（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形（打包8套）.zip

1【步步高】 （浙江通用）2017 版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合是 S＝{ β |β ＝ k·360°＋ α ， k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝ °.π180 (180π )(3)扇形的弧长公式： l＝| α |·r，扇形的面积公式： S＝ lr＝ |α |·r2.12 123．任意角的三角函数任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，sin α ＝ y，cos α ＝ x，tan α ＝ (x≠0)．yx三个三角函数的初步性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos α R ＋ － － ＋tan α{α |α ≠ kπ＋ ， k∈Z}π 2 ＋ － ＋ －4.三角函数线2如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.三角函数线有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )(2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ )(3)角 α 终边上点 P 的坐标为(－ ， )，那么 sin α ＝ ，cos α ＝－ ；同理角 α 终边12 32 32 12上点 Q 的坐标为( x0， y0)，那么 sin α ＝ y0，cos α ＝ x0.( × )(4)α ∈(0， )，则 tan α α sin α .( √ )π 2(5)α 为第一象限角，则 sin α ＋cos α 1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 C解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和 210°角终边相同，在第三象限．2．下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )9π4A．2 kπ＋45°( k∈Z) B． k·360°＋ π( k∈Z)94C． k·360°－315°( k∈Z) D． kπ＋ (k∈Z)5π43答案 C解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ＋ (k∈Z) ，但是角度制与弧度制不能混用，9π4 9π4所以只有答案 C 正确．3．(教材改编)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin 2 C. D．2sin 12sin 1答案 C解析 设圆的半径为 r，则 sin 1＝ ，∴ r＝ ，1r 1sin 1∴2 弧度的圆心角所对弧长为 2r＝ .2sin 14. 如图所示，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于点 P，若∠ AOP＝ θ ，则点 P 的坐标是( )A．(cos θ ，sin θ ) B．(－cos θ ，sin θ )C．(sin θ ，cos θ ) D．(－sin θ ，cos θ )答案 A解析 由三角函数的定义知 Px＝cos θ ， Py＝sin θ ，故选 A.5．函数 y＝ 的定义域为________．2cos x－ 1答案 (k∈Z)[2kπ －π 3， 2kπ ＋ π 3]解析 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥ .12由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴ x∈ (k∈Z)．[2kπ －π 3， 2kπ ＋ π 3]4题型一 角及其表示例 1 (1)已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角 α 用集合可表示为________．(2)若角 α 在第三象限，则 在第________象限．α 2答案 (1) (k∈Z) (2)二或四(2kπ ＋π 4， 2kπ ＋ 56π )解析 (1)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为 ，(π 4， 56π )∴所求角的集合为 (k∈Z)．(2kπ ＋π 4， 2kπ ＋ 56π )(2)∵2 kπ＋π＜ α ＜2 kπ＋ (k∈Z)，3π2∴ kπ＋ ＜ ＜ kπ＋ π( k∈Z)．π 2 α 2 34当 k＝2 n(n∈Z)时，2 nπ＋ ＜ ＜2 nπ＋ π， 是第二象限角，π 2 α 2 34 α 2当 k＝2 n＋1( n∈Z)时，2 nπ＋ ＜ ＜2 nπ＋ π， 是第四象限角，3π2 α 2 74 α 2综上知，当 α 是第三象限角时， 是第二或第四象限角．α 2思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合 S＝{ β |β ＝2 kπ＋ α ， k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限．