（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用（打包4套）.zip

1【步步高】 （浙江通用）2017 版高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及运算1.导数与导函数的概念(1)函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的瞬时变化率是 ＝ limΔ x→ 0 Δ yΔ x lim Δ x→ 0，我们称它为函数 y＝ f(x)在 x＝ x0处的导数，记作 f′( x0)或f x0＋ Δ x － f x0Δ xy′| ，即 f′( x0)＝ ＝ .0xlimΔ x→ 0Δ yΔ x lim Δ x→ 0f x0＋ Δ x － f x0Δ x(2)如果函数 y＝ f(x)在开区间( a， b)内的每一点处都有导数，其导数值在( a， b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝ f(x)在开区间内的导函数.记作 f′( x)或 y′.2.导数的几何意义函数 y＝ f(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 y＝ f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝ f′( x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数f(x)＝ c(c为常数) f′( x)＝0f(x)＝ xα (α ∈Q *) f′( x)＝ αx α －1f(x)＝sin x f′( x)＝cos_ xf(x)＝cos x f′( x)＝－sin_ xf(x)＝e x f′( x)＝e xf(x)＝ ax(a0， a≠1) f′( x)＝ axln_af(x)＝ln x f′( x)＝ 1xf(x)＝log ax(a0， a≠1) f′( x)＝ 1xln a4.导数的运算法则若 f′( x)， g′( x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′( x)±g′( x)；2(2)[f(x)·g(x)]′＝ f′( x)g(x)＋ f(x)g′( x)；(3)[ ]′＝ (g(x)≠0).f xg x f′  x g x － f x g′  x[g x ]25.复合函数的导数复合函数 y＝ f(g(x))的导数和函数 y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为yx′＝ yu′· ux′，即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的乘积.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′( x0)与( f(x0))′表示的意义相同.( × )(2)求 f′( x0)时，可先求 f(x0)再求 f′( x0).( × )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )(5)函数 f(x)＝sin(－ x)的导数是 f′( x)＝cos x.( × )1. f′( x)是函数 f(x)＝ x3＋2 x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为( )13A.0 B.3 C.4 D.－73答案 B解析 ∵ f(x)＝ x3＋2 x＋1，∴ f′( x)＝ x2＋2.13∴ f′(－1)＝3.2.如图所示为函数 y＝ f(x)， y＝ g(x)的导函数的图象，那么 y＝ f(x)， y＝ g(x)的图象可能是( )答案 D3解析 由 y＝ f′( x)的图象知 y＝ f′( x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数 y＝ f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 y＝ f′( x)与 y＝ g′( x)的图象在 x＝ x0处相交，说明 y＝ f(x)与 y＝ g(x)的图象在 x＝ x0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.3.设函数 f(x)的导数为 f′( x)，且 f(x)＝ f′( )sin x＋cos x，则 f′( )＝________.π2 π4答案 － 2解析 因为 f(x)＝ f′( )sin x＋cos x，π2所以 f′( x)＝ f′( )cos x－sin x，π2所以 f′( )＝ f′( )cos －sin ，π2 π2 π2 π2即 f′( )＝－1，所以 f(x)＝－sin x＋cos x.π2f′( x)＝－cos x－sin x.故 f′( )＝－cos －sin ＝－ .π4 π4 π4 24.已知点 P在曲线 y＝ 上， α 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是4ex＋ 1__________.