1、电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,第4章 恒定电场与恒定磁场,主要内容,基本要求,4.1 恒定电场基本方程与边界条件 4.2 恒定电场的电位与静电比拟法 4.3 恒定磁场基本方程与边界条件 4.4 矢量磁位和标量磁位 4.5 恒定磁场的能量和载流回路的电感,电磁场的分类,媒质的分类,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,主要内容,电荷在外电场作用下做定向运动就形成电流。本章重点讨论的是由恒定电流所产生的恒定电场和恒定磁场。不仅讨论恒定电场和恒定磁场的基本方程和边界条件，而且也要讨论分析恒定电场和恒定磁场的各种位函数。最后，还要介绍恒定磁场的能量和载流回路的电感。,电磁场与电
2、磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,基本要求,掌握恒定电场的基本方程和边界条件； 掌握静电比拟法以及简单恒定电场的求解；掌握磁感应强度、标量位、矢量位、磁场强度等量的基本概念； 掌握恒定磁场的基本方程和边界条件； 会利用矢量位的求解简单的恒定磁场问题； 掌握恒定磁场的能量和载流回路的电感的基本概念。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,电磁场的分类,第4章恒定电场与恒定磁场,媒质的分类,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.1 恒定电场基本方程与边界条件,4.1.1 恒定电场的基本方程 4.1.2 恒定电场的边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,导体外部
3、恒定电场的基本方程 导体内部恒定电场的基本方程,4.1.1 恒定电场的基本方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,当导体中的电流恒定时，电荷就处于动态平稳状态，其电荷分布不随时间而变化。这种恒定电荷分布在导体外部所产生的恒定电场和静止电荷所产生的静电场没有什么区别。因此，导体外部恒定电场基本方程应与无源区静电场基本方程相同，即,导体外部恒定电场的基本方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,当导体内部流过恒定电流时，导体内部的电荷密度和电流密度均不随时间而变化。导体内部的电场应为无旋场，导体内部的体电流密度的散度应为零，即,导体内部恒定电场的基本方程,电磁场与电磁波理论,
4、第4章恒定电场与恒定磁场,导体内部恒定电场的微分方程,（4.1.1）,（4.1.2）,导体内部恒定电场的积分方程,（4.1.4）,（4.1.5）,微分形式的欧姆定律,（4.1.3）,媒质的电导率,导体内部恒定电场的基本方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.1.2 恒定电场的边界条件,导体外部恒定电场的边界条件 导体内部恒定电场的边界条件 边界条件的两个应用 导体内部恒定电场的电位移矢量,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,导体外部恒定电场的边界条件,导体外部恒定电场的边界条件与无源区静电场中两种不同电介质的分界面的边界条件是相同的。,此时，在两种不同电介质的分界面是
5、没有自由面电荷的，即,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,导体内部恒定电场的边界条件可由基本方程的积分形式导出。,电场强度的切向分量和电流密度的法向分量是连续的。 电场强度的法向分量和电流密度的切向分量是不连续的。,（4.1.6）,（4.1.7）,导体内部恒定电场的边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,边界条件的两个应用,（1）接地良导体,不良导体中的电流近似地与良导体表面垂直。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,（2）理想介质中的良导体,良导体的表面只有切向电流。细导线如何弯曲，电流线如何弯曲。,边界条件的两个应用,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与
6、恒定磁场,与静电场中的电位移矢量满足同样的基本方程,后面将会证明：在线性和各向同性的均匀媒质中是不存在体电荷的，即 。,导体内部恒定电场的电位移矢量,导电媒质分界面上的面电荷密度,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.2 恒定电场的电位与静电比拟法,4.2.1 恒定电场的电位 4.2.2 恒定电场的功率损耗与电容器的漏电导 4.2.3 恒定电场的静电比拟法,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定电场的位函数,4.2.1 恒定电场的电位,恒定电场的位函数的拉普拉斯方程线性各向同性的均匀导电媒质中 ，且 为常数,（4.2.2）,线性和各向同性的均匀媒质中的体电荷密度恒为零，