(1)设集合 M＝{ x|x＝ ·180°＋45°， k∈Z}， N＝{ x|x＝ ·180°＋45°，k2 k4k∈Z}，那么( )A． M＝ N B． M⊆N5C． N⊆M D． M∩ N＝∅(2)集合{ α |kπ＋ ≤ α ≤ kπ＋ ， k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )π 4 π 2答案 (1)B (2)C解析 (1)方法一 由于 M＝{ x|x＝ ·180°＋45°， k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，k2225°，…}，N＝{ x|x＝ ·180°＋45°， k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，k4225°，…}，显然有 M⊆N，故选 B.方法二 由于 M 中， x＝ ·180°＋45°＝ k·90°＋45°＝(2 k＋1)·45°，2 k＋1 是奇数；k2而 N 中， x＝ ·180°＋45°＝ k·45°＋45°＝( k＋1)·45°， k＋1 是整数，因此必有k4M⊆N，故选 B.(2)当 k＝2 n (n∈Z)时，2 nπ＋ ≤ α ≤2 nπ＋ ，此时 α 表示的范围与 ≤ α ≤ 表示π 4 π 2 π 4 π 2的范围一样；当 k＝2 n＋1 (n∈Z)时，2 nπ＋π＋ ≤ α ≤2 nπ＋π＋ ，此时 α 表示的π 4 π 2范围与 π＋ ≤ α ≤π＋ 表示的范围一样，故选 C.π 4 π 2题型二 弧度制的应用例 2 已知一扇形的圆心角为 α ，半径为 R，弧长为 l.(1)若 α ＝60°， R＝10 cm，求扇形的弧长 l；(2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角：(3)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 (1) α ＝60°＝ rad，π 3∴ l＝ α ·R＝ ×10＝ (cm)．π 3 10π3(2)由题意得Error!⇒Error!(舍去)，Error!故扇形圆心角为 .126(3)由已知得， l＋2 R＝20.所以 S＝ lR＝ (20－2 R)R＝10 R－ R2＝－( R－5) 2＋25，所以当 R＝5 时， S 取得最大值 25，12 12此时 l＝10， α ＝2.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(1)将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )A. B.π 3 π 6C．－ D．－π 3 π 6(2)已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大．答案 (1)C (2)1 2解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A、B 不正确；又因为拨快 10分钟，故应转过的角为圆周的 .16即为－ ×2π＝－ .16 π 3(2)设扇形圆心角为 α ，半径为 r，则2r＋| α |r＝4，∴| α |＝ －2.4r∴ S 扇形 ＝ |α |·r2＝2 r－ r2＝－( r－1) 2＋1，12∴当 r＝1 时，( S 扇形 )max＝1，此时| α |＝2.题型三 三角函数的概念命题点 1 三角函数定义的应用例 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8 m，－6sin 30°)，且 cos α ＝－ ，则 m 的值为( )45A．－ B.12 12C．－ D.32 327(2)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 ( )2π3A. B.(－12， 32) (－ 32， － 12)C. D.(－12， － 32) (－ 32， 12)答案 (1)B (2)A解析 (1)∵ r＝ ，64m2＋ 9∴cos α ＝ ＝－ ，－ 8m64m2＋ 9 45∴ m0，∴ ＝ ，即 m＝ .4m264m2＋ 9 125 12(2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标( x， y)满足x＝cos ＝－ ， y＝sin ＝ .2π3 12 2π3 32命题点 2 三角函数值的符号例 4 (1)若 sin α ＜0 且 tan α ＞0，则 α 是( )A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)设 θ 是第三象限角，且 ＝－cos ，则 是( )|cos θ 2| θ 2 θ 2A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin α ＜0，∴ α 的终边落在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；又 tan α ＞0，∴ α 在第一象限或第三象限，故 α 在第三象限．(2)由 θ 是第三象限角，知 为第二或第四象限角，θ 2∵ ＝－cos ，∴cos ≤0，|cos θ 2| θ 2 θ 2综上知 为第二象限角．θ 2命题点 3 三角函数线例 5 满足 cos α ≤－ 的角 α 的集合为________．128答案 Error!解析 作直线 x＝－ 交单位圆于 C、 D 两点，连接 OC、 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴12影部分)即为角 α 终边的范围，故满足条件的角 α 的集合为Error!.思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x，纵坐标 y，该点到原点的距离 r.