答案 [3π4， π )解析 ∵ y＝ ，4ex＋ 1∴ y′＝ ＝ ＝ .－ 4ex ex＋ 1 2 － 4exe2x＋ 2ex＋ 1 － 4ex＋ 1ex＋ 2∵e x0，∴e x＋ ≥2，当且仅当 ex＝ ＝1，1ex 1ex即 x＝0 时， “＝”成立.∴ y′∈[－1,0)，∴tan α ∈[－1,0).又 α ∈[0，π)，∴ α ∈ .[3π4， π )5.(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P处的切线垂直，1x则 P的坐标为________.答案 (1,1)4解析 y′＝e x，曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e 0＝1，设 P(m， n)， y＝ (x0)1x的导数为 y′＝－ (x0)，曲线 y＝ (x0)在点 P处的切线斜率 k2＝－ (m0)，因为1x2 1x 1m2两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1， n＝1，则点 P的坐标为(1,1).题型一 导数的运算例 1 求下列函数的导数：(1)y＝(3 x2－4 x)(2x＋1)；(2)y＝ x2sin x；(3)y＝3 xex－2 x＋e；(4)y＝ ；ln xx2＋ 1(5)y＝ln(2 x－5).解 (1)∵ y＝(3 x2－4 x)(2x＋1)＝6 x3＋3 x2－8 x2－4 x＝6 x3－5 x2－4 x，∴ y′＝18 x2－10 x－4.(2)y′＝( x2)′sin x＋ x2(sin x)′＝2 xsin x＋ x2cos x.(3)y′＝(3 xex)′－(2 x)′＋e′＝(3 x)′e x＋3 x(ex)′－(2 x)′＝3 xexln 3＋3 xex－2 xln 2＝(ln 3＋1)·(3e) x－2 xln 2.(4)y′＝ ln x ′  x2＋ 1 － ln x x2＋ 1 ′ x2＋ 1 2＝1x x2＋ 1 － 2xln x x2＋ 1 2＝ .x2＋ 1－ 2x2ln xx x2＋ 1 2(5)令 u＝2 x－5， y＝ln u，则 y′＝(ln u)′ u′＝ ·2＝ ，12x－ 5 22x－ 5即 y′＝ .22x－ 5思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这5样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.(1) f(x)＝ x(2 016＋ln x)，若 f′( x0)＝2 017，则 x0等于( )A.e2 B.1C.ln 2 D.e(2)若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)等于( )A.－1 B.－2C.2 D.0答案 (1)B (2)B解析 (1) f′( x)＝2 016＋ ln x＋ x× ＝2 017＋ln x，故由 f′( x0)＝2 017得 2 1x017＋ln x0＝2 017，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.(2)f′( x)＝4 ax3＋2 bx，∵ f′( x)为奇函数，且 f′(1)＝2，∴ f′(－1)＝－2.题型二 导数的几何意义命题点 1 已知切点的切线方程问题例 2 (1)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )ln x－ 2xxA.2x－ y－4＝0 B.2x＋ y＝0C.x－ y－3＝0 D.x＋ y＋1＝0(2)曲线 y＝e －2 x＋1 在点(0,2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝ x围成的三角形的面积为________.答案 (1)C (2)13解析 (1) f′( x)＝ ，则 f′(1)＝1，1－ ln xx2故该切线方程为 y－(－2)＝ x－1，即 x－ y－3＝0.(2)∵ y′＝－2e －2 x，曲线在点(0,2)处的切线斜率 k＝－2，∴切线方程为 y＝－2 x＋2，该直线与直线 y＝0 和 y＝ x围成的三角形如图所示，其中直线 y＝－2 x＋2 与 y＝ x的交点为 A( ， )，23 23∴三角形的面积 S＝ ×1× ＝ .12 23 136命题点 2 未知切点的切线方程问题例 3 (1)与直线 2x－ y＋4＝0 平行的抛物线 y＝ x2的切线方程是( )A.2x－ y＋3＝0 B.2x－ y－3＝0C.2x－ y＋1＝0 D.2x－ y－1＝0(2)已知函数 f(x)＝ xln x，若直线 l过点(0，－1)，并且与曲线 y＝ f(x)相切，则直线 l的方程为( )A.x＋ y－1＝0 B.x－ y－1＝0C.x＋ y＋1＝0 D.x－ y＋1＝0答案 (1)D (2)B解析 (1)对 y＝ x2求导得 y′＝2 x.设切点坐标为( x0， x )，则切线斜率为 k＝2 x0.20由 2x0＝2 得 x0＝1，故切线方程为 y－1＝2( x－1)，即 2x－ y－1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝ xln x上，∴设切点为( x0， y0).