（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何（课件+习题）（打包15套）.zip

第 1讲 空 间 几何体的三 视图 、直 观图 、表面 积 与体 积最新考 纲 1.认识 柱、 锥 、台、球及其 简单组 合体的结 构特征 ， 并能运用 这 些特征描述 现实 生活中 简单物体的 结 构； 2.能画出 简单 空 间图 形 (长 方体、球、圆 柱、 圆锥 、棱柱等的 简 易 组 合 )的三 视图 ， 能 识别上述三 视图 所表示的立体模型 ， 会用斜二 测 法画出它们 的直 观图 ； 3.会用平行投影的方法画出 简单 空 间图形的三 视图 与直 观图 ，了解空 间图 形的不同表示形式； 4.了解球、柱、 锥 、台的表面 积 和体 积 的 计 算公式 .知 识 梳 理1.空 间 几何体的 结 构特征平行且相等全等相似矩形直角 边直角腰直径2.空 间 几何体的三 视图空 间 几何体的三 视图 是用 得到， 这 种投影下与投影面平行的平面 图 形留下的影子与平面 图 形的形状和大小是 的，三 视图 包括 、 、 .正投影完 全相同 正 视图 侧视图 俯 视图3.空 间 几何体的直 观图空 间 几何体的直 观图 常用斜二 测 画法来画，其 规则 是：(1)原 图 形中 x轴 、 y轴 、 z轴 两两垂直，直 观图 中， x′轴 、y′轴 的 夹 角 为 45°(或 135°)， z′轴 与 x′轴 、 y′轴 所在平面垂直 .4.柱、 锥 、台和球的 侧 面 积 和体 积2πrhπrlSh(2)原 图 形中平行于坐 标轴 的 线 段，直 观图 中仍分 别 平行于坐 标轴 .平行于 x轴 和 z轴 的 线 段在直 观图 中保持原 长 度不变 ，平行于 y轴 的 线 段 长 度在直 观图 中 变为 原来的一半 .Ch Sh4πR25.几何体的表面 积(1)棱柱、棱 锥 、棱台的表面 积 就是 .(2)圆 柱、 圆锥 、 圆 台的 侧 面展开 图 分 别 是 、、 ；它 们 的表面 积 等于 与底面面 积 之和 .各面面 积 之和矩形扇形 扇 环 侧 面 积诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )(1)有两个面平行，其余各面都是平行四 边 形的几何体是棱柱 .( )(2)有一个面是多 边 形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥 .( )(3)正方体、球、 圆锥 各自的三 视图 中，三 视图 均相同 .( )(4)锥 体的体 积 等于底面面 积 与高之 积 .( )(5)圆 柱的一个底面 积为 S， 侧 面展开 图 是一个正方形，那么 这 个 圆 柱的 侧 面 积 是 2πS.( )×××××2.(2014·新 课标 全国 Ⅰ 卷 )如 图 ，网格纸 的各小格都是正方形，粗 实线 画出的是一个几何体的三 视图 ， 则这个几何体是 ( )A.三棱 锥 B.三棱柱 C.四棱 锥 D.四棱柱解析 由 题 知 ， 该 几何体的三 视图为 一个三角形、两个四 边 形 ， 经 分析可知 该 几何体 为 三棱柱 ， 故 选 B.答案 B3.（ 2016·海 盐 高 级 中学高三 检测 ） 某几何体的三 视图 (单 位： cm)如 图 所示， 则该 几何体的表面 积 是 ()A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2解析 由三 视图 画出几何体的直 观图 ， 如 图 所示 ， 长 方体的 长、 宽 、高分 别为 6 cm， 4 cm， 3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形 ， 边长 分 别为 3 cm， 4 cm， 5 cm， 所以表面 积 S＝ (4× 6＋ 3× 6＋ 3× 4)× 2－ 3× 3＋ 3× 4＋2× × 4× 3＋ 5× 3＝ 138(cm2)， 选 D.