7、亦即在线性和各向同性的均匀媒质中是不存在体电荷的。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,利用 和 ，可以直接由电场强度和电流密度的边界条件得到电位的边界条件，即,恒定电场电位的边界条件,一般来说导电媒质的分界面上是存在面电荷的，即,（4.2.3）,4.2.1 恒定电场的电位,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.2.2 恒定电场的功率损耗与电容器的漏电导,1. 恒定电场的功率损耗 2. 电容器的漏电导,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,1. 恒定电场的功率损耗,恒定电场的功率损耗的基本概念 焦耳定律的微分形式和积分形式 欧姆定律的微分形式和积分形式,电磁场与电
8、磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定电场的功率损耗的基本概念,当导电媒质中的电子在外电场作用下做恒定的运动而形成恒定电流时，电子在运动的过程中要不断的与原子晶格点阵上的质子发生碰撞，把自身的能量传递给质子，使晶格点阵的热运动加剧，导体温度上升，产生了热能。这就是电流的热效应，这种由电能转换来的热能称为焦耳热。所以虽然电场对电子做了功，但是电子的动能和势能并没有增加，也就是说，电子在运动过程中产生了能量损耗。并且，这种从电能到热能的转换是一种不可逆转的能量转换。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,焦耳定律的微分形式和微分形式,功率损耗导电媒质中电场在单位时间内的功率损耗,焦耳定律
9、的微分形式功率损耗密度总的功率损耗焦耳定律的积分形式,（4.2.4）,（4.2.5）,（4.2.6）,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,欧姆定律的微分形式,欧姆定律的积分形式,欧姆定律的微分形式和微分形式,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,一小段电流均匀分布的导电媒质,（4.2.7）,电阻定律,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,2. 电容器的漏电导,漏电流电容器中填充的介质材料具有一定的损耗时，在导体之间存在的电流 电容器的损耗可以用电流通过电阻或电导时所产生的热损耗来等效。 电容器的漏电导导体之间的漏电流与电位差的比值的大小，即,（4.2.8）,式中， 是
10、导体的表面积， 的方向是导体表面的外法线方向； 是导体之间的任意一条路径。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.2.3 恒定电场的静电比拟法,源外的恒定电场 无源区的静电场,导体内（源区除外）恒定电场基本方程以及边界条件与理想介质内（源区除外）静电场的基本方程和边界条件,场方程,结构方程,位函数方程,边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,静电比拟法由于导体内恒定电场的电场强度、电流密度、电导率分别与电介质中静电场的电场强度、电位移、介电常数是一一对应的，且电位又都满足拉普拉斯方程，所以可以借助静电场的计算方法或者计算结果来得到导体内恒定电场问题的解答。反之亦然。
11、这一解题思路称为静电比拟法。,恒定电场 静电场,只有无源区的静电场才能与恒定电场相比拟，并且还要有类似的边界条件。 电容器的漏电导与电容也有类似的对应关系。,4.2.3 恒定电场的静电比拟法,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,同轴电容器的电容和电导是指单位长度的电容和电导。,常见简单电容器的电容和电导,4.2.3 恒定电场的静电比拟法,例4.1.1 设在电导率为 的无限大均匀导电媒质中存在着均匀恒定电流，其体电流密度为 。若在此媒质中放入一个半径为 ，电导率为 的无限长直的导体柱，柱体的轴线与 的方向垂直。试求该导体柱内的电流密度 。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的
12、解法,解：采用静电比拟法来求解这一恒定电场问题。相对应的静电场问题在介电常数为 的无限大的理想介质中放入一个半径为 、介电常数为 的无限长直的介质柱。当外加的均匀静电场 的方向与圆柱体的轴线垂直时，试求介质柱内电场强度。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,该静电场问题与例3.6.3题是类似地，对比可得介质柱内电场强度为,根据静电比拟关系可得导体柱内的电场强度,利用欧姆定律可知导体柱内的电流密度为,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.3 恒定磁场基本方程与边界条件,恒定磁场基本方程与边界条件可以直接从第2章的麦克斯韦方程和边界条件得到，也可以对由比奥-沙伐尔定律给
13、出的体电流所产生的恒定磁场直接计算旋度和散度得到。,4.3.1 恒定磁场的基本方程 4.3.2 恒定磁场的边界条件 恒定磁场中的理想导磁体 恒定磁场边值问题的求解,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定磁场的积分方程,4.3.1 恒定磁场的基本方程,上述两式分别是磁通连续性定律和安培环路定律。,（4.3.1）,（4.3.2）,（4.3.3）,（4.3.4）,（4.3.5）,恒定磁场的微分方程,恒定磁场的结构方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定磁场与静电场的比较,方程 描述了恒定磁场的旋度特性。它表明，在空间的任一点上，磁场强度的旋度等于该点的恒定电流密度，即恒定