(2)根据三角函数定义中 x、 y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦” ．(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围．(1)已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段，那么角 α 的终边在( )A． x 轴上 B． y 轴上C．直线 y＝ x 上 D．直线 y＝－ x 上(2)已知角 α 的终边经过点(3 a－9， a＋2)，且 cos α ≤0，sin α ＞0，则实数 a 的取值范围是( )A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]答案 (1)A (2)A解析 (1) ＝1，∴角 α 的终边在 x 轴上．|cos α |(2)∵cos α ≤0，sin α ＞0，∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上．∴Error! ∴－2＜ a≤3.故选 A.6．数形结合思想在三角函数中的应用典例 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 C(2,1)时， 的坐标OP→ 为________．9(2)函数 y＝lg(3－4sin 2x)的定义域为________．思维点拨 (1)点 P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找 P 点坐标和三角形边长的关系．(2)求函数的定义域可转化为解不等式－ ＜sin x＜ ，利用三角函数线可直观清晰得出32 32x 的范围．解析 (1)如图所示，过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A，过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B.因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 ＝2，即圆心角∠ PCA＝2，PA则∠ PCB＝2－ ，所以| PB|＝sin(2－ )＝－cos 2，π 2 π 2|CB|＝cos(2－ )＝sin 2，π 2所以 xP＝2－| CB|＝2－sin 2， yP＝1＋| PB|＝1－cos 2，所以 ＝(2－sin 2,1－cos 2)．OP→ (2) ∵3－4sin 2x＞0，∴sin 2x＜ ，34∴－ ＜sin x＜ .32 32利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x∈ (k∈Z)．(kπ －π 3， kπ ＋ π 3)答案 (1)(2－sin 2,1－cos 2)(2) (k∈Z)(kπ －π 3， kπ ＋ π 3)10温馨提醒 (1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置．[方法与技巧]1．在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．| OP|＝ r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[失误与防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1．给出下列四个命题：( )①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；3π4 4π3③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个答案 C解析 － 是第三象限角，故①错误. ＝π＋ ，从而 是第三象限角，②正3π4 4π3 π 3 4π3确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 α ∈(0，π)的弧度数为( )11A. B.π 3 π 2C. D．23答案 C解析 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 r，3所以 r＝ α ·r，∴ α ＝ .3 33．已知 α 是第二象限角， P(x， )为其终边上一点，且 cos α ＝ x，则 x 等于( )524A. B．±3 3C．－ D．－2 3答案 D解析 依题意得 cos α ＝ ＝ x＜0，xx2＋ 5 24由此解得 x＝－ .34．若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sin α ＋cos α ＜0 B．tan α －sin α ＜0C．cos α －tan α ＜0 D．tan α sin α ＜0答案 B解析 α 是第三象限角，sin α ＜0，cos α ＜0，tan α ＞0，则可排除 A、C、D，故选 B.5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若 sin α ＝sin β ，则 α 与 β 的终边相同；⑤若 cos θ 0，tan θ 0；与－2 200°终边相同的角是－40°，所以－2 200°是第四象限角，则 cos(－2 200)°0；－ －10－3π，7π2所以－10 是第二象限角，则 tan(－10)0.1413．已知点 P(sin α －cos α ，2)在第二象限，则 α 的一个变化区间是( )A. B.