1、第三讲 MATLAB的 符号运算, matlab 不仅具有数值运算功能，还开发了在matlab环境下实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox,符号运算的功能,符号表达式、符号矩阵的创建符号线性代数因式分解、展开和简化符号代数方程求解符号微积分符号微分方程,一、符号运算的基本操作,1. 什么是符号运算 与数值运算的区别 数值运算中必须先对变量赋值， 然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。,2. 符号变量与符号表达式,MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和 syms，两个函数的用法不同。sym函数 sym函数用来建立单个
2、符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常 量、变量、函数或表达式。,建立符号变量,syms 函数 MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n,Note：用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,建立符号表达式,含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：利用单引号来生成符号表达式。用sym函数建立符号表达式。使用已经定义的符号变量组成符号表达式。, y=sym(
3、2*sin(x)*cos(x) y =2*sin(x)*cos(x) z=2*sin(x)*cos(x)z =2*sin(x)*cos(x),例、,例1： 把字符表达式转化为符号变量。, y=sym(2*sin(x)*cos(x) 把字符表达式转化为符号变量y =2*sin(x)*cos(x) y=simple(y) 把y符号表达式化成最简形式y =sin(2*x),例2： 求矩阵 的行列式值、逆和特征根。, syms a11 a12 a21 a22; A=a11,a12;a21,a22A = a11, a12 a21, a22 DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A)DA
4、=a11*a22-a12*a21,IA = a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21) -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)EA = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a11*a22+a222+4*a12*a21)(1/2),Note：采用syms a11 a12 a21 a21定义符号变量时，变量名之间只能用“空格符”隔离，不能采用逗号或分号。,例3： 验证
5、积分： 。, syms A t tao w; f=int(A*exp(-i*w*t),t,-tao/2,tao/2); f =i*A*(exp(-1/2*i*tao*w)-exp(1/2*i*tao*w)/w F=simple(f)F =2*A*sin(1/2*tao*w)/w,数值矩阵A=1,2;3,4A=a,b;c,d 不识别 1） 用matlab函数sym创建矩阵命令格式： A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵 需用sym指令定义 需用 标识,3. 符号矩阵的创建,例：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0)A = a, 2*b3*a, 0这就完成了一个符号矩阵的创建。,
6、Note：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别。,2）用字符串直接创建矩阵, A = a,2*b; 3*a, 0 A = a,2*b 3*a, 0 B=a,2*b;3*a,0 ? Undefined function or variable a.,数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比 较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ； A=2*a2+3*a-5等。而符号运算就不同了，所有涉及符号运算 的操作都可以用专用函数来进行。这些函数作用于 符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。,二、符号运算,1. 符号矩阵运算,符号矩阵运算的函数： symadd
7、(a,b) 符号矩阵的加 symsub(a,b) 符号矩阵的减 symmul(a,b) 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) 符号矩阵的除 sympow(a,b) 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) 符号矩阵的综合运算,例1： f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; 法： h= symadd(f,g) % 符号矩阵的加法运算 h= 3*x2+4*x-12,法： syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g h = 3*x2+4*x-12,例2： f=cos(x);g= sin(2*x); 法： symop(f,/,g,+,f,*,g) % 符号矩阵