答案 D答案 D5.(2015·江 苏 卷 )现 有橡皮泥制作的底面半径 为 5，高 为 4的圆锥 和底面半径 为 2、高 为 8的 圆 柱各一个 .若将它 们 重新制作成 总 体 积 与高均保持不 变 ，但底面半径相同的新的圆锥 和 圆 柱各一个， 则 新的底面半径 为 ________.考点一 空 间 几何体的三 视图 与直 观图【例 1】 (1)(2016·嘉 兴 高三 联 考 )已知一个三棱 锥 的俯 视图 与 侧视图 如 图 所示，俯 视图 是 边长为 2的正三角形， 侧视图 是有一条直角 边为 2的直角三角形， 则该 三棱 锥 的正 视图 可能 为 ( )(2)已知正 △ AOB的 边长为 a，建立如 图 所示的直角坐 标 系xOy， 则 它的直 观图 的面 积 是 ________.解析 (1)由已知条件得直 观图 如 图 所示 ， PC⊥ 底面 ABC， 正 视图 是直角三角形 ， 中 间 的 线 是看不 见 的 线 PA形成的投影 ， 应为 虚 线 ， 故 选 C.规 律方法 (1)三 视图 中 ， 正 视图 和 侧视图 一 样 高 ，正 视图 和俯 视图 一 样长 ， 侧视图 和俯 视图 一 样宽 .即 “ 长对 正 ， 宽 相等 ， 高平 齐 ”. (2)解决有关 “ 斜二测 画法 ” 问题时 ， 一般在已知 图 形中建立直角坐 标系 ， 尽量运用 图 形中原有的垂直直 线 或 图 形的 对 称 轴为 坐 标轴 ， 图 形的 对 称中心 为 原点 ， 注意两个 图 形中关 键线 段 长 度的关系 .【 训练 1】 (1)一个几何体的三 视图 如 图 所示， 则该 几何体可以是 ( )A.棱柱 B.棱台 C.圆 柱 D.圆 台(2)如 图 ，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图 形的直观图 ，其中 O′A′＝ 6 cm， C′D′＝ 2 cm， 则 原 图 形是 ( )A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四 边 形解析 (1)(排除法 )由正 视图 和 侧视图 可知 ， 该 几何体不可能是 圆 柱 ， 排除 选项 C；又由俯 视图 可知 ， 该 几何体不可能是棱柱或棱台，排除 选项 A， B， 故 选 D.答案 (1)D (2)C考点二 空 间 几何体的表面 积【例 2】 (1)(2015·安徽卷 )一个四面体的三 视图 如 图 所示， 则该四面体的表面 积 是 ( )答案 (1)C (2)A规 律方法 (1)已知几何体的三 视图 求其表面 积 ， 一般是先根据三 视图 判断空 间 几何体的形状 ， 再根据 题目所 给 数据与几何体的表面 积 公式求其表面 积 .(2)多面体的表面 积 是各个面的面 积 之和 ， 组 合体的表面 积应 注意重合部分的 处 理 .【 训练 2】 (1)(2015·全国 Ⅰ 卷 )圆 柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径 为 r)组 成一个几何体， 该 几何体三 视图 中的正 视图 和俯 视图 如 图 所示 .若 该 几何体的表面 积为 16＋ 20π， 则 r＝ ( )A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2015·北京卷 )某三棱 锥 的三 视图 如 图 所示， 则该 三棱锥 的表面 积 是 ( )第 2讲 空间点、线、面的位置关系最新考 纲 1.理解空 间 直 线 、平面位置关系的定 义 ，并了解有关的可以作 为 推理依据的公理和定理； 2.能运用公理、定理和已 获 得的 结论证 明一些空 间图 形的位置关系的 简单 命 题 .知 识 梳 理1.平面的公理与定理(1)公理 1：如果一条直 线 上的 在一个平面内，那么 这 条直线 在此平面内 .