又∵ f′( x)＝1＋ln x，∴Error!解得 x0＝1， y0＝0.∴切点为(1,0)，∴ f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线 l的方程为 y＝ x－1，即 x－ y－1＝0.故选 B.命题点 3 和切线有关的参数问题例 4 已知 f(x)＝ln x， g(x)＝ x2＋ mx＋ (m0)，直线 l与函数 f(x)， g(x)的图象都相12 72切，且与 f(x)图象的切点为(1， f(1))，则 m等于( )A.－1 B.－3 C.－4 D.－2答案 D解析 ∵ f′( x)＝ ，1x∴直线 l的斜率为 k＝ f′(1)＝1.又 f(1)＝0，∴切线 l的方程为 y＝ x－1.g′( x)＝ x＋ m，设直线 l与 g(x)的图象的切点为( x0， y0)，则有 x0＋ m＝1， y0＝ x0－1， y0＝ x ＋ mx0＋ ， m0，1220 72于是解得 m＝－2.故选 D.命题点 4 导数与函数图象的关系例 5 如图，点 A(2,1)， B(3,0)， E(x,0)(x≥0)，过点 E作 OB的垂7线 l.记△ AOB在直线 l左侧部分的面积为 S，则函数 S＝ f(x)的图象为下图中的( )答案 D解析 函数的定义域为[0，＋∞)，当 x∈[0,2]时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量Δ S大于 0且越来越大，即斜率 f′( x)在[0,2]内大于 0且越来越大，因此，函数 S＝ f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当 x∈(2,3)时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量 Δ S大于 0且越来越小，即斜率f′( x)在(2,3)内大于 0且越来越小，因此，函数 S＝ f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当 x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量 Δ x内面积变化量 Δ S为 0，即斜率 f′( x)在[3，＋∞)内为常数 0，此时，函数图象为平行于 x轴的射线.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0， f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值： k＝ f′( x0).(2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1))，即解方程 f′( x1)＝ k.(3)若求过点 P(x0， y0)的切线方程，可设切点为( x1， y1)，由Error!求解即可.(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1) 已知函数 f(x)＝ x3－3 x，若过点 A(0,16)且与曲线 y＝ f(x)相切的直线方程为 y＝ ax＋16，则实数 a的值是________.(2)若直线 y＝2 x＋ m是曲线 y＝ xln x的切线，则实数 m的值为________.答案 (1)9 (2)－e解析 (1)先设切点为 M(x0， y0)，则切点在曲线上有 y0＝ x －3 x0，①30求导数得到切线的斜率 k＝ f′( x0)＝3 x －3，20又切线 l过 A、 M两点，所以 k＝ ，y0－ 16x0则 3x －3＝ ，②20y0－ 16x08联立①②可解得 x0＝－2， y0＝－2，从而实数 a的值为 a＝ k＝ ＝9.－ 2－ 16－ 2(2)设切点为( x0， x0ln x0)，由 y′＝( xln x)′＝ln x＋ x· ＝ln x＋1，1x得切线的斜率 k＝ln x0＋1，故切线方程为 y－ x0ln x0＝(ln x0＋1)( x－ x0)，整理得 y＝(ln x0＋1) x－ x0，与 y＝2 x＋ m比较得Error!解得 x0＝e，故 m＝－e.13.求曲线的切线方程条件审视不准致误典例 (14 分)若存在过点 O(0,0)的直线 l与曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x和 y＝ x2＋ a都相切，求a的值.易错分析 由于题目中没有指明点 O(0,0)的位置情况，容易忽略点 O在曲线y＝ x3－3 x2＋2 x上这个隐含条件，进而不考虑 O点为切点的情况.规范解答解 易知点 O(0,0)在曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x上.(1)当 O(0,0)是切点时，由 y′＝3 x2－6 x＋2，得 y′| x＝0 ＝2，即直线 l的斜率为 2，故直线 l的方程为 y＝2 x.由Error!得 x2－2 x＋ a＝0，依题意 Δ ＝4－4 a＝0，得 a＝1.[4 分](2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l与曲线 y＝ x3－3 x2＋2 x相切于点 P(x0， y0)，则y0＝ x －3 x ＋2 x0，且 k＝ y′| ＝3 x －6 x0＋2，①30 20 0x＝ 20又 k＝ ＝ x －3 x0＋2，②y0x0 20联立①②，得 x0＝ (x0＝0 舍去)，所以 k＝－ ，[4 分]32 14故直线 l的方程为 y＝－ x.14由Error!