(－π 2， π 2) (－ π 4， 3π4)C. D.(－3π4， π 4) (π 2， π )答案 C解析 ∵ P(sin α －cos α ，2)在第二象限，∴sin α cos α ，∴ α 的一个变化区间是 .(－3π4， π 4)14．在直角坐标系中， O 是原点， A 点坐标为( ，－1)，将 OA 绕 O 逆时针旋转 450°到 B3点，则 B 点的坐标为________．答案 (1， )3解析 设 B(x， y)，由题意知| OA|＝| OB|＝2，∠ BOx＝60°，且点 B 在第一象限，∴ x＝2cos 60°＝1， y＝2sin 60°＝ ，3∴ B 点的坐标为(1， )．315．如图所示，动点 P， Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度，π 3点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度，求点 P，点 Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标π 6及 P， Q 点各自走过的弧长．解 设 P， Q 第一次相遇时所用的时间是 t，则 t· ＋ t·|－ |＝2π.π 3 π 6所以 t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为 4 秒．设第一次相遇点为 C，第一次相遇时 P 点和 Q 点已运动到终边在 ·4＝ 的位置，π 3 4π3则 xC＝－cos ·4＝－2， yC＝－sin ·4＝－2 .π 3 π 3 3所以 C 点的坐标为(－2，－2 )．3P 点走过的弧长为 π·4＝ π，43 163Q 点走过的弧长为 π·4＝ π.23 831【步步高】 （浙江通用）2017 版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α ＋cos 2α ＝1.(2)商数关系： ＝tan α .sin αcos α2．下列各角的终边与角 α 的终边的关系角 2kπ＋ α (k∈Z) π＋ α － α图示与角 α 终边的关系相同 关于原点对称 关于 x 轴对称角 π－ α － απ 2 ＋ απ 2图示与角 α 终边的关系关于 y 轴对称 关于直线 y＝ x 对称3.六组诱导公式组数 一 二 三 四 五 六角2kπ＋ α (k∈Z)π＋ α － α π－ α － απ 2＋ απ 2正弦 sin_α －sin_ α－sin_αsin_α cos_α cos_α余弦 cos_α －cos_ α cos_α －cos_ α sin_α－sin_α2正切 tan_α tan_α－tan_α－tan_ α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若 α ， β 为锐角，则 sin2α ＋cos 2β ＝1.( × )(2)若 α ∈R，则 tan α ＝ 恒成立．( × )sin αcos α(3)sin(π＋ α )＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶π 2数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )1．(教材改编)已知 α 是第二象限角，sin α ＝ ，则 cos α 等于( )513A．－ B．－ C. D.513 1213 513 1213答案 B解析 ∵sin α ＝ ， α 是第二象限角，513∴cos α ＝－ ＝－ .1－ sin2α12132．已知 sin θ ＋cos θ ＝ ， θ ∈ ，则 sin θ －cos θ 的值为( )43 (0， π 4)A. B．－23 23C. D．－13 13答案 B解析 ∵sin θ ＋cos θ ＝ ，∴sin θ cos θ ＝ .43 718又∵(sin θ －cos θ )2＝1－2sin θ cos θ ＝ ，293∴sin θ －cos θ ＝ 或－ .23 23又∵ θ ∈ ，∴sin θ －cos θ ＝－ .(0，π 4) 233．已知 sin(π－ α )＝log 8 ，且 α ∈(－ ，0)，则 tan(2π－ α )的值为( )14 π 2A．－ B.255 255C．± D.255 52答案 B解析 sin(π－ α )＝sin α ＝log 8 ＝－ ，14 23又 α ∈(－ ，0)，得 cos α ＝ ＝ ，π 2 1－ sin2α 53tan(2π－ α )＝tan(－ α )＝－tan α ＝－ ＝ .sin αcos α 2554．(2015·江苏启东中学月考)化简：＝________.tan π ＋ α  cos 2π ＋ α  sin(α － 3π2)cos － α － 3π  sin － 3π － α 答案 －1解析 原式＝ ＝－1.tan α ·cos α ·cos α － cos α  ·sin α5．已知函数 f(x)＝Error!则 f[f(2 016)]＝________.答案 －1解析 ∵ f[f(2 016)]＝ f(2 016－16)＝ f(2 000)，∴ f(2 000)＝2cos ＝2cos π＝－1.2 000π3 23题型一 同角三角函数关系式的应用例 1 (1)已知 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ 等于( )A．－ B.43 54C．－ D.34 454(2)(2015·贵阳模拟)已知 sin α cos α ＝ ，且 ＜ α ＜ ，则 cos α －sin α 的值为18 5π4 3π2( )A．