（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何（课件+习题）（打包23套）.zip

1【步步高】 （浙江通用）2017 版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.1 直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是[0，π)．2．斜率公式(1)若直线 l 的倾斜角 α ≠90°，则斜率 k＝tan_ α .(2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上，且 x1≠ x2，则 l 的斜率 k＝ .y2－ y1x2－ x13．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 y－ y0＝ k(x－ x0) 不含直线 x＝ x0斜截式 y＝ kx＋ b 不含垂直于 x 轴的直线两点式 ＝y－ y1y2－ y1 x－ x1x2－ x1 不含直线 x＝ x1 (x1≠ x2)和直线y＝ y1 (y1≠ y2)截距式 ＋ ＝1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax＋ By＋ C＝0( A2＋ B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × )(4)直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( × )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过定点 A(0， b)的直线都可以用方程 y＝ kx＋ b 表示．( × )2(7)不经过原点的直线都可以用 ＋ ＝1 表示．( × )xa yb(8)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程( y－ y1)(x2－ x1)＝( x－ x1)(y2－ y1)表示．( √ )1．直线 x－ y＋ a＝0 的倾斜角为( )3A．30° B．60°C．150° D．120°答案 B解析 化直线方程为 y＝ x＋ a，∴ k＝tan α ＝ .3 3∵0°≤ α 0，在 y 轴上的截距－ 0，故直线CA CB经过一、二、四象限，不经过第三象限．3．过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________．答案 3 x－2 y＝0 或 x＋ y－5＝0解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x－2 y＝0；当截距不为 0 时，设直线方程为 ＋ ＝1，xa ya则 ＋ ＝1，解得 a＝5，2a 3a所以直线方程为 x＋ y－5＝0.综上，直线方程为 3x－2 y＝0 或 x＋ y－5＝0.4．(教材改编)若过点 A(m,4)与点 B(1， m)的直线与直线 x－2 y＋4＝0 平行，则 m 的值为________．答案 3解析 ＝ ，∴ m＝3.4－ mm－ 1 125．直线 l 经过 A(2,1)， B(1， m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________．3答案 ∪[0，π 4] (π 2， π )解析 直线 l 的斜率 k＝ ＝1－ m2≤1.m2－ 11－ 2若 l 的倾斜角为 α ，则 tan α ≤1.又∵ α ∈[0，π)，∴ α ∈ ∪ .[0，π 4] (π 2， π )题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的倾斜角的取值范围是 ( )(α ∈ [π 6， π 3])A. B.[π 6， π 3] [π 4， π 3]C. D.[π 4， π 2] [π 4， 2π3](2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率3的取值范围为__________________．答案 (1)B (2)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)3解析 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的斜率 k＝2cos α ，因为 α ∈ ，所以 ≤cos α ≤ ，[π 6， π 3] 12 32因此 k＝2·cos α ∈[1， ]．3设直线的倾斜角为 θ ，则有 tan θ ∈[1， ]．又 θ ∈[0，π)，所以 θ ∈ ，3 [π 4， π 3]即倾斜角的取值范围是 .[π 4， π 3](2)如图，∵ kAP＝ ＝1，1－ 02－ 14kBP＝ ＝－ ，3－ 00－ 1 3∴ k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．3引申探究1．若将题(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围．解 ∵ P(－1,0)， A(2,1)， B(0， )，3∴ kAP＝ ＝ ，1－ 02－  － 1 13kBP＝ ＝ .3－ 00－  － 1 3如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 .[13， 3]2．将题(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围．