1、4.2 矩阵的运算,一、加法,1. 定义,设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵 C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B,2性质,1）交换律 A+B=B+A,2）结合律 (A+B)+C=A+(B+C ),3） A+0=A,4） A+(A)=0,3减法：A B= A+(B),结论： 对于两个同型矩阵A, B,有R(A +B) R(A) + R(B),二、乘法,1. 定义,设A=(aij)sn, B=(bjk)nm 记矩阵 C = (cij)sm 其中 cij=ai1b1j+ ai2b2j+ ainbnj 称C为矩阵A与B的积，记作 C=A
2、B,注意理解定义,例1 线性方程组,中，令A=(aij)sn,则线性方程组的矩阵形式为 AXB,2性质,1) 结合律 (AB)C=A(BC),2) 交换律一般不成立 即是ABBA,理由有三：a. 乘法可能没意义，,b. 乘法有意义，但结果不是同型矩阵，,c. 前二者都满足，但就是不相等。,若ABBA，称A与B可交换。,分配律 A(B+C)=AB+AC(B+C) A =BA+CA,消去律一般不成立 即是若ABAC，不能得到BC。,怎样理解？在满足什么条件时，消去律成立？,5）AsnEnAsn , EsAsnAsn 。,定义: 称主对角线上元素为1, 其余元素都为0的n级方阵为n级单位矩阵, 记为
3、En .,问题：若AEEA ,是否A与 E可交换？,6）AkAl Ak+l , (Ak)l Akl,定义: 设矩阵A为n级矩阵,定义A的方幂为 A1=AAk+1= AkA,问题：(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，又需要添加什么条件？,对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时，R(A) + R(B) n,8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，R(A+E) + R(AE) = n,9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时，R(A) + R(AE) = n,三、数量乘法（数乘）,1. 定义,设A=(aij)sn, kP, 记矩阵 B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA
4、,2性质：,1) (k+l)A=kA + lA,2) k (A+B)= kA + kB,3) k(lA)=(kl)A,4) 1A=A,5) k (AB)= (kA)B= A(kB),7) 若A是n级矩阵，则kA=(kE)A=A(kE).,8) kE+lE=(k+l)E,9) (kE)(lE)=(kl)E,数量矩阵的概念,6) 若A是n级方阵，则|kA|= |A|。,四、转置,1. 定义,设A=(aij)sn,称矩阵,为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A,2性质,1) (A ) = A,2) (A B)= A B,3) (AB) = BA,4) (kA)=kA,5) 若A为方阵, |A|=|A|.,
5、3对称矩阵、反对称矩阵,定义 设A为n级方阵，若1) A A， 则称A为对称阵；,2) AA，则称A为反对称阵。,性质：, 对称矩阵的和、差仍是对称矩阵，反对称矩阵的和、差仍是反对称矩阵., A为对称矩阵, kP,则kA是对称矩阵，A为反对称矩阵, kP,则kA是反对称矩阵。, 奇数级反对称矩阵的行列式等于零., A,B为对称矩阵,则AB对称AB=BA., A, B为对称矩阵,则AB不一定对称；A, B为反对称矩阵,则AB不一定反对称；, A为方阵, 则A+AT为对称矩阵, AAT 为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。,例4 A反对称，B对称证明：,1）A2对称2）ABBA对称； AB+BA反对称,3）AB反对称的充要条件为AB=BA,例5 A为n级实对称矩阵,且A20,证明:A=0。,