(2)公理 2： 过 的三点，有且只有一个平面 .三个推 论推 论 1： 经过 一条直 线 和 这 条直 线 外一点有且只有一个平面；推 论 2： 经过 两条 直 线 有且只有一个平面；推 论 3： 经过 两条 直 线 有且只有一个平面 .不在同一条直 线 上两点相交平行2.空 间 中两直 线 的位置关系平行相交任何(3)公理 3：如果两个不重合的平面有 _______公共点，那么它 们 有且只有一条 过该 点的公共直 线 .(4)公理 4：平行于同一条直 线 的两条直 线 互相平行 .(5)等角定理：空 间 中如果两个角的两 边 分 别对应 平行，那么 这 两个角 _____________.一个相等或互 补 .3.空 间 直 线 与平面、平面与平面的位置关系(1)直 线 与平面的位置关系有 、 、 三种情况 .(2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况 .相交 平行 在平面内平行 相交(2)异面直 线 所成的角① 定 义 ： 设 a， b是两条异面直 线 ， 经过 空 间 任一点 O作直 线 a′∥ a， b′∥ b，把 a′与 b′所成的______________叫做异面直 线 a与 b所成的角 (或 夹 角).② 范 围 ： _____________.锐 角 (或直角 )诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )×√×√×2.下列命 题 正确的个数 为 ( )① 经过 三点确定一个平面； ② 梯形可以确定一个平面； ③ 两两相交的三条直 线 最多可以确定三个平面； ④ 如果两个平面有三个公共点， 则这 两个平面重合A.0 B.1 C.2 D.3解析 经过 不共 线 的三点可以确定一个平面 ， ∴① 不正确；两条平行 线 可以确定一个平面 ， ∴② 正确；两两相交的三条直 线 可以确定一个或三个平面 ， ∴③ 正确；命 题 ④ 中没有 说 明三个交点是否共 线 ， ∴④ 不正确 .答案 C3.若直 线 l1和 l2是异面直 线 ， l1在平面 α内， l2在平面 β内， l是平面 α与平面 β的交 线 ， 则 下列命 题 正确的是 ( )A.l与 l1， l2都不相交B.l与 l1， l2都相交C.l至多与 l1， l2中的一条相交D.l至少与 l1， l2中的一条相交解析 如 图 1， l1与 l2是异面直 线 ， l1与 l平行 ， l2与 l相交， 故 A， B不正确；如 图 2， l1与 l2是异面直 线 ， l1， l2都与 l相交 ， 故 C不正确 ， 选 D.答案 D4.如 图 所示是正方体和正四面体， P， Q， R， S分 别 是所在棱的中点， 则 四个点共面的 图 形的序号是 ________.解析 可 证 ① 中的四 边 形 PQRS为 梯形； ② 中 ，如 图 所示 ， 取 A1A和 BC的中点分 别为 M， N， 可证 明 PMQNRS为 平面 图 形 ， 且 PMQNRS为 正六边 形； ③ 中 ， 可 证 四 边 形 PQRS为 平行四 边 形；④ 中 ， 可 证 Q点所在棱与面 PRS平行 ， 因此 ， P， Q， R， S四点不共面 .答案 ①②③5.(人教 A必修 2P52B1(2)改 编 )如 图 ，在正方体 ABCD－ A′B′C′D′中， AB的中点 为 M， DD′的中点 为 N， 则异面直 线 B′M与 CN所成的角是 ________.答案 90°考点一 平面基本性 质 的 应 用【例 1】 如 图 所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中， E， F分 别 是 AB和 AA1的中点 .求 证 ：(1)E， C， D1， F四点共面；(2)CE， D1F， DA三 线 共点 .证 明 (1)连 接 EF， CD1， A1B.∵ E，F分 别 是 AB， AA1的中点，∴ EF∥ BA1.