解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 与 两种情况讨论．由正切[0，π 2) (π 2， π )函数图象可以看出，当 α ∈ 时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α ＝ 时，斜率不存在；当[0，π 2) π 2α ∈ 时，斜率 k∈(－∞，0)．(π 2， π )(1) 直线 xcos α ＋ y＋2＝0 的倾斜角的范围是( )3A. ∪ B. ∪[π 6， π 2) (π 2， 5π6] [0， π 6] [5π6， π )C. D.[0，5π6] [π 6， 5π6](2)已知实数 x， y 满足 2x＋ y＝8，当 2≤ x≤3 时，则 的最大值为________；最小值为yx________．答案 (1)B (2)2 23解析 (1)由 xcos α ＋ y＋2＝0 得直线斜率 k＝－ cos α .333∵－1≤cos α ≤1，∴－ ≤ k≤ .33 335设直线的倾斜角为 θ ，则－ ≤tan θ ≤ .33 33结合正切函数在 ∪ 上的图象可知，[0，π 2) (π 2， π )0≤ θ ≤ 或 ≤ θ 0， b0)，xa yb点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2 ，得 ab≥24，3a 2b 6ab从而 S△ AOB＝ ab≥12，当且仅当 ＝ 时等号成立，这时 k＝－ ＝－ ，从而所求直线方程为12 3a 2b ba 232x＋3 y－12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0 不存在 k0，且 A(a,0)、 B(0， b)、 C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________．答案 16解析 根据 A(a,0)、 B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故xa yb＋ ＝1，－ 2a － 2b所以－2( a＋ b)＝ ab.又 ab0，故 a0， b0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴， y 轴上的截距之和的最小值为( )A．1 B．2C．4 D．8答案 C解析 ∵直线 ax＋ by＝ ab (a0， b0)过点(1,1)，∴ a＋ b＝ ab，即 ＋ ＝1，1a 1b∴ a＋ b＝( a＋ b) ＝2＋ ＋(1a＋ 1b) ba ab≥2＋2 ＝4，ba·ab14当且仅当 a＝ b＝2 时上式等号成立．∴直线在 x 轴， y 轴上的截距之和的最小值为 4.12．已知 A(3,0)， B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x， y)，则 xy 的最大值是________．答案 3解析 直线 AB 的方程为 ＋ ＝1，x3 y4∵动点 P(x， y)在直线 AB 上，则 x＝3－ y，34∴ xy＝3 y－ y2＝ (－ y2＋4 y)34 34＝ [－( y－2) 2＋4]≤3.34即当 P 点坐标为 时， xy 取最大值 3.(32， 2)13．设点 A(－1,0)， B(1,0)，直线 2x＋ y－ b＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线 y＝－2 x＋ b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y＝－2 x＋ b 过点 A(－1,0)和点 B(1,0)时， b 分别取得最小值和最大值．∴ b 的取值范围是[－2,2]．14.如图，射线 OA、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交OA、 OB 于 A、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝ x 上时，求直线 AB 的方程．12解 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－ ，3315所以直线 lOA： y＝ x， lOB： y＝－ x.33设 A(m， m)， B(－ n， n)，3所以 AB 的中点 C ，(m－ 3n2 ， m＋ n2 )由点 C 在 y＝ x 上，且 A、 P、 B 三点共线得12Error!解得 m＝ ，所以 A( ， )．3 3 3又 P(1,0)，所以 kAB＝ kAP＝ ＝ ，33－ 1 3＋ 32所以 lAB： y＝ (x－1)，3＋ 32即直线 AB 的方程为(3＋ )x－2 y－3－ ＝0.3 315．已知直线 l： kx－ y＋1＋2 k＝0( k∈R)．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，△ AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线 l 的方程．(1)证明 直线 l 的方程是 k(x＋2)＋(1－ y)＝0，令Error! 解得Error!∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2 k，1＋ 2kk要使直线不经过第四象限，则必须有Error!解得 k0；当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意，故 k≥0.(3)解 由 l 的方程，得 A ， B(0,1＋2 k)．(－1＋ 2kk ， 0)依题意得Error!