－ B.32 32C．－ D.34 34答案 (1)D (2)B解析 (1)由于 tan θ ＝2，则 sin2θ ＋sin θ cos θ －2cos 2θ＝sin2θ ＋ sin θ cos θ － 2cos2θsin2θ ＋ cos2θ＝sin2θcos2θ ＋ sin θ cos θcos2θ － 2sin2θcos2θ ＋ 1＝ ＝tan2θ ＋ tan θ － 2tan2θ ＋ 1 22＋ 2－ 222＋ 1＝ .45(2)∵ ＜ α ＜ ，5π4 3π2∴cos α ＜0，sin α ＜0 且 cos α sin α ，∴cos α －sin α ＞0.又(cos α －sin α )2＝1－2sin α cos α ＝1－2× ＝ ，18 34∴cos α －sin α ＝ .32思维升华 (1)利用 sin2α ＋cos 2α ＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin sin αcos αα ＋cos α ，sin α cos α ，sin α －cos α 这三个式子，利用(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α ＋cos 2α ，sin 2α ＝1－cos 2α ，cos 2α ＝1－sin 2α .已知 sin α －cos α ＝ ， α ∈(0，π)，则 tan α 等于( )2A．－1 B．－22C. D．1225答案 A解析 由Error!消去 sin α 得：2cos 2α ＋2 cos α ＋1＝0，2即( cos α ＋1) 2＝0，2∴cos α ＝－ .22又 α ∈(0，π)，∴ α ＝ ，3π4∴tan α ＝tan ＝－1.3π4题型二 诱导公式的应用例 2 (1)已知 sin ＝ ，则 cos(π－2 α )的值为( )(2 015π2 ＋ α ) 13A. B．－ C. D．－13 13 79 79(2)已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( )sin kπ ＋ α sin α cos kπ ＋ α cos αA．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)C (2)C解析 (1)因为 sin ＝ ，所以 cos α ＝ ，(2 015π2 ＋ α ) 13 13所以 cos(π－2 α )＝－cos 2 α ＝－(2cos 2α －1)＝－ ＝ .故选 C.(29－ 1) 79(2)当 k 为偶数时， A＝ ＋ ＝2；sin αsin α cos αcos αk 为奇数时， A＝ － ＝－2.－ sin αsin α cos αcos α∴ A 的值构成的集合是{2，－2}．思维升华(1)诱导公式用法的一般思路①化大角为小角．②角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍．π 2 π 2(2)常见的互余和互补的角6①常见的互余的角： － α 与 ＋ α ； ＋ α 与 － α ； ＋ α 与 － α 等．π 3 π 6 π 3 π 6 π 4 π 4②常见的互补的角： ＋ θ 与 － θ ； ＋ θ 与 － θ 等．π 3 2π3 π 4 3π4(1)已知 sin ＝ ，(π 3－ α ) 12则 cos ＝________.(π 6＋ α )(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.答案 (1) (2)112解析 (1)∵ ＋ ＝ ，(π 3－ α ) (π 6＋ α ) π 2∴cos ＝cos(π 6＋ α ) [π 2－ (π 3－ α )]＝sin ＝ .(π 3－ α ) 12(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝ × ＋ × ＝1.32 32 12 12题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例 3 (1)已知 α 为锐角，且有 2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0，tan(π＋ α )π 2＋6sin(π＋ β )－1＝0，则 sin α 的值是( )A. B. C. D.355 377 31010 13(2)已知 sin α 是方程 5x2－7 x－6＝0 的根， α 是第三象限角，则·tan2(π－ α )sin － α － 32π  cos 32π － α cos π 2－ α  sin π 2＋ α ＝________________________________________________________________________.答案 (1)C (2)－9167解析 (1)2tan(π－ α )－3cos( ＋ β )＋5＝0 化简为π 2－2tan α ＋3sin β ＋5＝0，①tan(π＋ α )＋6sin(π＋ β )－1＝0 化简为tan α －6sin β －1＝0.②由①②消去 sin β ，解得 tan α ＝3.又 α 为锐角，根据 sin2α ＋cos 2α ＝1，解得 sin α ＝ .31010(2)∵方程 5x2－7 x－6＝0 的根为－ 或 2，35又 α 是第三象限角，∴sin α ＝－ ，35∴cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α45∴tan α ＝ ＝ ＝ ，sin αcos α－ 35－ 45 34∴原式＝ ·tan2α ＝－tan 2α ＝－ .cos α  － sin α sin α ·cos α 916思维升华 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1)已知 sin ＝ ， α ∈ ，则 sin(π＋ α )等于( )(π 2＋ α ) 35 (0， π 2)A. B．