又 A1B∥ D1C，∴ EF∥ CD1，∴ E， C， D1， F四点共面 .(2)∵ EF∥ CD1， EFCD1，∴ CE与 D1F必相交， 设 交点 为 P，则 由 P∈ CE， CE⊂ 平面 ABCD，得 P∈ 平面 ABCD.同理 P∈ 平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1＝ DA，∴ P∈ 直 线 DA.∴ CE， D1F， DA三 线 共点 .规 律方法 公理 1是判断一条直 线 是否在某个平面的依据；公理 2及其推 论 是判断或 证 明点、 线 共面的依据；公理 3是证 明三 线 共点或三点共 线 的依据 .要能 够 熟 练 用文字 语 言、符号 语 言、 图 形 语 言来表示公理 .考点二 空 间 两条直 线 的位置关系【例 2】 (1)（ 2016·温岭中学模 拟 ） 在 图 中， G， N， M，H分 别 是正三棱柱 (两底面 为 正三角形的直棱柱 )的 顶 点或所在棱的中点， 则 表示直 线 GH， MN是异面直 线 的图 形有 ________(填上所有正确答案的序号 ).(2)(2016·余姚模 拟 )如 图 ，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，M， N分 别 是 BC1， CD1的中点， 则 下列 说 法 错误 的是 ( )A.MN与 CC1垂直 B.MN与 AC垂直C.MN与 BD平行 D.MN与 A1B1平行解析 (1)图 ① 中 ， 直 线 GH∥ MN； 图 ② 中 ， G， H，N三点共面 ， 但 M∉面 GHN， N∉GH， 因此直 线 GH与MN异面； 图 ③ 中 ， 连 接 MG， GM∥ HN， 因此 GH与MN共面； 图 ④ 中 ， G， M， N共面 ， 但 H∉面 GMN，G∉MN， 因此 GH与 MN异面 .所以 图 ②④ 中 GH与 MN异面 .(2)如 图 ， 连 接 C1D， BD， AC，在 △ C1DB中 ， MN∥ BD， 故 C正确； ∵ CC1⊥ 平面 ABCD， BD⊂平面 ABCD， ∴ CC1⊥ BD，∴ MN与 CC1垂直 ， 故 A正确；∵ AC⊥ BD， MN∥ BD，∴ MN与 AC垂直 ， 故 B正确；∵ A1B1与 BD异面 ， MN∥ BD，∴ MN与 A1B1不可能平行 ，故 D错误 ， 选 D.答案 (1)②④ (2)D规 律方法 空 间 中两直 线 位置关系的判定 ，主要是异面、平行和垂直的判定， 对 于异面直 线 ，可采用直接法或反 证 法； 对 于平行直 线 ，可利用三角形 (梯 形 )中位 线 的性 质 、平行公理及 线 面平行与面面平行的性 质 定理； 对 于垂直关系 ，往往利用 线 面垂直的性 质 来解决 .【 训练 2】 如 图 ，已知不共面的三条直 线 a， b， c相交于点 P， A∈ a，B∈ a， C∈ b， D∈ c，求 证 ： AD与BC是异面直 线 .证 明 法一 (反 证 法 )假 设 AD和 BC共面，所确定的平面 为 α，那么点 P， A， B， C， D都在平面 α内，∴ 直 线 a， b， c都在平面 α内，与已知条件 a， b， c不共面矛盾，假 设 不成立，∴ AD和 BC是异面直 线 .法二 (直接 证 法 )∵ a∩ c＝ P， ∴ 它 们 确定一个平面， 设为 α，由已知 C∉平面 α，B∈ 平面 α， BC⊄平面 α， AD⊂ 平面 α，B∉AD， ∴ AD和 BC是异面直 线 .考点三 异面直 线 所成的角【例 3】 （ 2016·金 华联 考 ） 如 图 ，在四棱 锥 P－ ABCD中，底面是 边长为 2的菱形， ∠ DAB＝ 60°， 对 角 线 AC与 BD交于点 O， PO⊥ 平面 ABCD， PB与平面 ABCD所成角 为60°.(1)求四棱 锥 的体 积 ；(2)若 E是 PB的中点，求异面直 线 DE与 PA所成角的余弦 值.