解得 k0.∵ S＝ ·|OA|·|OB|＝ · ·|1＋2 k|12 12 |1＋ 2kk |＝ · ＝ ≥ ×(2×2＋4)12  1＋ 2k 2k 12(4k＋ 1k＋ 4) 12＝4，“＝”成立的条件是 k0 且 4k＝ ，即 k＝ ，1k 12∴ Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2 y＋4＝0.161课时 2 范围、最值问题题型一 范围问题例 1 (2015·天津)已知椭圆 ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左焦点为 F(－ c,0)，离心率为 ，点x2a2 y2b2 33M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM被圆 x2＋ y2＝ 截得的线段的长为 c，| FM|＝ .b24 433(1)求直线 FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P在椭圆上，若直线 FP的斜率大于 ，求直线 OP(O为原点)的斜率的取值范2围．解 (1)由已知有 ＝ ，c2a2 13又由 a2＝ b2＋ c2，可得 a2＝3 c2， b2＝2 c2.设直线 FM的斜率为 k(k＞0)， F(－ c,0)，则直线 FM的方程为 y＝ k(x＋ c)．由已知，有 2＋ 2＝ 2，(kck2＋ 1) (c2) (b2)解得 k＝ .33(2)由(1)得椭圆方程为 ＋ ＝1，直线 FM的方程为 y＝ (x＋ c)，两个方程联立，消x23c2 y22c2 33去 y，整理得 3x2＋2 cx－5 c2＝0，解得 x＝－ c或 x＝ c.53因为点 M在第一象限，可得 M的坐标为 .(c，233c)由| FM|＝ ＝ . c＋ c 2＋ (233c－ 0)2 433解得 c＝1，所以椭圆的方程为 ＋ ＝1.x23 y22(3)设点 P的坐标为( x， y)，直线 FP的斜率为 t，得 t＝ ，即直线 FP的方程为 y＝ t(x＋1)( x≠－1)，与椭圆方程联立．yx＋ 1Error!消去 y，整理得 2x2＋3 t2(x＋1) 2＝6，又由已知，得 t＝ ＞ ，6－ 2x23 x＋ 1 2 2解得－ ＜ x＜－1，或－1＜ x＜0.322设直线 OP的斜率为 m，得 m＝ ，即 y＝ mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得 m2＝ － .yx 2x2 23①当 x∈ 时，有 y＝ t(x＋1)＜0，(－32， － 1)因此 m＞0，于是 m＝ ，得 m∈ .2x2－ 23 (23， 233)②当 x∈(－1,0)时，有 y＝ t(x＋1)＞0.因此 m＜0，于是 m＝－ ，2x2－ 23得 m∈ .(－ ∞ ， －233)综上，直线 OP的斜率的取值范围是 ∪ .(－ ∞ ， －233) (23， 233)思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)．3(1)求双曲线 C的方程；(2)若直线： y＝ kx＋ m(k≠0， m≠0)与双曲线 C交于不同的两点 M， N，且线段 MN的垂直平分线过点 A(0，－1)，求实数 m的取值范围．解 (1)设双曲线 C的方程为 － ＝1( a0， b0)．x2a2 y2b2由已知得： a＝ ， c＝2，3又 a2＋ b2＝ c2，得 b2＝1，∴双曲线 C的方程为 － y2＝1.x23(2)联立Error!整理得(1－3 k2)x2－6 kmx－3 m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴Error!3可得 m23k2－1 且 k2≠ ，①13设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN的中点为 B(x0， y0)，则 x1＋ x2＝ ，∴ x0＝ ＝ ，6km1－ 3k2 x1＋ x22 3km1－ 3k2∴ y0＝ kx0＋ m＝ .m1－ 3k2由题意， AB⊥ MN，∴ kAB＝ ＝－ (k≠0， m≠0)．m1－ 3k2＋ 13km1－ 3k2 1k整理得 3k2＝4 m＋1，②将②代入①，得 m2－4 m0，∴ m4.又 3k2＝4 m＋10( k≠0)，即 m－ .14∴ m的取值范围是 ∪(4，＋∞)．(－14， 0)题型二 最值问题命题点 1 利用三角函数有界性求最值例 2 过抛物线 y2＝4 x的焦点 F的直线交抛物线于 A， B两点，点 O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( )A．2 B. C．4 D．22 2答案 C解析 设直线 AB的倾斜角为 θ ，可得| AF|＝ ，| BF|＝ ，则21－ cos θ 21＋ cos θ|AF|·|BF|＝ × ＝ ≥4.21－ cos θ 21＋ cos θ 4sin2θ命题点 2 数形结合利用几何性质求最值例 3 (2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy中， P为双曲线 x2－ y2＝1 右支上的一个动点．若点 P到直线 x－ y＋1＝0 的距离大于 c恒成立，则实数 c的最大值为______________________．答案 22解析 双曲线 x2－ y2＝1 的渐近线为 x±y＝0，直线 x－ y＋1＝0 与渐近线 x－ y＝0 平行，故两平行线的距离 d＝ ＝ .