1、1专题五 平面解析几何建知识网络 明内在联系高考点拨 平面解析几何是浙江新高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题基于上述分析，本专题将从“直线与圆” “圆锥曲线的定义、方程、几何性质” “圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升突破点 11 直线与圆(对应学生用书第 41 页)核心知识提炼提炼 1 圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r 时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2
2、.(2)圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心，(D2， E2)为半径的圆. D2 E2 4F2提炼 2 求解直线与圆相关问题的两个关键点2(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理(2)两个公式：点到直线的距离公式 d ，弦长公式| AB|2 (弦|Ax0 By0 C|A2 B2 r2 d2心距 d)提炼 3 求距离最值问题的本质(1)圆外一点 P 到圆 C 上的点距离的最大值为| PC| r，最小值为| PC| r，其中 r 为圆的半径(2)圆上的点到直线的最大距离是 d r，最小距离是 d r，其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的
3、半径(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦高考真题回访回访 1 两条直线的位置关系1(2012浙江高考)设 aR，则“ a1”是“直线 l1： ax2 y10 与直线l2： x( a1) y40 平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件A 若直线 l1与 l2平行，则 a(a1)210，即 a2 或 a1，所以 a1 是直线l1与直线 l2平行的充分不必要条件2(2011浙江高考)若直线 x2 y50 与直线 2x my60 互相垂直，则实数m_.1 直线 x2 y50 与直线 2x my60 互相垂直，22 m0， m1.回
4、访 2 圆的方程3(2016浙江高考)已知 aR 方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4) 5 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2 a2，解得 a2 或1.当a2 时，方程为 4x24 y24 x8 y100，即 x2 y2 x2 y 0，配方得522( y1) 2 0，|2 x y4|6 x3 y|42 x y6 x3 y103 x4 y.令 z103 x4 y，如图，设 OA 与直线3 x4 y0 垂直，直线 OA 的方程为 y x.43联立Error!得 A ，(35， 45)当 z103 x4 y 过点 A 时， z 取最大值，
5、zmax103 4 15.(35) ( 45)5(2013浙江高考)如图 111，点 P(0，1)是椭圆 C1： 1( a b0)的一个顶x2a2 y2b2点， C1的长轴是圆 C2： x2 y24 的直径 l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A， B 两点， l2交椭圆 C1于另一点 D.图 111(1)求椭圆 C1的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程解 (1)由题意得Error! 2 分所以椭圆 C 的方程为 y21. 5 分x24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨
6、设其为k，则直线 l1的方程为 y kx1. 6 分又圆 C2： x2 y24，故点 O 到直线 l1的距离 d ，1k2 14所以| AB|2 2 . 7 分4 d24k2 3k2 1又 l2 l1，故直线 l2的方程为 x ky k0.由Error! 消去 y，整理得(4 k2)x28 kx0，故 x0 ，所以| PD| . 8 分8k4 k2 8k2 14 k2设 ABD 的面积为 S，则 S |AB|PD| ， 11 分12 84k2 34 k2所以 S ，当且仅当 k 时取等324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313 102号所以所求直线 l1的方
7、程为 y x1. 15 分102回访 3 直线与圆、圆与圆的位置关系6(2014浙江高考)已知圆 x2 y22 x2 y a0 截直线 x y20 所得弦的长度为4，则实数 a 的值是( )A2 B4C6 D8B 由圆的方程 x2 y22 x2 y a0 可得，圆心为(1,1)，半径 r .圆心到2 a直线 x y20 的距离为 d .由 r2 d2 2得 2 a24，所以| 1 1 2|2 2 (42)a4.7(2013浙江高考)直线 y2 x3 被圆 x2 y26 x8 y0 所截得的弦长等于_4 圆的方程可化为( x3) 2( y4) 225，故圆心为(3,4)，半径 r5.又直线方5程