－35 35C. D．－45 45(2)已知 sin(π－ α )－cos(π＋ a)＝ ，则 sin α －cos α 等于( )23(π 2＜ α ＜ π )A．0 B.12C. D.32 43答案 (1)D (2)D8解析 (1)由已知 sin ＝ ，(π 2＋ α ) 35得 cos α ＝ ，35∵ α ∈ ，(0，π 2)∴sin α ＝ ，45∴sin(π＋ α )＝－sin α ＝－ .45(2)由 sin(π－ α )－cos(π＋ α )＝ ，23得 sin α ＋cos α ＝ ①，23将①两边平方得 1＋2sin α cos α ＝ ，29故 2sin α cos α ＝－ ，79所以(sin α －cos α )2＝1－2sin α cos α＝1－ ＝ .(－79) 169又 ＜ α ＜π，π 2所以 sin α ＞0，cos α ＜0，则 sin α －cos α ＝ .437．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知 sin α ＝ ，则 tan(α ＋π)＋ ＝________.255sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α )(2)在△ ABC 中，若 sin(2π－ A)＝－ sin(π－ B)， cos A＝－ cos(π－ B)，则2 3 2C＝________.思维点拨 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．9解析 (1)∵sin α ＝ ＞0，255∴ α 为第一或第二象限角．tan(α ＋π)＋ ＝tan α ＋sin(5π2＋ α )cos(5π2－ α ) cos αsin α＝ ＋ ＝ .sin αcos α cos αsin α 1sin α cos α①当 α 是第一象限角时，cos α ＝ ＝ ，1－ sin2 α55原式＝ ＝ .1sin α cos α 52②当 α 是第二象限角时，cos α ＝－ ＝－ ，1－ sin2α55原式＝ ＝－ .1sin α cos α 52综上①②，原式＝ 或－ .52 52(2)由已知得Error!① 2＋② 2得 2cos2A＝1，即 cos A＝± ，22当 cos A＝ 时，cos B＝ ，22 32又 A、 B 是三角形的内角，∴ A＝ ， B＝ ，∴ C＝π－( A＋ B)＝ π.π 4 π 6 712当 cos A＝－ 时，cos B＝－ .22 32又 A、 B 是三角形的内角，∴ A＝ π， B＝ π，不合题意．34 56综上， C＝ π.712答案 (1) 或－ (2) π52 52 712温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤．10(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan x＝ 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ ±cos sin xcos xθ )2＝1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ ＋cos 2θ ＝cos 2θ (1＋tan 2θ )＝sin 2θ ＝tan ＝…；(4)运用相关角(1＋1tan2θ ) π 4的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1．(2015·福建)若 sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于( )513A. B．－125 125C. D．－512 512答案 D解析 ∵sin α ＝－ ，且 α 为第四象限角，∴cos α ＝ ，513 1213∴tan α ＝ ＝－ ，故选 D.sin αcos α 5122．已知 sin(π－ α )＝－2sin( ＋ α )，则 sin α ·cos α 等于( )π 211A. B．－25 25C. 或－ D．－25 25 15答案 B解析 由 sin(π－ α )＝－2sin( ＋ α )得 sin α ＝－2cos α ，π 2∴tan α ＝－2，∴sin α ·cos α ＝ ＝ ＝－ ，故选 B.sin α ·cos αsin2α ＋ cos2α tan α1＋ tan2α 253．若角 α 的终边落在第三象限，则 ＋ 的值为( )cos α1－ sin2 α 2sin α1－ cos2 αA．3 B．－3C．1 D．－1答案 B解析 由角 α 的终边落在第三象限得 sin α ＜0，cos α ＜0，故原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2cos α|cos α | 2sin α|sin α | cos α－ cos α 2sin α－ sin α＝－3.4．已知 2tan α ·sin α ＝3，－ α 0，则 sin α 等于( )π 2A. B．－32 32C. D．－12 12答案 B解析 由 2tan α ·sin α ＝3 得， ＝3，2sin2αcos α即 2cos2α ＋3cos α －2＝0，又－ α 0，π 2解得 cos α ＝ (cos α ＝－2 舍去)，故 sin α ＝－ .12 325．