由点 P到直线 x－ y＋1＝0 的距离大于 c恒成立，|1－ 0|12＋  － 1 2 224得 c≤ ，故 c的最大值为 .22 22命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例 4 设椭圆 M： ＋ ＝1 (ab0)的离心率与双曲线 x2－ y2＝1 的离心率互为倒数，且y2a2 x2b2椭圆的长轴长为 4.(1)求椭圆 M的方程；(2)若直线 y＝ x＋ m交椭圆 M于 A， B两点， P(1， )为椭圆 M上一点，求△ PAB面积的2 2最大值．解 (1)双曲线的离心率为 ，2则椭圆的离心率 e＝ ＝ ，ca 22由Error! ⇒Error!故椭圆 M的方程为 ＋ ＝1.y24 x22(2)由Error! 得 4x2＋2 mx＋ m2－4＝0，2由 Δ ＝(2 m)2－16( m2－4)0，得－2 0， b0)的渐近线与抛物线 y＝ x2＋2 有公共点，则此双曲线的x2a2 y2b2离心率的取值范围是( )A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(1,3] D．(1,3)答案 A解析 依题意可知双曲线渐近线方程为 y＝± x，与抛物线方程联立消去 y得bax2± x＋2＝0.ba∵渐近线与抛物线有交点，∴ Δ ＝ －8≥0，求得 b2≥8 a2，b2a2∴ c＝ ≥3 a，∴ e＝ ≥3.a2＋ b2ca4．若点 O和点 F分别为椭圆 ＋ ＝1 的中点和左焦点，点 P为椭圆上的任一点，则 ·x29 y28 OP→ 的最小值为________．FP→ 答案 6解析 点 P为椭圆 ＋ ＝1 上的任意一点，设 P(x， y)(－3≤ x≤3，－2 ≤ y≤2 )，依x29 y28 2 2题意得左焦点 F(－1,0)，∴ ＝( x， y)， ＝( x＋1， y)，∴ · ＝ x(x＋1)OP→ FP→ OP→ FP→ ＋ y2＝ x2＋ x＋ ＝ · 2＋ .∵－3≤ x≤3，∴ ≤ x＋ ≤ ，∴ ≤ 2≤72－ 8x29 19 (x＋ 92) 234 32 92 152 94 (x＋ 92)，2254∴ ≤ 2≤ ，∴6≤ · 2＋ ≤12，即 6≤ · ≤12.故最小值为 6.14 19(x＋ 92) 22536 19 (x＋ 92) 234 OP→ FP→ 85．已知椭圆 C1： － ＝1 与双曲线 C2： ＋ ＝1 有相同的焦点，则椭圆 C1的离心率x2m＋ 2 y2n x2m y2ne1的取值范围为________．答案 ( ，1)22解析 ∵椭圆 C1： － ＝1，x2m＋ 2 y2n∴ a ＝ m＋2， b ＝－ n， c ＝ m＋2＋ n， e ＝ ＝1＋ .∵双曲线21 21 21 21m＋ 2＋ nm＋ 2 nm＋ 2C2： ＋ ＝1，∴ a ＝ m， b ＝－ n， c ＝ m－ n，∴由条件有 m＋2＋ n＝ m－ n，则x2m y2n 2 2 2n＝－1，∴ e ＝1－ .由 m0得 m＋22， － ，∴1－ ，即211m＋ 2 1m＋ 212 1m＋ 2 12 1m＋ 212e ，而 00，10且Error! ①由 k1＋ k2＝ k1k2－1 得x2y1＋ x1y2＝ y1y2－ x1x2，将 y1＝ kx1＋ b， y2＝ kx2＋ b代入得(k2－2 k－1) x1x2＋ b(k－1)( x1＋ x2)＋ b2＝0，②将①代入②得 b2＝－2 k2＋4 k＋2.联立 Δ 0与 b2≥0 得Error!解得 k的取值范围为 ∪ .[1－ 2，1－ 22 ) (1＋ 22 ， 1＋ 2]B组 专项能力提升(时间：30 分钟)8.如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x轴上，离心率 e＝ ，过左焦点 F1作 x轴的垂线22交椭圆于 A、 A′两点，| AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于 y轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、 P′，过 P、 P′作圆心为 Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q外．求△ PP′ Q的面积 S的最大值，并写出对应的圆 Q的标准方程．解 (1)由题意知点 A(－ c,2)在椭圆上，则 ＋ ＝1. － c 2a2 22b2从而 e2＋ ＝1.由 e＝ 得 b2＝ ＝8，4b2 22 41－ e2从而 a2＝ ＝16.b21－ e2故该椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.x216 y28(2)由题意，可设 Q(x0,0)．又设 M(x， y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝( x－ x0)2＋ y2＝ x2－2 x0x＋ x ＋820 (1－x216)11＝ (x－2 x0)2－ x ＋8( x∈[－4,4])．12 20设 P(x1， y1)，由题意知， P点是椭圆上到点 Q的距离最小的点，因此，上式当 x＝ x1时取最小值，又因为 x1∈(－4,4)，且上式当 x＝2 x0时取最小值，从而 x1＝2 x0，且| QP|2＝8－ x .20由对称性知 P′( x1，－ y1)，故| PP′|＝|2 y1|，所以 S＝ |2y1||x1－ x0|＝ ×2 |x0|12 12 8(1－ x2116)＝ ＝ .2  4－ x20 x20 2 －  x20－ 2 2＋ 4当 x0＝± 时，△ PP′ Q的面积 S取到最大值 2 .2 2此时对应的圆 Q的圆心坐标为 Q(± ，0)，半径| QP|＝ ＝ ，2 8－ x20 6因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋ )2＋ y2＝6，( x－ )2＋ y2＝6.2 29.