8、为 2x y30，所以圆心到直线的距离为 d ，所以弦长为 2 |23 4 3|4 1 52 2 4 .r2 d2 25 5 20 58(2015浙江高考)如图 112，已知抛物线 C1： y x2，圆 C2： x2( y1) 21，过点14P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA， PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切， A， B 为切点5图 112(1)求点 A， B 的坐标；(2)求 PAB 的面积解 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 y k(x t).2 分由Error! 消去 y，整理得 x24 kx4 kt0，由于直线 PA 与抛物线相切，
9、得 k t. 3 分因此，点 A 的坐标为(2 t， t2)设圆 C2的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为( x0， y0)由题意知：点 B， O 关于直线 PD 对称，故Error! 5 分解得Error!因此，点 B 的坐标为 . 7 分(2t1 t2， 2t21 t2)(2)由(1)知| AP| t ，1 t2直线 PA 的方程为 tx y t20.点 B 到直线 PA 的距离是 d . 11 分t21 t2设 PAB 的面积为 S(t)，则 S(t) |AP|d . 15 分12 t32(对应学生用书第 43 页)热点题型 1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用
10、的方法是待定系数法或几何法.【例 1】 (1)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为 12，则圆 C 的方程为_(2)已知 M 的圆心在第一象限，过原点 O 被 x 轴截得的弦长为 6，且与直线 3x y0 相切，则圆 M 的标准方程为_(1)x2 2 (2)( x3) 2( y1) 210 (1)因为圆 C 关于 y 轴对称，所以(y33) 43圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0， b)，设圆 C 的半径为 r，则圆 C 的方程为 x2( y b)2 r2.依题意，得Error!解得Error!所以圆 C 的方程为 x2 2 .(y3
11、3) 43(2)法一：设 M 的方程为( x a)2( y b)2 r2(a0， b0， r0)，由题意知Error!解得Error!故 M 的方程为( x3) 2( y1) 210.6法二：因为圆 M 过原点，故可设方程为 x2 y2 Dx Ey0，又被 x 轴截得的弦长为 6且圆心在第一象限，则 23 2，故 D6，与 3x y0 相切，则 ，即(D2) E2 D2 13E D2，因此所求方程为 x2 y26 x2 y0.13故 M 的标准方程为( x3) 2( y1) 210.方法指津求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代
12、数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练 1 (1)(2017温州市普通高中高考模拟考试)圆 x2 y22 y30 的圆心坐标是_，半径是_(2)抛物线 y24 x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A， B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M， A， B 三点的圆的标准方程为_(1)(0,1) 2 (2)( x1) 2 y24 (1)化圆的一般式方程为标准方程，得 x2( y1)24，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为 2.(2)由题意知， A(1,2)， B(1，2)， M(1,0)， AMB 是以点 M 为直角顶点的直角三角形，则线段 AB 是
13、所求圆的直径，故所求圆的标准方程为( x1) 2 y24.热点题型 2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.【例 2】 (1)已知直线 l： mx y3 m 0 与圆 x2 y212 交于 A， B 两点，过 A， B 分3别作 l 的垂线与 x 轴交于 C， D 两点若| AB|2 ，则| CD|_.34 由直线 l： mx y3 m 0 知其过定点(3， )，圆心 O 到直线 l 的距离为3 3d .|3m 3|m2 1由| AB|2 得 2( )212，解得 m .又直线 l 的斜率为 m ，所3 (3m 3
14、m2 1) 3 33 337以直线 l 的倾斜角 . 6画出符合题意的图形如图所示，过点 C 作 CE BD，则 DCE .在 Rt CDE 中，可得 6|CD| 2 4.|AB|cos 3 23(2)(2017金华十校联考)如图 113，已知圆 G：( x2) 2 y2 r2是椭圆 y21 的内接 ABC 的内切圆，其中 A 为椭圆的左顶点x216求圆 G 的半径 r；过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E， F 两点，证明：直线 EF 与圆 G 相切图 113解 设 B(2 r， y0)，过圆心 G 作 GD AB 于 D， BC 交长轴于 H.由 得 ，GDAD HBAH r