14、磁场是一个有旋场。在静电场中，电场强度的旋度处处为零，是一个无旋场。 方程 描述了恒定磁场的散度特性。它表明，在空间的任一点上，磁感应强度的散度都等于零，即恒定磁场是一个无源场。在静电场中，电位移的散度等于该点的体电荷密度，是一个有源场。 也就是说，在静电场中，电力线起于正电荷止于负电荷，是一些有头有尾的曲线。在恒定磁场中，不存在作为“源”的磁荷，磁力线是一些无头无尾的闭合曲线。,4.3.1 恒定磁场的基本方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,不同磁介质分界面上恒定磁场的边界条件的一般形式,4.3.2 恒定磁场的边界条件,磁感应强度的法向分量永远是连续的，而磁场强度的切向分量仅仅
15、当界面上不存在面传导电流密度时才是连续的。,（4.3.6）,（4.3.7）,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,不存在恒定的面传导电流密度时的边界条件,（4.3.9）,（4.3.8）,即使不存在面传导电流，磁场强度的法向分量和磁感应强度的切向分量也是不连续的。,4.3.2 恒定磁场的边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定磁场的折射定律在分界面上，若磁导率发生突变，则磁场的方向将发生突变。,当分界面上不存在面电流时，有,4.3.2 恒定磁场的边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定磁场中的理想导磁体,理想导磁体磁导率为无限大的媒质。 在理想导磁
16、体中不可能存在磁场，就像在理想导电体中不可能存在静电场一样。 理想导磁体表面不存在磁场强度的切向分量。磁场永远垂直于理想导磁体的表面，就像电场永远垂直于理想导电体的表面一样。 理想导磁面：处处与磁力线垂直的曲面（包括理想导磁体的表面）。 在现实世界中，理想导磁体是不存在的。但是可以将磁导率非常大的铁磁物质近似视为理想导磁体，就像将导电率很大的金属材料近似视为理想导电体一样。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,恒定磁场边值问题的求解,恒定磁场的求解与静电场一样，也可以分为分布型问题和边值型问题。 对于简单的分布型问题，只要直接利用比奥-沙伐尔定律就可以求出无限大空间内各种电流分布所产
17、生的恒定磁场。 对于恒定磁场的边值问题，就可以采用在求解静电场边值问题所采用的各种分析方法来求解。例如，直接积分法、分离变量法、镜像法以及数值计算等等。 在分析恒定磁场时，也可以像静电场一样，通过引入位函数（下一节介绍）使得求解过程变得更简单。,例4.3.1 如在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无限长直导线，该导线与导磁平面的距离为 。设导线上流有恒定电流 ，试求导磁平面上方的磁场强度。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,解：类似静电场的镜像法，在导磁平面下方的镜像位置上放置一根与原线电流相平行的恒定电流 ，用来取代导磁平面，等效地计算导磁平面上方的磁场。,电磁场与电磁波
18、理论,第3章静电场及其边值问题的解法,可以证明，为确保恒定磁场边界条件得到满足，即在导磁平面上总磁场的切向分量为零，镜像电流与原电流大小相等、方向相同，即,（4.3.12）,导磁平面上方任意点的磁场强度为,可以验证在导磁平面上磁场的切向分量为零，即 时,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.4 矢量磁位和标量磁位,4.4.1 恒定磁场的矢量磁位 4.4.2 恒定磁场的标量磁位,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,1. 矢量磁位的定义 2. 矢量磁位的积分表示式 3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程,4.4.1 恒定磁场的矢量磁位,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定
19、磁场,1. 矢量磁位的定义,矢量磁位的旋度,矢量磁位的散度,矢量磁位的散度可以任意给定。 要唯一地确定矢量磁位，还必须选定零位参考点。 矢量磁位没有物理意义，仅仅是一个计算的辅助量。,库仑条件或库仑规范,要在空间唯一地确定一个矢量场，必须同时知道这个矢量场的旋度和散度。,当产生磁场的源分布在有限的区域内时，可以取无穷远处为零位参考点。这样一来，就有 。 不同的零位参考点，矢量磁位不同，但是磁场是唯一的。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,由比奥-沙伐尔定律可得,2. 矢量磁位的积分表示式,（4.4.7）,与基本方程 比较，可得矢量磁位的积分表示式为,待定常矢量。,矢量磁位和电流是同
20、方向的。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,有限的区域内不同电流分布的矢量磁位（ ）,（4.4.8）,（4.4.16）,（4.4.17）,上式的推导还不够完整，我们还必须证明 。,2. 矢量磁位的积分表示式,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,（1）磁偶极子 的磁场,两个例子：,磁偶极距矢量,对于场点,对于 平面上的场点,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,（2）无限长直线电流 的磁场,由此可得,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,若取零矢量磁位的参考点距细导线为 ，则可得到,可以看到，只有矢量磁位与参考点的位置有关，磁场强度和磁感应强度的大小与参考点