如图所示，在直角坐标系 xOy中，点 P(1， )到抛物线 C： y2＝2 px(p0)的准线的距离为12.点 M(t,1)是 C上的定点， A， B是 C上的两动点，且线段 AB的中点 Q(m， n)在直线 OM54上．(1)求曲线 C的方程及 t的值；(2)记 d＝ ，求 d的最大值．|AB|1＋ 4m2解 (1) y2＝2 px(p0)的准线为 x＝－ ，p2∴1－(－ )＝ ， p＝ ，p2 54 12∴抛物线 C的方程为 y2＝ x.又点 M(t,1)在曲线 C上，∴ t＝1.(2)由(1)知，点 M(1,1)，从而 n＝ m，即点 Q(m， m)，依题意，直线 AB的斜率存在，且不为 0，设直线 AB的斜率为 k(k≠0)，12且 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得( y1－ y2)(y1＋ y2)＝ x1－ x2，故 k·2m＝1，∴直线 AB的方程为 y－ m＝ (x－ m)，12m即 x－2 my＋2 m2－ m＝0.由Error! 消去 x，整理得 y2－2 my＋2 m2－ m＝0，∴ Δ ＝4 m－4 m20， y1＋ y2＝2 m， y1y2＝2 m2－ m.从而| AB|＝ ·|y1－ y2|1＋ 1k2＝ ·1＋ 4m2 4m－ 4m2＝2 . 1＋ 4m2  m－ m2∴ d＝ ＝2 ≤ m＋(1－ m)＝1，|AB|1＋ 4m2 m 1－ m当且仅当 m＝1－ m，即 m＝ 时，上式等号成立，12又 m＝ 满足 Δ ＝4 m－4 m20.∴ d的最大值为 1.121课时 3 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题例 1 已知椭圆 ＋ ＝1( a0， b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成x2a2 y2b2等差数列．直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、 P，与椭圆分别交于点 M、 N，各点均不重合且满足 ＝ λ 1 ， ＝ λ 2 .PM→ MQ→ PN→ NQ→ (1)求椭圆的标准方程；(2)若 λ 1＋ λ 2＝－3，试证明：直线 l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1，且(2 a)2＋(2 b)2＝2(2 c)2，又 a2＝ b2＋ c2，所以 a2＝3.所以椭圆的方程为 ＋ y2＝1.x23(2)由题意设 P(0， m)， Q(x0,0)， M(x1， y1)，N(x2， y2)，设 l 方程为 x＝ t(y－ m)，由 ＝ λ 1 知( x1， y1－ m)＝ λ 1(x0－ x1，－ y1)，PM→ MQ→ ∴ y1－ m＝－ y1λ 1，由题意 y1≠0，∴ λ 1＝ －1.my1同理由 ＝ λ 2 知 λ 2＝ －1.PN→ NQ→ my2∵ λ 1＋ λ 2＝－3，∴ y1y2＋ m(y1＋ y2)＝0，①联立Error! 得( t2＋3) y2－2 mt2y＋ t2m2－3＝0，∴由题意知 Δ ＝4 m2t4－4( t2＋3)( t2m2－3)0，②且有 y1＋ y2＝ ， y1y2＝ ，③2mt2t2＋ 3 t2m2－ 3t2＋ 3③代入①得 t2m2－3＋2 m2t2＝0，∴( mt)2＝1，由题意 mtb0)．x2a2 y2b2由已知，得Error!解得Error!∴椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)证明 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1，x24 y22可知| PF|＝  x1＋ 2 2＋ y21＝ ＝2＋ x1， x1＋ 2 2＋ 2－ x212 22同理| QF|＝2＋ x2，22|MF|＝ ＝2＋ . 1＋ 2 2＋ (62)2 22∵2| MF|＝| PF|＋| QF|，∴2 ＝4 ＋ (x1＋ x2)，(2＋22) 22∴ x1＋ x2＝2.①当 x1≠ x2时，由Error!得 x － x ＋2( y － y )＝0，21 2 21 2∴ ＝－ · .y1－ y2x1－ x2 12 x1＋ x2y1＋ y2设线段 PQ 的中点为 N(1， n)，由 kPQ＝ ＝－ ，得线段 PQ 的垂直平分线方程为y1－ y2x1－ x2 12ny－ n＝2 n(x－1)，即(2 x－1) n－ y＝0，该直线恒过一定点 A .(12， 0)②当 x1＝ x2时， P ， Q 或 P ，(1， －62) (1， 62) (1， 62)Q .(1， －62)线段 PQ 的垂直平分线是 x 轴，也过点 A .(12， 0)3综上，线段 PQ 的垂直平分线过定点 A .(12， 0)题型二 定值问题例 2 已知椭圆 C： ＋ ＝1 (ab0)的离心率是 ，其左，右顶点分别为 A1， A2， B 为短x2a2 y2b2 12轴的一个端点，△ A1BA2的面积为 2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l： x＝2 与 x 轴交于 D， P 是椭圆 C 上异于 A1， A2的动点，直线 A1P， A2P 分别交2直线 l 于 E， F 两点，求证：| DE|·|DF|为定值．(1)解 由已知，可得Error!解得 a＝2， b＝ .3故所求椭圆方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)证明 由题意可得 A1(－2,0)， A2(2,0)．