规 律方法 求异面直 线 所成的角常用方法是平移法 ，平移的方法一般有三种 类 型：利用 图 中已有的平行 线平移；利用特殊点 (线 段的端点或中点 )作平行 线 平移； 补 形平移 .【 训练 3】 已知三棱 锥 A－ BCD中， AB＝ CD，且直 线 AB与 CD所成的角 为 60°，点 M， N分 别 是 BC， AD的中点，求直 线 AB和 MN所成的角的大小 .第 3讲 直线、平面平行的判定与性质最新考 纲 1.以立体几何的有关定 义 、公理和定理 为出 发 点 ， 认识 和理解空 间 中 线 面平行、面面平行的有关性 质 与判定定理 ， 并能 够证 明相关性 质 定理； 2.能运用 线 面平行、面面平行的判定及性 质 定理 证 明一些空 间图 形的平行关系的 简单 命 题 .知 识 梳 理1.直 线 与平面平行一条直 线 与此平面内的一条直 线交 线2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定 义没有公共点的两个平面叫做平行平面 .(2)判定定理与性 质 定理相交直 线平行交 线诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” )××××√解析 l∥ α， m⊂ α⇒ l∥ m或 l与 m异面； l∥ m，m⊂ α⇒ l∥ α或 l⊂ α， 故 选 D.答案 D3.下列命 题 中， 错误 的是 ( )A.平面内一个三角形各 边 所在的直 线 都与另一个平面平行， 则这 两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行， 则 位于 这 两个平面内的直 线 也互相平行D.若两个平面平行， 则 其中一个平面内的直 线 平行于另一个平面解析 由面面平行的判定定理和性 质 知 A， B， D正确 .对 于C， 位于两个平行平面内的直 线 也可能异面 .答案 C4.(2015·安徽卷 )已知 m， n是两条不同直 线 ， α， β是两个不同平面， 则 下列命 题 正确的是 ( )A.若 α， β垂直于同一平面， 则 α与 β平行B.若 m， n平行于同一平面， 则 m与 n平行C.若 α， β不平行， 则 在 α内不存在与 β平行的直 线D.若 m， n不平行， 则 m与 n不可能垂直于同一平面解析 对 于 A， α， β垂直于同一平面 ， α， β关系不确定 ， A错 ； 对 于 B， m， n平行于同一平面 ， m， n关系不确定 ， 可平行、相交或异面 ， 故 B错 ； 对 于 C， α，β不平行 ， 但 α内能找出平行于 β的直 线 ， 如 α中平行于α， β交 线 的直 线 平行于 β， 故 C错 ； 对 于 D， 若假 设 m， n垂直于同一平面 ， 则 m∥ n， 其逆否命 题 即 为 D选项 ， 故 D正确 .答案 D5.(人教 A必修 2P56练习 2改 编 )如 图 ，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E为 DD1的中点， 则 BD1与平面 AEC的位置关系 为________.解析 连 接 BD， 设 BD∩ AC＝ O， 连 接 EO， 在 △ BDD1中 ， O为 BD的中点 ， 所以 EO为 △ BDD1的中位 线 ， 则BD1∥ EO， 而 BD1⊄平面 ACE， EO⊂ 平面 ACE， 所以BD1∥ 平面 ACE.答案 平行考点一 线 面平行的判定与性 质(2)连 接 FH， OH， ∵ F， H分 别 是 PC， CD的中点，∴ FH∥ PD，又 PD⊂ 平面 PAD，FH⊄平面 PAD， ∴ FH∥ 平面 PAD.又 ∵ O是 BE的中点， H是 CD的中点，∴ OH∥ AD，又 AD⊂ 平面 PAD，OH⊄平面 PAD， ∴ OH∥ 平面 PAD.又 FH∩ OH＝ H， ∴ 平面 OHF∥ 平面 PAD.又 ∵ GH⊂ 平面 OHF， ∴ GH∥ 平面 PAD.