖,则称 e(p)是 E(p)是 E(p)的一个本质连通区.9证明了 :对任意 pEP,至少存在一个 E(p)的本质连通区 .如果 ViEN,VE,有 G()=;,则立即导出 210中的主要结果 ,即证明了一般凡人非合作对策 Nash 平衡点集本质连通区的存在性.我们已经提及,无
8、论是46还是3,研究的都是凡人非合作有限对策,其中对每个局中人来说,其纯策略集都是有限集,而策略集是所谓的混合策略集,支付函数又都是线性的(严格说是仿射)等等.3与46不同的,它考虑的是所谓最佳回应映射 (bestreplycorrespondence)的一致拓扑.下节我们就来研究广义对策在最佳回应映射一致拓扑下本质连通区的存在性.2 主要结果ViEN,VE,定义集值映射 :一 2()=YEGi()(,;,)=(,)“E0首先,因 VE,一(,)是连续的,G() 是紧集,故 Fi()咖.以下来证明 F()是凸集:V,:,EF(),VAE(o,1),则 Y,2;EGi(),因 G()是凸集,则必
9、有A,:+(1 一 A),EGf()不因 Y:,YEFt(),记(,)= 口,则 EI,J(,:,)=口(,)= 口 .由 VE,(,)是拟凹的,得(A,:+(1 一 A),)min(,:,)(,)=口但是 A,+(1 一 A)EG()(A,+(1 一 A),)口,故(A,+(1 一 A)Y,)=口,A,+(1 一 A),2fEF(),F;()必是凸集.第 3 期俞建:广义对策平衡点集的本质连通区又易证()是闭集 ,因 F(e)cXi 而置是紧集,故 F()是紧集.最后来证明集值映射:一 2 是上半连续的.事实上,由 G 紧值,连续,而连续,由极大值定理(见1 中 P.120 中 Coroll
10、ary22),Ft 必是上半连续的.这样,:置一 2 噩就是一个非空凸紧值的上半连续映射 .VEX,定义 F:_2:三F()=儿 F()=l是非空凸紧集,F 是一个非空凸紧值的上半连续映射,称为最佳回应映射,由 FanGlicksberg 不动点定理,存在X,使 F(x).定理 1F() 当且仅当 E(p),即 Fix(F):E(p).证女果F(),贝Vi N,F(),展口Xi*G(),且 f/(Xi*,)=ma,x(11,i,),E(p).uiE,反之,如果E(p),也必有F(x),故 Fix(F)=E(p).定义 1 设 e(p)的一个连通区,如果对任何开集 03e(p),存在 60,使当
11、 P(F,F)6时都有 fix(F)n0,则称 e(p)是 E(p)的一个本质连通区.注意到这里与第 2 节不同,考虑的是最佳回应映射的一致拓扑,而不是支付函数和可行策略映射的一致拓扑.定理 2 对任意 PP, 至少存在一个 E(p)的本质连通区 .证对任意 P P,令 F:一 2 是由其产生的最佳回应映射 .由定理 1,E(p)=fix(F).这样,如果 e(p)是 E(p)的一个连通区,则它也必是 fix(F)的一个连通区.在 fix(F)的连通区中,至少有一个是本质的,不妨记为 e(p),即对任何开集 03e(p),存在 60,使当 P(F,F)6 时,都有fix(Fn0,e(p)就是E
12、(p)的一个本质连通区.3 例我们来给出两个例子,第一个例子说明虽然 p(尸一 0,但是(,F)一 0;第二个例子说明虽然(P,F)一 0,但是 P 一 0,也就是说这两个拓扑不是等价的.N=1,2,X.=X2=0,1.f=),g=(g.,g),pg)()o.1】I(?,) 一 gl(?,)I+I(?,)一 g2(?,:)IV20,1,Fl(X2)=l0,1(l,2)=n(nl,2)Vx.0,1,(.)=O,1(.,)=nA(x.,n)V(.,2)0,10,1最佳回应映射 F(x.,X2)=F.()F.(.)Vx20,1,Fl(2)=lO,1:gl(l,2)=ngl(nl,2)Vx2O,1,F
13、2(1)=20,1:g2(l,2)=g2(Xl,n2)最佳回应映射 F(.,)=F.()F2(.)(F,F)(o.1】(F(?,2),F?,2)例 1Vx.0,1,Vx2E0,1,(.,)=0(.,X2)=0=)(X1X2)=.一,(X1X2)=.一,尸=)?224?贵州大学 (自然科学版 )第 20 卷12345678910p,)=()E【suU.Jp_】【0,.】.1.1nI+.1.一1,lI=nV2E0,1,F.(2)=0,1.V.E0,1,F2(.)=0,1.F(xl,2)=Fl(2)F2(1)=0,10,1.V:E0,1,(:)=1VE0,1,()=0,1(.,:)=(:)矸(.)=
14、10,1h(F,F)()黜】【0.1】(0,10,1,1 0,1=1这说明虽然 v(f)-+0,但是(F,F)=1.例 2Vx.E0,1,Vx:E0,1,(.,:)=02(.,:)=0=(.2).(.,:)=1:(,)=1=:).容易验证:p)=2,(F,F)=0.这说明虽然 JI(F,P)=0,但是 P)=2.参考文献AubiuJPandEKelandI.AppliedNoullnear蜘M.JohnWileyandSons,NewYork,1984.FortMKJr.EssentialandnonessentialtixedpointsJ.Aner.JMath,1950,72:315322
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