21、的位置是无关的。,将 和 代入矢量恒等式可以得到,线性各向同性的媒质即,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,线性各向同性的均匀媒质,矢量磁位的拉普拉斯方程,线性各向同性的均匀媒质的无源区,矢量磁位的泊松方程,3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,在直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程,3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,利用矢量磁位求解恒定磁场的几点说明： 矢量磁位的求解也可以分为分布型问题和边值型问题
22、。 对于简单的分布型问题，直接利用矢量磁位的积分表示式可以求出无限大空间内各种电流分布所产生的矢量磁位，然后对矢量磁位求旋度就可以求出恒定磁场的分布。 对于边值问题，可以采用直接积分法、分离变量法以及数值方法对矢量磁位所满足的微分方程进行求解，得到包括待定常数的一般解。 待定常数的确定同样也需要用到边界条件。不过，一般情况下，并不是直接利用矢量磁位的边界条件，而是根据磁场强度和磁感应强度的边界条件来确定有用的待定常数。,3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程,例4.4.1 已知一空间电流分布，其体电流密度用圆柱坐标给出为试通过矢量磁位求算空间任一点的磁感应强度。,电磁场与电磁波理论,第3章静电
23、场及其边值问题的解法,解：空间分为有源区 和无源区 两部分，其矢量磁位分别满足矢量泊松方程和拉普拉斯方程，即,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,由对称性可知，矢量磁位仅存在 分量且亦仅与 坐标有关，也即,在圆柱坐标系下， 和 所满足的泊松方程和拉普拉斯方程分别为,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,将上述两常微分方程的两边对 直接积分，得,或写为,式中， 和 为待定常数。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,在 的地方， 不可能成为无限大，则必有 ，即,在有源区域内，磁感应强度为,在无源区域内，磁感应强度为,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其
24、边值问题的解法,解的,由此可得无源区域内磁感应强度为,依恒定磁场边界条件，在有源区与无源区的分界面上，磁场强度的切向分量应当连续，即,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.4.2 恒定磁场的标量磁位,只有在不存在传导电流的无源区域内，恒定磁场的旋度等于零，才可以定义标量磁位。,1. 标量磁位的定义和标量磁位差 2. 标量磁位的拉普拉斯方程和边界条件,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,1. 标量磁位的定义和标量磁位差,标量磁位的定义,（4.4.27）,标量磁位 只是一个计算的辅助量，单位是安培 。对应的是等磁位面。 磁场的方向垂直于等磁位面，指向标量磁位减小的方向。,电磁
25、场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,标量磁位差恒定磁场中两点之间的标量磁位差定义为磁场强度在两点之间的线积分，即,与静电场的电位差不同，标量磁位差是一个多值函数。 磁位差不仅与两点的位置有关，还与积分路径有关。,1. 标量磁位的定义和标量磁位差,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,标量磁位场中任一点与零标量磁位参考点之间的磁位差,（4.4.30）,标量磁位亦为多值函数。 标量磁位对应的恒定磁场总是一样的。 标量磁位没有积分表示式。不能直接用电流分布来表示。 标量磁位只有拉普拉斯方程。,1. 标量磁位的定义和标量磁位差,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,2. 标量磁位
26、的拉普拉斯方程和边界条件,线性各向同性的均匀媒质的无源区,（4.4.31）,标量磁位的拉普拉斯方程,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,标量磁位的边界条件,若在两种不同磁介质的分界面上不存在传导电流，则用标量磁位的边界条件和静电场中的电位边界条件类似，即,（4.4.32）,（4.4.33）,式中， 为标量磁位沿正法线方向的方向导数。界面的正法线方向规定为由第2介质指向第1介质。,2. 标量磁位的拉普拉斯方程和边界条件,例4.4.2 设有一根横截面呈圆环形状长直的均匀金属管，其内外半径分别为 和 ，导体中流有轴向的恒定电流 。当选定 处为零标量磁位的参考点时，试求空间各处的标量磁位。,