8、的综合运算 ans = cos(x)/sin(2*x)+cos(x)*sin(2*x) 法： syms x f=cos(x);g=sin(2*x); f/g+f*g ans = cos(x)/sin(x)+cos(x)*sin(x),符号一些特殊运算函数： symsize 求符号矩阵维数 charploy 特征多项式 determ 符号矩阵行列式的值 eigensys 特征值和特征向量 inverse 逆矩阵 transpose 矩阵的转置 jordan 约当标准型 simple 符号矩阵简化,diff(f) 对f表达式的缺省变量求微分 diff(f,v) 对f表达式的指定变量v求微分 dif
9、f(f,v,n) 对f表达式的指定变量v求n阶微分 int(f) 对f表达式的缺省变量求积分 int(f,v) 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在（a,b）区间求定积分,2. 符号微积分与积分变换,微积分：,int（被积表达式，积分变量，积分上限， 积分下限） 定积分,缺省时为不定积分,积分变换： fourier(f) 付氏变换 ifourier(f) 反付氏变换 ztrans(f) Z变换 iztrans(f) 反Z变换 laplace(f) 拉氏变换 ilaplace(f) 反拉氏变换,例：, syms a t x;f=a,t3;t*cos(x),lo
10、g(x); df=diff(f)df = 0, 0 -t*sin(x), 1/x dfdt2=diff(f,t,2)dfdt2 = 0, 6*t 0, 0, dfdxdt=diff(diff(f,x),t)dfdxdt = 0, 0 -sin(x), 0,例2、计算二重不定积分, F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)F =1/y*exp(-x*y),例3、,1) 求fourier变换 syms t w ;ut=sym(Heaviside(t); uw=fourier(ut)uw =pi*Dirac(w)-i/w,2) 求fourier反变换验证 Ut=ifourier(uw,
11、w,t)Ut =1/2+1/2*Heaviside(t)-1/2*Heaviside(-t),例4、, syms t s; syms a b positive; %对常数进行限定性设置 Dt=sym(Dirac(t-a); Ut=sym(Heaviside(t-b); Ft=Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t2*exp(-t); Fs=laplace(Ft,t,s)Fs = exp(-a*s), exp(-b*s)/s b/(s+a)2+b2), 2/(s+1)3,3. 符号代数方程求解,Matlab符号运算能够解一般的线性方程、非线性方程及一般的代数方程、代数方程组。 命令
12、格式： solve(f) 求一个方程的解 solve(f1,f2, fn) 求n个方程的解, f=a*x2+b*x+c; 利用单引号来生成符号表达式。 solve(f) 对缺省变量x求解ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) solve(f , b ) %对指定变量b求解 ans = -(a*x2+c)/x,计算机 格式,一般格式,例1、 f = ax2+bx+c 求解。, f1=solve(cos(x)=sin(x),f1 =1/4*pi f2=solve(tan(2*x)=sin(x)f2 = 0 pi atan(
13、1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(-1/2*(-2*3(1/2)(1/2),1/2+1/2*3(1/2) atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)+pi -atan(1/2*2(1/2)*3(1/4)/(1/2-1/2*3(1/2)-pi,例2、符号方程cos(x)=sin(x) , tan(2*x)=sin(x)求解,法1） f=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1) f = x: 1x1 symy: 1x1 symz: 1x1 sym % f是一个构架数组，若要显示结果，必须采用f.
14、x,f.y,f.z的援引 方式。 f.x ans =2/3, f.yans =-1/2, f.zans =5/6,法2） x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1)x = 2/3y =-1/2z =5/6,符号微分方程求解函数：dsolve 命令格式：dsolve(f,g) f 微分方程，可多至12个微分方程的求解； g为初始条件 默认自变量为 x,可任意指定自变量t, u等 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示,4、符号微分方程求解 用一个函数可以方便地得到微分方程的符号解,y1,y2=dsolve(x1,x2,xn) 返回微分方程的解,例1., S=dso
15、lve(Dx=y,Dy=-x) 输出S是结构对象 S = x: 1x1 symy: 1x1 sym S.xans =cos(t)*C1+sin(t)*C2 通解 S.yans =-sin(t)*C1+cos(t)*C2,例2., y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)y =exp(-t)*sin(t)+exp(-t)*cos(t) ezplot(y),grid 方程解y(t)的时间曲线图，y是符号对象,ezplot:一元函数绘图指令 ezplot(F) 在-2pi，2pi自变量范围中，绘制F曲线 ezplot(F，xmin,xmax) 在指定自变量范围绘制F曲线,注：ezplot指令，对线没有色彩、线型控制力，不允许同时绘制多条曲线。,例：绘制 和其积分,在0，4pi区间的图形。,