设 P(x0， y0)，由题意可得－20)．(2)弦长| TS|为定值．理由如下：取曲线 C 上点 M(x0， y0)， M 到 y 轴的距离为 d＝| x0|＝ x0，圆的半径 r＝| MA|＝， x0－ 1 2＋ y20则| TS|＝2 ＝2 ，r2－ d2 y20－ 2x0＋ 1因为点 M 在曲线 C 上，所以 x0＝ ，y202所以| TS|＝2 ＝2，是定值．y20－ y20＋ 1题型三 探索性问题例 3 (2015·湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处的铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且DN＝ ON＝1， MN＝3.当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C.以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设动直线 l 与两定直线 l1： x－2 y＝0 和 l2： x＋2 y＝0 分别交于 P， Q 两点．若直线 l总与椭圆 C 有且只有一个公共点，试探究：△ OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．5解 (1)因为| OM|≤| MN|＋| NO|＝3＋1＝4，当 M， N 在 x 轴上时，等号成立；同理| OM|≥| MN|－| NO|＝3－1＝2，当 D， O 重合，即 MN⊥ x 轴时，等号成立．所以椭圆 C 的中心为原点 O，长半轴长为 4，短半轴长为 2，其方程为 ＋ ＝1.x216 y24(2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x＝4 或 x＝－4，都有 S△ OPQ＝ ×4×4＝8.12②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：y＝ kx＋ m ，由Error!(k≠ ±12)消去 y，可得(1＋4 k2)x2＋8 kmx＋4 m2－16＝0.因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 Δ ＝64 k2m2－4(1＋4 k2)(4m2－16)＝0，即 m2＝16 k2＋4.①又由Error! 可得 P ；(2m1－ 2k， m1－ 2k)同理可得 Q .(－ 2m1＋ 2k， m1＋ 2k)由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d＝ 和| PQ|＝ |xP－ xQ|，|m|1＋ k2 1＋ k2可得 S△ OPQ＝ |PQ|·d＝ |m||xP－ xQ|12 12＝ ·|m|· ＝ .②12 | 2m1－ 2k＋ 2m1＋ 2k| | 2m21－ 4k2|将①代入②得， S△ OPQ＝ ＝8 .|2m21－ 4k2| |4k2＋ 1||4k2－ 1|当 k2 时， S△ OPQ＝8 ＝8 8；14 (4k2＋ 14k2－ 1) (1＋ 24k2－ 1)当 0≤ k2b0)以抛物线 y2＝8 x 的焦点为顶点，且离心率为 .x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l： y＝ kx＋ m 与椭圆 E 相交于 A， B 两点，与直线 x＝－4 相交于 Q 点， P 是椭圆E 上一点且满足 ＝ ＋ (其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得 ·OP→ OA→ OB→ OP→ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及 · 的值；若不存在，请说明理由．TQ→ OP→ TQ→ 解 (1)抛物线 y2＝8 x 的焦点为椭圆 E 的顶点，即 a＝2.又 ＝ ，故 c＝1， b＝ .ca 12 3∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，∵ ＝ ＋ ，OP→ OA→ OB→ ∴ P(x1＋ x2， y1＋ y2)，联立Error!得(4 k2＋3) x2＋8 kmx＋4 m2－12＝0.由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－ ， y1＋ y2＝ k(x1＋ x2)＋2 m＝ .8km4k2＋ 3 6m4k2＋ 3将 P 代入椭圆 E 的方程，得 ＋ ＝1，整理，(－8km4k2＋ 3， 6m4k2＋ 3) 64k2m24 4k2＋ 3 2 36m23 4k2＋ 3 2得 4m2＝4 k2＋3.设 T(t,0)， Q(－4， m－4 k)，∴ ＝(－4－ t， m－4 k)， ＝ .TQ→ OP→ (－ 8km4k2＋ 3， 6m4k2＋ 3)即 · ＝ ＋OP→ TQ→ 32km＋ 8kmt4k2＋ 3 6m m－ 4k4k2＋ 37＝ .6m2＋ 8km＋ 8kmt4k2＋ 3∵4 k2＋3＝4 m2，∴ · ＝ ＝ ＋ .OP→ TQ→ 6m2＋ 8km＋ 8kmt4m2 32 2k 1＋ tm要使 · 为定值，OP→ TQ→ 只需 2＝ ＝ 为定值，则[2k 1＋ tm ] 4k2 1＋ t 2m2  4m2－ 3  1＋ t 2m21＋ t＝0，∴ t＝－1，∴在 x 轴上存在一点 T(－1,0)，使得 · 为定值 .OP→ TQ→ 3221．