规 律方法 (1)证 明直 线 与平面平行的关 键 是 设 法在平面内找到一条与已知直 线 平行的直 线 ， 可利用几何体的特征 ，合理利用中位 线 定理、 线 面平行的性 质 ， 或者构造平行四边 形等 证 明两直 线 平行 .注意 说 明已知的直 线 不在平面内 .(2)判断或 证 明 线 面平行的方法： ① 线 面平行的定 义 (反 证法 )； ② 线 面平行的判定定理； ③ 面面平行的性 质 定理 .考点二 面面平行的判定与性 质【例 2】 如 图 ，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， S是 B1D1的中点， E， F， G分 别 是 BC， DC， SC的中点，求 证 ：(1)直 线 EG∥ 平面 BDD1B1；(2)平面 EFG∥ 平面 BDD1B1.证 明 (1)如 图 ， 连 接 SB，∵ E， G分 别 是 BC， SC的中点，∴ EG∥ SB.又 ∵ SB⊂ 平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1，∴ 直 线 EG∥ 平面 BDD1B1.(2)连 接 SD，∵ F， G分 别 是 DC， SC的中点， ∴ FG∥ SD.又 ∵ SD⊂ 平面 BDD1B1， FG⊄平面 BDD1B1，∴ FG∥ 平面 BDD1B1，且 EG⊂ 平面 EFG，FG⊂ 平面 EFG， EG∩ FG＝ G，∴ 平面 EFG∥ 平面 BDD1B1.规 律方法 判定面面平行的常用方法：(1)面面平行的定 义 ， 即判断两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一条直 线 的两平面平行；(4)平面平行的 传递 性 ， 即两个平面同 时 平行于第三个平面 ， 则这 两个平面平行 .(1)证 明 由 题设 知， BB1綉 DD1， ∴ 四 边 形 BB1D1D是平行四 边 形， ∴ BD∥ B1D1.又 BD⊄平面 CD1B1，B1D1⊂ 平面 CD1B1， ∴ BD∥ 平面 CD1B1.∵ A1D1綉 B1C1綉 BC，∴ 四 边 形 A1BCD1是平行四 边 形， ∴ A1B∥ D1C.考点三 平行关系中的探索性 问题【例 3】 （ 2016·宁波 调 研 ） 在如 图 所示的多面体中，四 边形 ABB1A1和 ACC1A1都 为 矩形 .(1)若 AC⊥ BC， 证 明：直 线 BC⊥ 平面 ACC1A1；(2)设 D， E分 别 是 线 段 BC， CC1的中点，在 线 段 AB上是否存在一点 M，使直 线 DE∥ 平面 A1MC？ 请证 明你的 结论 .(1)证 明 因 为 四 边 形 ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1⊥ AB， AA1⊥ AC.因 为 AB， AC为 平面 ABC内两条相交直 线 ，所以 AA1⊥ 平面 ABC.因 为 直 线 BC⊂ 平面 ABC，所以 AA1⊥ BC.又 AC⊥ BC， AA1， AC为 平面 ACC1A1内两条相交直 线 ，所以 BC⊥ 平面 ACC1A1.从而四 边 形 MDEO为 平行四 边 形，则 DE∥ MO.因 为 直 线 DE⊄平面 A1MC， MO⊂ 平面 A1MC，所以直 线 DE∥ 平面 A1MC，即 线 段 AB上存在一点 M(线 段 AB的中点 )，使直 线 DE∥ 平面 A1MC.规 律方法 解决探究性 问题 一般先假 设 求解的 结 果存在 ， 从 这 个 结 果出 发 ， 寻 找使 这 个 结论 成立的充分条件 ， 如果找到了使 结论 成立的充分条件 ， 则 存在；如果找不到使 结论 成立的充分条件 (出 现 矛盾 )， 则 不存在 .而 对 于探求点的 问题 ， 一般是先探求点的位置， 多 为线 段的中点或某个三等分点 ， 然后 给 出符合要求的 证 明 .