27、电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,解：如图4.4.2所示，因为电流为 方向，所以磁力线必为一系列环绕 轴的同心圆，而等标量磁位面为一系列以 为边界的半无限大平面。它表明,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,标量磁位拉普拉斯方程可简化成为,（4.4.34）,若设导体管内外的标量磁位分别为 和 ，则可以得到它们的通解为,因为设定 处为零标量磁位参考点，可以得出 ，即有,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,当 时，其标量磁位应为,由此可得 于是有,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,可以证明，这一计算结果与利用安培环路定律计算得出的结
28、果是一致的。 在导体区域内 ，由于存在着传导电流，因而不能计算这一区域内的标量磁位。,根据标量磁位可计算得出无源空间区域内的磁场强度为,（4.4.39）,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.5 恒定磁场的能量和载流回路的电感,4.5.1 恒定磁场的能量和能量密度 4.5.2 载流回路的电感,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,磁场和电场一样具有能量，因为磁场能够推动运动电荷或载流导体做功。 磁场的能量是在建立磁场时，由外力或外加的电源做功转变而来的。 讨论磁场能量时，要涉及到法拉第电磁感应定律，过程较为复杂。可以类比于静电场，直接得到恒定磁场的能量和能量密度。 磁场储能
29、和能量密度的单位分别与电场储能和电场能量密度的单位一样，为焦耳和焦耳每立方米。 磁场存在于导体回路的外部，也存在于导体回路的内部。所以，磁场能量也将分布在载流回路的内部和外部。,4.5.1 恒定磁场的能量和能量密度,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,能量密度,静电场的储能和能量密度,电场储能,能量密度,恒定磁场的储能和能量密度,磁场储能,（4.5.1）,（4.5.3）,4.5.1 恒定磁场的能量和能量密度,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,4.5.2 载流回路的电感,载流回路的电感的基本概念 单一载流回路的自感 两个相邻的载流回路互感 诺伊曼公式 自感的计算,电磁场与电
30、磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,载流回路的电感的基本概念,电容导体系统储存电场能量的能力。电感导体载流回路储存磁场的能力。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,单一载流回路的自感,（4.5.4）,单一载流回路的自感 该磁场的磁力线穿过回路 所包围的面积 所交链的磁通 与电流 比值,曲面的正法线方向与回路的环绕方向符合右手螺旋关系。 自感仅与回路的形状以及周围磁介质有关，与电流的大小无关。 如果回路是有 匝的线圈，并且通过每一匝的磁通量都是 ，则有,（4.5.5）,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,两个相邻的载流回路互感,互感 回路 中的电流 产生的磁场穿过回路 所围的
31、面积 所交链的磁通 与电流 的比值,（4.5.6）,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,互感 回路 中的电流 产生的磁场穿过回路 所围的面积 所交链的磁通 与电流 的比值,（4.5.7）,两个相邻的载流回路互感,利用矢量磁位计算回路所交链的磁通,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,计算互感的诺伊曼公式,符合实验结果互感只与两个回路的形状、相对位置以及周围的磁介质有关，而与两个回路中的电流无关。,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,诺伊曼公式,（4.5.11）,（4.5.10）,计算互感的诺伊曼公式,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,自感的计算,利用诺伊
32、曼公式计算自感,（4.5.12）,以上自感只是考虑了导线外部磁链，故又称为外自感 。 当导线具有一定截面时，导线内部同样存在磁链，而由这部分磁链与电流之间的比值定义的自感就称为内自感 。 两者之和即为总自感，即,电磁场与电磁波理论,第4章恒定电场与恒定磁场,利用磁场储能计算电感,磁场储能与电感的关系式为,只要求出了磁场的储能，利用上式就可以计算出载流回路的电感。,（4.5.14）,自感的计算,同轴线单位长度内导体中所储存的磁场能量为,例题4.5.1 试求无限长同轴线的单位长度电感。已知同轴线的内导体的半径为 ，外导体的半径为 ，外导体的厚度忽略不计。,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,解：设同轴线通过的电流为 。应用安培环路定律，求得同轴线中的磁感应强度为,在内外导体之间的区域，同轴线每单位长度所储存的磁场能量为,电磁场与电磁波理论,第3章静电场及其边值问题的解法,由此可得同轴线单位长度的总电感为,和 分别是同轴线的内电感和外电感。 如果外导体的厚度不能忽略，那么还必须考虑外导体中的储能及其对应的电感。,