已知函数 f(x)＝ asin(π x＋ α )＋ bcos(π x＋ β )，且 f(4)＝3，则 f(2 017)的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3答案 D解析 ∵ f(4)＝ asin(4π＋ α )＋ bcos(4π＋ β )12＝ asin α ＋ bcos β ＝3，∴ f(2 017)＝ asin(2 017π＋ α )＋ bcos(2 017π＋ β )＝ asin(π＋ α )＋ bcos(π＋ β )＝－ asin α － bcos β＝－3.6．已知 α 为钝角，sin( ＋ α )＝ ，则 sin( － α )π 4 34 π 4＝_________________________________.答案 －74解析 因为 α 为钝角，所以 cos( ＋ α )＝－ ，π 4 74所以 sin( － α )＝cos[ －( － α )]＝cos( ＋ α )＝－ .π 4 π 2 π 4 π 4 747．化简： ＝________.sin2 α ＋ π  ·cos π ＋ α  ·cos － α － 2π tan π ＋ α  ·sin3 π 2＋ α  ·sin － α － 2π 答案 1解析 原式＝ ＝ ＝1.sin2α · － cos α  ·cos αtan α ·cos3α · － sin α  sin2α cos2αsin2α cos2α8．已知 cos ＝ a，则 cos ＋sin 的值是________．(π 6－ θ ) (5π6＋ θ ) (2π3－ θ )答案 0解析 ∵cos ＝cos(5π6＋ θ ) [π － (π 6－ θ )]＝－cos ＝－ a.(π 6－ θ )sin ＝sin ＝cos ＝ a，(2π3－ θ ) [π 2＋ (π 6－ θ )] (π 6－ θ )∴cos ＋sin ＝0.(5π6＋ θ ) (2π3－ θ )9．已知 α 为第二象限角，则 cos α ＋sin α · ＝________.1＋ tan2α1＋ 1tan2α答案 0解析 原式＝cos α ＋sin α 1＋ sin2αcos2α 1＋ cos2αsin2α＝cos α ＋sin α 1cos2 α 1sin2α13＝cos α ＋sin α1－ cos α 1sin α＝0.10．已知 sin(3π＋ α )＝2sin ，求下列各式的值：(3π2＋ α )(1) ；sin α － 4cos α5sin α ＋ 2cos α(2)sin2α ＋sin 2 α .解 由已知得 sin α ＝2cos α .(1)原式＝ ＝－ .2cos α － 4cos α5×2cos α ＋ 2cos α 16(2)原式＝sin2α ＋ 2sin α cos αsin2α ＋ cos2α＝ ＝ .sin2α ＋ sin2αsin2α ＋ 14sin2α 85B 组 专项能力提升(时间：15 分钟)11．已知 sin(π＋ θ )＝－ cos(2π－ θ )，| θ |＜ ，则 θ 等于( )3π 2A．－ B．－π 6 π 3C. D.π 6 π 3答案 D解析 ∵sin(π＋ θ )＝－ cos(2π－ θ )，3∴－sin θ ＝－ cos θ ，3∴tan θ ＝ .3∵| θ |＜ ，π 2∴ θ ＝ .π 312．若 A， B 是锐角△ ABC 的两个内角，则点 P(cos B－sin A，sin B－cos A)在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析 ∵△ ABC 是锐角三角形，则 A＋ B＞ ，π 214∴ A＞ － B＞0， B＞ － A＞0，π 2 π 2∴sin A＞sin ＝cos B，(π 2－ B)sin B＞sin ＝cos A，(π 2－ A)∴cos B－sin A＜0，sin B－cos A＞0，∴点 P 在第二象限，选 B.13．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝ f(x)＋sin x． 当 0≤ x＜π 时， f(x)＝0，则 f等于( )(23π6 )A. B.12 32C．0 D．－12答案 A解析 由已知，得 f ＝ f ＋sin π(23π6 ) (176π ) 176＝ f ＋sin π＋sin π(116π ) 116 176＝ f ＋sin π＋sin π＋sin π(56π ) 56 116 176＝0＋ ＋ ＋ ＝ .12 (－ 12) 12 1214．已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 2x－ y＝0 上，则＝________.sin 3π2＋ θ  ＋ cos π － θ sin π 2－ θ  － sin π － θ 答案 2解析 由题意可得 tan θ ＝2，原式＝ ＝ ＝2.－ cos θ － cos θcos θ － sin θ － 21－ tan θ15．若 tan α ＝ ， α ∈(π，2π)，则 cos α ＝________.1m答案 －m1＋ m21＋ m2解析 由 tan α ＝ ＝ 和 sin2α ＋cos 2α ＝1，sin αcos α 1m15得 cos2α ＝ ，m21＋ m2当 m＞0 时， α 为第三象限角，cos α ＜0，所以 cos α ＝－ ＝－ ；m21＋ m2 m1＋ m21＋ m2当 m＜0 时， α 为第四象限角，cos α ＞0，所以 cos α ＝ ＝－ .m21＋ m2 m1＋ m21＋ m2故 cos α ＝－ .m1＋ m21＋ m2