15、36 r2 y06 r即 y0 ， 2 分r6 r6 r而 B(2 r， y0)在椭圆上，y 1 ， 3 分20 2 r 216 12 4r r216 r 2 r 616由式得 15r28 r120，解得 r 或 r (舍去). 5 分23 65证明：设过点 M(0,1)与圆( x2) 2 y2 相切的直线方程为 y kx1，49则 ，即 32k236 k50，23 |2k 1|1 k2解得 k1 ， k2 . 9 4116 9 41168将代入 y21 得(16 k21) x232 kx0，则异于零的解为 x .x216 32k16k2 18 分设 F(x1， k1x11)， E(x2， k
16、2x21)，则x1 ， x2 ， 12 分32k116k21 1 32k216k2 1则直线 FE 的斜率为 kEF ，k2x2 k1x1x2 x1 k1 k21 16k1k2 34于是直线 FE 的方程为 y 1 .32k2116k21 1 34(x 32k116k21 1)即 y x ，则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d ，故结论成立.34 73|32 73|1 916 2315 分方法指津1直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实
17、现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算2弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2 (其中 l 为弦长， r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)r2 d2(2)根据公式： l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交点1 k2的横坐标， k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式
18、求解变式训练 2 (1)(2017金丽衢十二校高三第二次联考)如图 114，圆 M 和圆 N 与直线l： y kx 分别相切于 A， B，与 x 轴相切，并且圆心连线与 l 交于点 C，若| OM| ON|且 2 ，则实数 k 的值为( )AC CB 【导学号：68334120】9图 114A1 B. 34C. D.343D 分别过点 M， N 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E， F.由题意，得 MAC NBC，由2 ，知| MA|2| NB|.又由 x 轴与直线 y kx 是两个圆的公切线知 MON90，AC CB |MA| ME|，| NB| NF|，结合| OM| ON|，知| ME|2
19、| NF|， OME NOF，所以|OF| ME|2| NF|，所以 tan NOF ，则 tan BOFtan 2 NOF|NF|OF| 12 ，故选 D.2tan NOF1 tan2 NOF 43(2)已知点 M(1,0)， N(1,0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 距离的倍3求曲线 E 的方程；已知 m0，设直线 l1： x my10 交曲线 E 于 A， C 两点，直线 l2： mx y m0交曲线 E 于 B， D 两点 C， D 两点均在 x 轴下方当 CD 的斜率为1 时，求线段 AB 的长解 设曲线 E 上任意一点坐标为( x， y)，由题意， ， 2 分
20、 x 1 2 y2 3 x 1 2 y2整理得 x2 y24 x10，即(x2) 2 y23 为所求. 4 分由题知 l1 l2，且两条直线均恒过点 N(1,0)，设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2,0)，线段 CD 的中点为 P，则直线 EP： y x2，设直线 CD： y x t，由Error!解得点 P10. 7 分(t 22 ， t 22 )由圆的几何性质，|NP| |CD| ，12 |ED|2 |EP|2而| NP|2 2 2，| ED|23，(t 22 1) (t 22 )|EP|2 2， 2 23 2，解得 t0 或 t3，(|2 t|2 ) (t 22 1) (t 22 ) (|2 t|2 )又 C， D 两点均在 x 轴下方，直线 CD： y x.由Error! 解得Error! 或Error! 9 分设 C ， D ，(122， 22 1) (1 22， 22 1)由Error! 消去 y 得：(u21) x22( u22) x u210，(*)方程(*)的两根之积为 1，所以点 A 的横坐标xA2 ，又因为点 C 在直线 l1： x my10 上，解得 m 1， 11 分2 (122， 22 1) 2直线 l1： y( 1)( x1)，所以 A(2 ，1)，2 2同理可得， B(2 ，1)，所以线段 AB 的长为 2 . 15 分2 2