第 4讲 直 线 、平面垂直的判定与性 质最新考 纲 1.以立体几何的有关定 义 、公理和定理 为出 发 点 ， 认识 和理解空 间 中 线 面垂直、面面垂直的有关性 质 与判定定理 ，并能 够证 明相关性 质 定理； 2.能运用 线 面垂直、面面垂直的判定及性 质 定理 证 明一些空 间图 形的垂直关系的 简单 命 题 .知 识 梳 理1.直 线 与平面垂直(1)直 线 和平面垂直的定 义如果一条直 线 l与平面 α内的 直 线 都垂直，就 说 直 线 l与平面 α互相垂直 .任意(2)判定定理与性 质 定理两条相交直 线平行l⊥ al⊥ ba⊂ αb⊂ αa⊥ αb⊥ α2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定 义两个平面相交，如果它 们 所成的二面角是 ，就 说这 两个平面互相垂直直二面角(2)判定定理与性 质 定理垂 线交 线l⊥ αl⊂ βα⊥ βα∩β＝ al⊥ al⊂ β4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直 线 出 发 的 ______________所 组 成的 图 形叫做二面角 .(2)二面角的平面角： 过 二面角棱上的任一点，在两个半平面内分 别 作与棱 _________的射 线 ， 则 两射 线 所成的角叫做二面角的平面角 .两个半平面垂直诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) (1)直 线 l与平面 α内无数条直 线 都垂直， 则 l⊥ α.( )(2)过 一点作已知直 线 的垂面有且只有一个 .( )(3)若两条直 线 垂直， 则这 两条直 线 相交 .( )(4)若两平面垂直， 则 其中一个平面内的任意一条直 线 垂直于另一个平面 .( )(5)若平面 α内的一条直 线 垂直于平面 β内的无数条直 线， 则 α⊥ β.( )×√×××2.设 平面 α与平面 β相交于直 线 m，直 线 a在平面 α内，直 线 b在平面 β内，且 b⊥ m， 则 “ α⊥ β” 是 “ a⊥ b” 的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若 α⊥ β， 因 为 α∩ β＝ m， b⊂ β， b⊥ m， 所以根据两个平面垂直的性 质 定理可得 b⊥ α， 又 a⊂ α， 所以 a⊥ b；反过 来 ， 当 a∥ m时 ， 因 为 b⊥ m， 且 a， m共面 ， 一定有 b⊥ a， 但不能保 证 b⊥ α， 所以不能推出 α⊥ β.故 选 A.答案 A3.(2015·浙江卷 )设 α， β是两个不同的平面， l， m是两条不同的直 线 ，且 l⊂ α， m⊂ β( )A.若 l⊥ β， 则 α⊥ β B.若 α⊥ β， 则 l⊥ mC.若 l∥ β， 则 α∥ β D.若 α∥ β， 则 l∥ m解析 由面面垂直的判定定理 ， 可知 A选项 正确； B选项 中 ， l与 m可能平行； C选项 中 ， α与 β可能相交； D选项 中 ， l与 m可能异面 .答案 A答案 B5.(人教 A必修 2P67练习 2改 编 )在三棱 锥 P－ ABC中，点P在平面 ABC中的射影 为 点 O，(1)若 PA＝ PB＝ PC， 则 点 O是 △ ABC的 ________心 .(2)若 PA⊥ PB， PB⊥ PC， PC⊥ PA， 则 点 O是 △ ABC的 ________心 .解析 (1)如 图 1， 连 接 OA， OB， OC， OP，在 Rt△ POA、 Rt△ POB和 Rt△ POC中 ， PA＝ PC＝ PB，所以 OA＝ OB＝ OC， 即 O为 △ ABC的外心 .图 1 图 2(2)如 图 2， ∵ PC⊥ PA， PB⊥ PC， PA∩ PB＝ P， ∴ PC⊥平面 PAB， AB⊂ 平面 PAB， ∴ PC⊥ AB， 又 AB⊥ PO，PO∩ PC＝ P， ∴ AB⊥ 平面 PGC， 又 CG⊂ 平面 PGC，∴ AB⊥ CG， 即 CG为 △ ABC边 AB的高 .