得 x2＋ x＋ a＝0，149依题意， Δ ＝ －4 a＝0，得 a＝ .[13分]116 164综上， a＝1 或 a＝ .[14分]164温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.[方法与技巧]1.f′( x0)代表函数 f(x)在 x＝ x0处的导数值；( f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即( f(x0))′＝0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.[失误与防范]1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.2.求曲线切线时，要分清在点 P处的切线与过 P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组 专项基础训练(时间：30 分钟)1.已知函数 f(x)的导函数为 f′( x)，且满足 f(x)＝2 xf′(1)＋ln x，则 f′(1)等于( )A.－e B.－1C.1 D.e答案 B解析 由 f(x)＝2 xf′(1)＋ln x，得 f′( x)＝2 f′(1)＋ .1x∴ f′(1)＝2 f′(1)＋1，则 f′(1)＝－1.2.已知曲线 y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )10A.e B.－e C. D.－1e 1e答案 C解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝ ，1x设切点为( x0，ln x0)，则 y′| ＝ ，0x1x0切线方程为 y－ln x0＝ (x－ x0)，1x0因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e，故此切线的斜率为 .1e3.已知函数 f(x)的导数为 f′( x)，且满足关系式 f(x)＝ x2＋3 xf′(2)＋ln x，则 f′(2)的值等于( )A.－2 B.2 C.－ D.94 94答案 C解析 因为 f(x)＝ x2＋3 xf′(2)＋ln x，所以 f′( x)＝2 x＋3 f′(2)＋ ，1x所以 f′(2)＝2×2＋3 f′(2)＋ ，解得 f′(2)＝－ .12 944.(2014·课标全国Ⅱ)设曲线 y＝ ax－ln( x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2 x，则 a等于( )A.0 B.1C.2 D.3答案 D解析 令 f(x)＝ ax－ln( x＋1)，则 f′( x)＝ a－ .由导数的几何意义可得在点(0,0)处1x＋ 1的切线的斜率为 f′(0)＝ a－1.又切线方程为 y＝2 x，则有 a－1＝2，∴ a＝3.5.已知 a为常数，若曲线 y＝ ax2＋3 x－ln x存在与直线 x＋ y－1＝0 垂直的切线，则实数a的取值范围是( )A. B.[－12， ＋ ∞ ) (－ ∞ ， － 12]C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]答案 A11解析 由题意知曲线上存在某点的导数为 1，所以 y′＝2 ax＋3－ ＝1 有正根，即1x2ax2＋2 x－1＝0 有正根.当 a≥0 时，显然满足题意；当 a0时，需满足 Δ ≥0，解得－ ≤ a0.综上， a≥－ .12 126.设函数 f(x)＝ x(x＋ k)(x＋2 k)(x－3 k)，若 f′(0)＝6，则 k＝________.答案 －1解析 ∵ f(x)＝ x(x＋ k)(x＋2 k)(x－3 k)＝ x4－7 k2x2－6 k3x，∴ f′( x)＝4 x3－14 k2x－6 k3，∴ f′(0)＝－6 k3＝6，解得 k＝－1.7.已知函数 f(x)＝ x3－3 x，若过点 A(0,16)且与曲线 y＝ f(x)相切的直线方程为y＝ ax＋16，则实数 a的值是________.答案 9解析 先设切点为 M(x0， y0)，则切点在曲线上有 y0＝ x －3 x0，①30求导数得到切线的斜率 k＝ f′( x0)＝3 x －3，20又切线 l过 A、 M两点，所以 k＝ ，y0－ 16x0则 3x －3＝ ，②20y0－ 16x0联立①②可解得 x0＝－2， y0＝－2，从而实数 a的值为 a＝ k＝ ＝9.－ 2－ 16－ 28.(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线 y＝ x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ ax2＋( a＋2)x＋1 相切，则 a＝________.