设而不求，整体代换典例 (15 分)椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左、右焦点分别是 F1、 F2，离心率为 ，过 F1x2a2 y2b2 32且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1， PF2，设∠ F1PF2的角平分线 PM 交 C的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，若 k2≠0，证明 ＋ 为定值，并求出这个定1kk1 1kk2值．思维点拨 第(3)问，可设 P 点坐标为( x0， y0)，写出直线 l 的方程；联立方程组消去 y 得关于 x 的一元二次方程，则 Δ ＝0；变为 ，把 k 与 ＋ 均用 x0， y0表示后可消1k(1k1＋ 1k2) 1k1 1k2去．规范解答解 (1)由于 c2＝ a2－ b2，将 x＝－ c 代入椭圆方程 ＋ ＝1，得 y＝± .[2 分]x2a2 y2b2 b2a由题意知 ＝1，即 a＝2 b2.2b2a又 e＝ ＝ ，所以 a＝2， b＝1.ca 328所以椭圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.[4 分]x24(2)设 P(x0， y0) (y0≠0)，又 F1(－ ，0)， F2( ，0)，3 3所以直线 PF1， PF2的方程分别为： y0x－( x0＋ )y＋ y0＝0，1PFl3 3： y0x－( x0－ )y－ y0＝0.23 3由题意知 ＝ .[6 分]|my0＋ 3y0|y20＋  x0＋ 3 2 |my0－ 3y0|y20＋  x0－ 3 2由于点 P 在椭圆上，所以 ＋ y ＝1.x204 20所以 ＝ .|m＋ 3|(32x0＋ 2)2|m－ 3|(32x0－ 2)2因为－ 0 或说明中点在曲线内部．3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1．(2015·四川)如图，椭圆 E： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的离心率是 ，点 P(0，1)在短轴 CDx2a2 y2b2 22上，且 · ＝－1.PC→ PD→ (1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A， B 两点．是否存在常数 λ ，使得 ·OA→ ＋ λ · 为定值？若存在，求 λ 的值；若不存在，请说明理由．OB→ PA→ PB→ 解 (1)由已知，点 C、 D 的坐标分别为(0，－ b)，(0， b)，10又点 P 的坐标为(0,1)，且 · ＝－1，PC→ PD→ 于是Error! 解得 a＝2， b＝ ，2所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.x24 y22(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋1， A， B 的坐标分别为( x1， y1)，(x2， y2)，联立Error! 得(2 k2＋1) x2＋4 kx－2＝0，其判别式 Δ ＝(4 k)2＋8(2 k2＋1)＞0，所以 x1＋ x2＝－ ， x1x2＝－ ，4k2k2＋ 1 22k2＋ 1从而， · ＋ λ ·OA→ OB→ PA→ PB→ ＝ x1x2＋ y1y2＋ λ [x1x2＋( y1－1)( y2－1)]＝(1＋ λ )(1＋ k2)x1x2＋ k(x1＋ x2)＋1＝ － 2λ － 4 k2＋  － 2λ － 12k2＋ 1＝－ － λ －2.λ － 12k2＋ 1所以当 λ ＝1 时，－ － λ －2＝－3，λ － 12k2＋ 1此时 · ＋ λ · ＝－3 为定值．OA→ OB→ PA→ PB→ 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时， · ＋ λ · ＝ · ＋ ·OA→ OB→ PA→ PB→ OC→ OD→ PC→ PD→ ＝－2－1＝－3.故存在常数 λ ＝1，使得 · ＋ λ · 为定值－3.OA→ OB→ PA→ PB→ 2．已知椭圆 C： ＋ ＝1 (ab0)的两焦点在 x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连x2a2 y2b2线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点 S 的动直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个(0， －13)定点 Q，使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴ b＝ c.又斜边长为112，即 2c＝2，故 c＝ b＝1， a＝ ，椭圆方程为 ＋ y2＝1.2x22(2)当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2＋ 2＝ ；(y＋13) 169当 l 与 y 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2＋ y2＝1.由Error! 得Error!故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q(0,1)．下面证明 Q(0,1)为所求：若直线 l 的斜率不存在，上述已经证明．