1、前面已经研究了假设检验的基本思想，并讨论了当总体分布已知时，关于其中未知参数的假设检验问题 .,然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设 .,例如, 从1500年到1931年的432年间,每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:,Poisson分布?,对总体分布进行检验的问题称为分布的拟合检验.,第四节 分布拟合检验,K.皮尔逊,2检验法是在总体X 的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法.,基本思想:,H0：总体X的分布函数为F(x),然后根据样本的经验分布和
2、所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.这种检验通常称作拟合优度检验，它是一种非参数检验.,基本原理和步骤如下:,一、2拟合优度检验,提出原假设:,3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的值落入每个Ai的概率pi ,于是npi就是落入 Ai 的样本值的理论频数.,将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小区间（或小组）, 记作 A1, A2, , Ak .,2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记作ni ，称为实测频数. 所有实测频数之和n1+ n2+ +nk等于样本容量n.,它标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.,4. 皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:
3、,在理论分布 已知的条件下, npi是常量,实测频数,理论频数,其分布是什么?,H0：P(Ai) =pi , i=1,2,.k.,Pearson证明了如下,若原假设中的理论分布F(x)已经完全给定，那么当 n充分大时，统计量,注:若在H0下分布类型已知，但其参数未知，这时需要先用最大似然估计法估计参数，然后作检验.,Fisher证明了如下,若原假设中的理论分布F(x)中有r 个未知参数需用相应的最大似然估计来代替，那么当 n 充分大时，统计量,定理1:,定理2:,如果根据所给的样本值 x1, x2, , xn算得统计量2的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设；否则就认为差异不显著而接受原假设.,分别
4、得拒绝域:,(不需估计参数),(估计r 个参数),查2 分布表可得临界值21-,，使得,根据以上定理，对给定的显著性水平,注：皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而使用时要注意n要足够大以及npi 不太小这两个条件. 根据计算实践，要求n不小于50以及npi 不小于 5. 否则应适当合并相邻区间，使npi满足此要求 .,例1.掷一颗骰子60次，结果如下：试在 =0.05水平下检验其是否均匀? (P367),解: 这是一个分布的拟合优度检验，记出现点数i 的概率为pi , 提出假设：,检验的拒绝域为:,现在 =0.05，k=6,查表得,由样本，得检验统计量的值：,未落入拒绝域，,即认为是均匀
5、的。,例2.试检验每年爆发战争次数分布是否服从泊松分布.,解: 这是一个分布的拟合优度检验，提出假设：H0: XP(),按参数为0.69的泊松分布，计算事件X=i 的概率pi ，,将有关计算结果列表如下:,pi 的估计是,i=0,1,2,3,4,由观察值，得参数的最大似然估计为,13.91,注:将n 5的组予以合并，即将发生3次及以上次数的组归并为一组.,3,因H0所假设的理论分布中有一个未知参数，即r=1,又k=4,故自由度为4-1-1=2.,又=0.05， 查2分布表得:,未落入拒绝域，,例3.某建筑单位宣称其麾下的建筑工地每天发生的事故不超过0.6起.现记录了该建筑单位工地200天的安全
6、生产情况,数据如下,试在 =0.05水平下检验其宣称是否成立 ? (P352),分析: 先检验每天发生的事故数服从泊松分布, 这是关于总体分布的拟合优度检验, 再进行关于总体均值的大样本检验.,检验的拒绝域为:,由样本，得检验统计量的值：,故认为每年发生战争次数X服从泊松分布.,按=0.05，自由度为4-1-1=2查2分布表得,按参数为0.74的泊松分布，计算事件X=i 的概率pi ，,将有关计算结果列表如下:,pi 的估计是,i=0,1,2,3,4,5,6,由观察值，得参数的最大似然估计为,7.84,由样本得：,=3.1085.9915，,未落入否定域.,即认为X服从泊松分布.,解: 这是一
7、个分布的拟合优度检验，提出假设：H0: XP(),检验的拒绝域为:,3,例4：设,现观察了80个数值，其中落入每个区间Ai ( i=1,2,3,4) 的频数分别为6，18，20，36，试问在0.05水平下，假设总体的密度为,是否可信？在2水平下是否可信？,二、列联表的独立性检验,rc的二维列联表:,总体按两个属性A和B分类, A有r个类: A1 A2 , Ar; B有c个类: B1 ,B2, Bc. 共有rc个类. 若进行n个试验其中所属Ai又属Bj的结果有nij个, 按矩阵排列, 就得到 rc 二维列联表.,H0：P(AiBj) = pij = pi pj = P(Ai ) P(Bj), i
8、=1,2,.r. j=1,2,.c.,提出原假设:,在诸pij未知时, 检验统计量,其中 是pij的最大似然估计.,因此, 拒绝域:,n个个体可看成来自服从多项分布,P(X AiBj) = pij , i=1,2,.r. j=1,2,.c 的样本.,H0：属性A与B独立,等价于,H0为真,例5.为研究儿童智力发展与营养的关系,某研究机构调查了1436个儿童,得到下表的数据,试在显著性水平0.05下判断智力发展与营养有无关系. (P360),诸 计算结果-理论频数,例6.在某校甲、乙两班进行某种技能测试，测验成绩按优、良、中差四级给分，其结果如下表，试在显著性水平0.05下判断成绩与班级有无关系
9、。,注：特别当r =c =2时，22列联表又称为四格表.,此时统计量简化为,拒绝域为,正态概率纸,三、正态性检验,1、正态概率纸,正态概率纸上不同曲线状,2. 对每个i, 计算修正频率,首先将样本值从小到大按次序排列: x(1), x(2), , x(n).,4. 判断:若诸点在一直线附近,则认为该样本来自正态总体. 否则认为该样本不是来自正态总体.,3. 将点 逐一描在正态概率纸上.,用正态概率纸检验正态性步骤如下（要求样本量8） :,5. 若诸点不在一直线附近,即认为该样本不是来自正态总体.可选择做数据变换，如:,然后将点 逐一描在正态概率纸上, 来判断变换后的数据是否服从正态分布.,例7
10、 从一批电子元件中随机抽取10只进行寿命试验，得10个寿命时间（单位：小时） 32.4，310.7，216.5，130.0，93.0，361.3，905.3，2.2，9.7，14.1,正态概率纸上表明：这组数据不是来自正态分布,正态概率纸上表明：对数变换后的数据来自正态分布,2、Shapiro-wilk检验,步骤如下:,2. 从附表6中查得对应n的系数a1, a2, , an . 其中它们满足 ：an+1-i = - ai， i=1,2,n ;,首先将样本值从小到大按次序排列: x(1), x(2), , x(n).,注:国家标准GB/T4882-2001中规定: 样本容量n8.因为在n8时对偏离正态分布 的检验不太有效.,3. 计算检验统计量,4. 拒绝域: 可查附表7.,W检验(8n50),例8 某种防锈剂的防锈能力的试验获得容量为10的一个样本： 43.9，39.0，46.7，43.8，44.2，47.7，43.6，38.9，43.6，40.0 在这里n=10，,=0.05，从附表7查得,故拒绝域为,，接受H0,