答案 8解析 由 y＝ x＋ln x，得 y′＝1＋ ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为1xk＝ y′| x＝1 ＝2，所以切线方程为 y－1＝2( x－1)，即 y＝2 x－1，此切线与曲线y＝ ax2＋( a＋2) x＋1 相切，消去 y得 ax2＋ ax＋2＝0，得 a≠0 且 Δ ＝ a2－8 a＝0，解得a＝8.9.已知曲线 y＝ x3＋ x－2 在点 P0处的切线 l1平行于直线 4x－ y－1＝0，且点 P0在第三象限.(1)求 P0的坐标；(2)若直线 l⊥ l1，且 l也过切点 P0，求直线 l的方程.解 (1)由 y＝ x3＋ x－2，得 y′＝3 x2＋1，由已知令 3x2＋1＝4，解之得 x＝±1.当 x＝1 时， y＝0；当 x＝－1 时， y＝－4.12又∵点 P0在第三象限，∴切点 P0的坐标为(－1，－4).(2)∵直线 l⊥ l1， l1的斜率为 4，∴直线 l的斜率为－ .14∵ l过切点 P0，点 P0的坐标为(－1，－4)，∴直线 l的方程为 y＋4＝－ (x＋1)，14即 x＋4 y＋17＝0.10.设函数 f(x)＝ ax－ ，曲线 y＝ f(x)在点(2， f(2))处的切线方程为 7x－4 y－12＝0.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝ x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.解 (1)方程 7x－4 y－12＝0 可化为 y＝ x－3.74当 x＝2 时， y＝ .又 f′( x)＝ a＋ ，12 bx2于是Error! 解得Error! 故 f(x)＝ x－ .3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ 知曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为3x2y－ y0＝ (x－ x0)，(1＋ )即 y－ ＝ (x－ x0).(x0－3x0) (1＋ )令 x＝0，得 y＝－ ，6x0从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 .(0， －6x0)令 y＝ x，得 y＝ x＝2 x0，从而得切线与直线 y＝ x的交点坐标为(2 x0,2x0).所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形的面积为 S＝ |2x0|＝6.12|－ 6x0|故曲线 y＝ f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0， y＝ x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6.B组 专项能力提升(时间：20 分钟)11.已知函数 f(x)＝ ＋1， g(x)＝ aln x，若在 x＝ 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行，x1413则实数 a的值为( )A. B. C.1 D.414 12答案 A解析 由题意可知 f′( x)＝ ， g′( x)＝ ，12 ax由 f′( )＝ g′( )，得 ×( ) ＝ ，14 14 12 14 2a14可得 a＝ ，经检验， a＝ 满足题意.14 1412.曲边梯形由曲线 y＝ x2＋1， y＝0， x＝1， x＝2 所围成，过曲线 y＝ x2＋1 (x∈[1,2])上一点 P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A. B.(32， 2) (32， 134)C. D.(52， 134) (52， 2)答案 B解析 设 P(x0， x ＋1)， x0∈[1,2]，则易知曲线 y＝ x2＋1 在点 P处的切线方程为20y－( x ＋1)＝2 x0(x－ x0)，∴ y＝2 x0(x－ x0)＋ x ＋1，设 g(x)＝2 x0(x－ x0)＋ x ＋1，则 g(1)20 20 20＋ g(2)＝2( x ＋1)＋2 x0(1－ x0＋2－ x0)，∴ S 普通梯形20＝ ×1＝－ x ＋3 x0＋1＝－ 2＋ ，∴ P点坐标为 时， S 普通梯形g 1 ＋ g 22 20 (x0－ 32) 134 (32， 134)最大.13.若函数 f(x)＝ x2－ ax＋ln x存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是________.12答案 [2，＋∞)解析 ∵ f(x)＝ x2－ ax＋ln x，∴ f′( x)＝ x－ a＋ .12 1x∵ f(x)存在垂直于 y轴的切线，∴ f′( x)存在零点，即 x＋ － a＝0 有解，∴ a＝ x＋ ≥2.1x 1x14.已知曲线 f(x)＝ xn＋1 (n∈N *)与直线 x＝1 交于点 P，设曲线 y＝ f(x)在点 P处的切线与x轴交点的横坐标为 xn，则 log2 016x1＋log 2 016x2＋…＋log 2 016x2 015的值为________.