若直线 l 的斜率存在，设直线 l： y＝ kx－ ，13A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(9＋18 k2)x2－12 kx－16＝0，Δ ＝144 k2＋64(9＋18 k2)0，x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，12k18k2＋ 9 － 1618k2＋ 9＝( x1， y1－1)， ＝( x2， y2－1)，QA→ QB→ · ＝ x1x2＋( y1－1)( y2－1)QA→ QB→ ＝(1＋ k2)x1x2－ (x1＋ x2)＋4k3 169＝(1＋ k2)· － · ＋ ＝0，－ 169＋ 18k2 4k3 12k9＋ 18k2 169∴ ⊥ ，即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0,1)．QA→ QB→ 3．已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2，0)为其右焦点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1( ab0)，且可知其左焦点为x2a2 y2b2F′(－2,0)．从而有Error! 解得Error!又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝12，故椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x216 y21212(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y＝ x＋ t.32由Error! 得 3x2＋3 tx＋ t2－12＝0.因为直线 l 与椭圆 C 有公共点，所以 Δ ＝(3 t)2－4×3×( t2－12)≥0，解得－4 ≤ t≤4 .3 3另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝4，得 ＝4，|t|94＋ 1解得 t＝±2 .13由于±2 ∉[－4 ，4 ]，13 3 3所以符合题意的直线 l 不存在．B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)4．已知直线 l： y＝ x＋ ，圆 O： x2＋ y2＝5，椭圆 E： ＋ ＝1( ab0)的离心率6y2a2 x2b2e＝ ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．33(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．(1)解 设椭圆半焦距为 c，圆心 O 到 l 的距离 d＝ ＝ ，61＋ 1 3则 l 被圆 O 截得的弦长为 2 ，所以 b＝ .2 2由题意得Error!又 b＝ ，∴ a2＝3， b2＝2.2∴椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.y23 x22(2)证明 设点 P(x0， y0)，过点 P 的椭圆 E 的切线 l0的方程为 y－ y0＝ k(x－ x0)整理得y＝ kx＋ y0－ kx0，联立直线 l0与椭圆 E 的方程Error!消去 y，得 2[kx＋( y0－ kx0)]2＋3 x2－6＝0，整理得(3＋2 k2)x2＋4 k(y0－ kx0)x＋2( kx0－ y0)2－6＝0，∵ l0与椭圆 E 相切，13∴ Δ ＝[4 k(y0－ kx0)]2－4(3＋2 k2)[2(kx0－ y0)2－6]＝0，整理得(2－ x )k2＋2 x0y0k－( y －3)＝0，20 20设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2＝－ .y20－ 32－ x20∵点 P 在圆 O 上，∴ x ＋ y ＝5，20 20∴ k1k2＝－ ＝－1.5－ x20－ 32－ x20∴两条切线斜率之积为常数－1.5．已知⊙ O： x2＋ y2＝6， P 为⊙ O 上动点，过 P 作 PM⊥ x 轴于 M， N 为 PM 上一点，且 ＝PM→ .2NM→ (1)求点 N 的轨迹 C 的方程；(2)若 A(2,1)， B(3,0)，过 B 的直线与曲线 C 相交于 D、 E 两点，则 kAD＋ kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解 (1)设 N(x， y)， P(x0， y0)，则 M(x0,0)， ＝(0，－ y0)， ＝( x0－ x，－ y)，PM→ NM→ 由 ＝ ，得Error!，PM→ 2NM→ ∴Error! ，由于点 P 在圆 O： x2＋ y2＝6 上，则有 x2＋( y)2＝6，即 ＋ ＝1.2x26 y23∴点 N 的轨迹 C 的方程为 ＋ ＝1.x26 y23(2)设 D(x1， y1)， E(x2， y2)，过点 B 的直线 DE 的方程为 y＝ k(x－3)，由Error!消去 y 得：(2 k2＋1) x2－12 k2x＋18 k2－6＝0，其中 Δ 0，故 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，12k22k2＋ 1 18k2－ 62k2＋ 1∴ kAD＋ kAE＝ ＋y1－ 1x1－ 2 y2－ 1x2－ 2＝ ＋kx1－  3k＋ 1x1－ 2 kx2－  3k＋ 1x2－ 2＝2kx1x2－  5k＋ 1  x1＋ x2 ＋ 12k＋ 4x1x2－ 2 x1＋ x2 ＋ 414＝2k·18k2－ 62k2＋ 1－  5k＋ 1 ·12k22k2＋ 1＋ 12k＋ 418k2－ 62k2＋ 1－ 2·12k22k2＋ 1＋ 4＝ ＝－2.－ 4k2＋ 42k2－ 2∴ kAD＋ kAE是定值－2.