答案 －1解析 f′( x)＝( n＋1) xn， k＝ f′(1)＝ n＋1，14点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝( n＋1)( x－1)，令 y＝0，得 x＝1－ ＝ ，即 xn＝ ，1n＋ 1 nn＋ 1 nn＋ 1∴ x1·x2·…·x2 015＝ × × ×…× × ＝ ，12 23 34 2 0142 015 2 0152 016 12 016则 log2 016x1＋log 2 016x2＋…＋log 2 016x2 015＝log 2 016(x1x2…x2 015)＝－1.15.已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求 a的值；(2)是否存在 k，使直线 m既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)由已知得 f′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，∵ f′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在.由已知得，直线 m恒过定点(0,9)，若直线 m是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为(x0,3x ＋6 x0＋12).20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)20＝(6 x0＋6)( x－ x0)，将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10；∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.15综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.1【步步高】 （浙江通用）2017 版高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.2 导数的应用 课时 1 导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间( a， b)内，如果 f′( x)0，那么函数 y＝ f(x)在这个区间内单调递增；如果f′( x)0，右侧 f′( x)0，那么 f(x0)是极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[ a， b]上连续的函数 f(x)在[ a， b]上必有最大值与最小值.(2)若函数 f(x)在[ a， b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[ a， b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数 f(x)在( a， b)内单调递增，那么一定有 f′( x)0.( × )(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′( x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性.( √ )(3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )(4)对可导函数 f(x)， f′( x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件.( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( √ )1.函数 f(x)＝ x2－2ln x的单调递减区间是( )A.(0,1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－1,1)答案 A解析 ∵ f′( x)＝2 x－ ＝ (x0).2x 2 x＋ 1  x－ 1x∴当 x∈(0,1)时， f′( x)0， f(x)为增函数.2.已知定义在实数集 R上的函数 f(x)满足 f(1)＝3，且 f(x)的导数 f′( x)在 R上恒有2f′( x)1，故选 A.3.已知 e为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(e x－1)( x－1) k(k＝1,2)，则( )A.当 k＝1 时， f(x)在 x＝1 处取到极小值B.当 k＝1 时， f(x)在 x＝1 处取到极大值C.当 k＝2 时， f(x)在 x＝1 处取到极小值D.当 k＝2 时， f(x)在 x＝1 处取到极大值答案 C解析 当 k＝1 时， f′( x)＝e x·x－1， f′(1)≠0，∴ x＝1 不是 f(x)的极值点.当 k＝2 时， f′( x)＝( x－1)( xex＋e x－2)，显然 f′(1)＝0，且在 x＝1 附近的左侧， f′( x)1时， f′( x)0，∴ f(x)在 x＝1 处取到极小值.故选 C.4.如图是 f(x)的导函数 f′( x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为________.答案 1解析 由题意知在 x＝－1 处 f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.5.设 10，1x x－ 1x∴函数 y＝ f(x)(1f(1)＝10，∴ xln x0⇒00，ln x2x2 ln xx 2ln x－ xln xx2  2－ x ln xx2∴( )20，即 0e时，函数 f(x)单调递减.故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞).思维升华 确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求 f′( x)；(3)解不等式 f′( x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f′( x)0). x－ 1  x＋ 1x令 y′≤0，得 00).(1)若函数 y＝ f(x)的导函数是奇函数，求 a的值；(2)求函数 y＝ f(x)的单调区间.解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.由已知得 f′( x)＝ － a.exex＋ 1∵函数 y＝ f(x)的导函数是奇函数，∴ f′(－ x)＝－ f′( x)，即 － a＝－ ＋ a，解得 a＝ .e－ xe－ x＋ 1 exex＋ 1 12(2)由(1)知 f′( x)＝ － a＝1－ － a.exex＋ 1 1ex＋ 1①当 a≥1 时， f′( x)0得(1－ a)(ex＋1)1，即 ex－1＋ ，解得 xln ，11－ a a1－ a由 f′( x)0，故 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当 a≤0 时， f′( x)0，故 f(x)在(0, )上单调递减，在( ，＋∞)上1－ a2a 1－ a2a 1－ a2a单调递增.题型三 利用函数单调性求参数例 3 设函数 f(x)＝ x3－ x2＋ bx＋ c，曲线 y＝ f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为 y＝1.13 a2(1)求 b， c的值；(2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)＝ f(x)＋2 x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围.解 (1) f′( x)＝ x2－ ax＋ b，由题意得Error!即Error!(2)由(1)得， f′( x)＝ x2－ ax＝ x(x－ a)(a0)，当 x∈(－∞，0)时， f′( x)0；当 x∈(0， a)时， f′( x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，( a，＋∞)，单调递减区间为(0， a).(3)g′( x)＝ x2－ ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′( x)＝ x2－ ax＋20时恒成立.即 － a＋ln x≤0，在 x0时恒成立.1x所以 a≥ ＋ln x，在 x0时恒成立.1x令 g(x)＝ ＋ln x(x0)，1x则 g′( x)＝－ ＋ ＝ (x0)，1x2 1x x－ 1x2由 g′( x)0，得 x1；由 g′( x)0时恒成立，即 － a＋ln x≥0，在 x0时恒成立，1x所以 a≤ ＋ln x，在 x0时恒成立，由上述推理可知此时 a≤1.1x故实数 a的取值范围是(－∞，1].22.分类讨论思想研究函数的单调性典例 (14 分)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ f(x)＋ ax2＋ bx，其中函数 g(x)的图象在点(1， g(1))处的切线平行于 x轴.(1)确定 a与 b的关系；(2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性.8思维点拨 依据 g(x)的切线条件可得 g′(1)＝0 得 a， b关系，代 g(x)后消去 b，对 a进行分类讨论确定 g′( x)的符号.规范解答解 (1)依题意得 g(x)＝ln x＋ ax2＋ bx，则 g′( x)＝ ＋2 ax＋ b.[2分]1x由函数 g(x)的图象在点(1， g(1))处的切线平行于 x轴得： g′(1)＝1＋2 a＋ b＝0，∴ b＝－2 a－1.[4 分](2)由(1)得 g′( x)＝2ax2－  2a＋ 1 x＋ 1x＝ . 2ax－ 1  x－ 1x∵函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当 a＝0 时， g′( x)＝－ .x－ 1x由 g′( x)0，得 01，[6 分]当 a0时，令 g′( x)＝0，得 x＝1 或 x＝ ，12a若 ，12a 12由 g′( x)0，得 x1或 01，即 00，得 x 或 0 时，函数 g(x)在(0， )上单调递增，12 12a在( ，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.[14 分]12a温馨提醒 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程 f′( x)＝0 是否有根；②若 f′( x)＝0 有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.(2)本题求解先分 a＝0 或 a0两种情况，再比较 和 1的大小.12a[方法与技巧]1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f′( x)0， f′( x)0时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f′( x)＝( x－2)e x0，解得 x2.2.下面为函数 y＝ xsin x＋cos x的递增区间的是( )10A.( ， ) B.(π，2π)π2 3π2C.( ， ) D.(2π，3π)3π2 5π2答案 C解析 y′＝( xsin x＋cos x)′＝sin x＋ xcos x－sin x＝ xcos x，当 x∈( ， )时，3π2 5π2恒有 xcos x0.3.若函数 f(x)＝2 x3－3 mx2＋6 x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数 m的取值范围为( )A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.(－∞， ) D.(－∞， ]52 52答案 D解析 ∵ f′( x)＝6 x2－6 mx＋6，当 x∈(2，＋∞)时， f′( x)≥0 恒成立，即 x2－ mx＋1≥0 恒成立，∴ m≤ x＋ 恒成立.1x令 g(x)＝ x＋ ， g′( x)＝1－ ，1x 1x2∴当 x2时， g′( x)0，即 g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴ m≤2＋ ＝ ，故选 D.12 524.已知函数 f(x)＝ x3＋ ax＋4，则“ a0”是“ f(x)在 R上单调递增”的( )12A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 f′( x)＝ x2＋ a，当 a≥0 时， f′( x)≥0 恒成立，32故“ a0”是“ f(x)在 R上单调递增”的充分不必要条件.5.函数 f(x)在定义域 R内可导，若 f(x)＝ f(2－ x)，且当 x∈(－∞，1)时，( x－1) f′( x)0， f(x)为增函数；11又 f(3)＝ f(－1)，且－10，解得 x3.当 x0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数.综上， f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5).10.已知函数 f(x)＝ln x， g(x)＝ ax＋ b.12(1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，求 g(x)的表达式；(2)若 φ (x)＝ － f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m的取值范围.m x－ 1x＋ 1解 (1)由已知得 f′( x)＝ ，1x∴ f′(1)＝1＝ a， a＝2.1213又∵ g(1)＝0＝ a＋ b，∴ b＝－1，12∴ g(x)＝ x－1.(2)∵ φ (x)＝ － f(x)＝ －ln x在[1，＋∞)上是减函数.m x－ 1x＋ 1 m x－ 1x＋ 1∴ φ ′( x)＝ ≤0 在[1，＋∞)上恒成立.－ x2＋  2m－ 2 x－ 1x x＋ 1 2即 x2－(2 m－2) x＋1≥0 在[1，＋∞)上恒成立，则 2m－2≤ x＋ ， x∈[1，＋∞)，1x∵ x＋ ∈[2，＋∞)，∴2 m－2≤2， m≤2.1x故实数 m的取值范围是(－∞，2].B组 专项能力提升(时间：20 分钟)11.设函数 f(x)＝ x2－9ln x在区间[ a－1， a＋1]上单调递减，则实数 a的取值范围是( )12A.10)，9x当 x－ ≤0 时，有 00 且 a＋1≤3，解得 10，解得 a－ .29 19所以 a的取值范围是(－ ，＋∞).1914.已知函数 f(x)＝－ x2＋4 x－3ln x在区间[ t， t＋1]上不单调，则 t的取值范围是12________.答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知 f′( x)＝－ x＋4－3x＝－ ， x－ 1  x－ 3x由 f′( x)＝0 得函数 f(x)的两个极值点为 1和 3，则只要这两个极值点有一个在区间( t， t＋1)内，函数 f(x)在区间[ t， t＋1]上就不单调，由 t0，故 f(x)分别在(－∞， x2)，(x1，＋∞)上是增函数；当 x∈( x2， x1)时， f′( x)0，故 f(x)在( x1， x2)上是增函数.(2)当 a0， x0时， f′( x)0，所以当 a0时， f(x)在区间(1,2)上是增函数.当 a0时， f(x)在区间(1,2)上是增函数，当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0，解得－ ≤ a0.54综上， a的取值范围是 ∪(0，＋∞).[－54， 0)