同理可 证 BD， AH为 △ ABC底 边 上的高 ， 即 O为 △ ABC的垂心 .答案 (1)外 (2)垂考点一 线 面垂直的判定与性 质【例 1】 （ 2016·舟山高三 测试 ） 如 图 ，在四棱 锥 P－ ABCD中， PA⊥ 底面 ABCD，AB⊥ AD， AC⊥ CD， ∠ ABC＝ 60°， PA＝ AB＝ BC， E是 PC的中点 .证 明： (1)CD⊥ AE；(2)PD⊥ 平面 ABE.证 明 (1)在四棱 锥 P－ ABCD中， ∵ PA⊥ 底面 ABCD，CD⊂ 平面 ABCD， ∴ PA⊥ CD，又 ∵ AC⊥ CD，且 PA∩ AC＝ A，∴ CD⊥ 平面 PAC.而 AE⊂ 平面 PAC，∴ CD⊥ AE.(2)由 PA＝ AB＝ BC， ∠ ABC＝ 60°，可得 AC＝ PA.∵ E是 PC的中点，∴ AE⊥ PC.由 (1)知 AE⊥ CD，且 PC∩ CD＝ C，∴ AE⊥ 平面 PCD.而 PD⊂ 平面 PCD，∴ AE⊥ PD.∵ PA⊥ 底面 ABCD， AB⊂ 平面 ABCD，∴ PA⊥ AB.又 ∵ AB⊥ AD，且 PA∩ AD＝ A，∴ AB⊥ 平面 PAD，而 PD⊂ 平面 PAD，∴ AB⊥ PD.又 ∵ AB∩ AE＝ A， ∴ PD⊥ 平面 ABE.规 律方法 (1)证 明直 线 和平面垂直的常用方法： ① 判定定理； ② 垂直于平面的 传递 性 (a∥ b， a⊥ α⇒ b⊥ α)； ③ 面面平行的性 质 (a⊥ α， α∥ β⇒ a⊥ β)； ④ 面面垂直的性 质 .(2)证 明 线 面垂直的核心是 证线线 垂直 ， 而 证 明 线线 垂直则 需借助 线 面垂直的性 质 .因此 ， 判定定理与性 质 定理的合理 转 化是 证 明 线 面垂直的基本思想 .(3)线 面垂直的性 质 ， 常用来 证 明 线线 垂直 .考点二 面面垂直的判定与性 质【例 2】 （ 2016·温州 联 考 ） 如 图 ，在四棱 锥 P－ ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ AD， CD＝ 2AB，平面 PAD⊥ 底面 ABCD， PA⊥ AD.E和 F分 别 是 CD和PC的中点 .求 证 ：(1)PA⊥ 底面 ABCD；(2)BE∥ 平面 PAD；(3)平面 BEF⊥ 平面 PCD.证 明 (1)∵ 平面 PAD∩ 平面 ABCD＝ AD.又平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且 PA⊥ AD，PA⊂ 平面 PAD.∴ PA⊥ 底面 ABCD.(2)∵ AB∥ CD， CD＝ 2AB， E为 CD的中点，∴ AB∥ DE，且 AB＝ DE.∴ 四 边 形 ABED为 平行四 边 形 .∴ BE∥ AD.又 ∵ BE⊄平面 PAD， AD⊂ 平面 PAD， ∴ BE∥ 平面PAD.(3)∵ AB⊥ AD，且四 边 形 ABED为 平行四 边 形 .∴ BE⊥ CD， AD⊥ CD.由 (1)知 PA⊥ 底面 ABCD， CD⊂ 平面 ABCD，则 PA⊥ CD，又 PA∩ AD＝ A， ∴ CD⊥ 平面 PAD，又 PD⊂ 平面 PAD，从而 CD⊥ PD，又 E、 F分 别为 CD、 CP的中点，∴ EF∥ PD，故 CD⊥ EF.由 EF， BE在平面 BEF内，且 EF∩ BE＝ E，∴ CD⊥ 平面 BEF.又 ∵ CD⊂ 平面 PCD.∴ 平面 BEF⊥ 平面 PCD.规 律方法 (1)证 明平面和平面垂直的方法： ① 面面垂直的定 义 ； ② 面面垂直的判定定理 .(2)已知两平面垂直 时 ， 一般要用性 质 定理 进 行 转 化， 在一个平面内作交 线 的垂 线 ， 转 化 为线 面垂直，然后 进 一步 转 化 为线线 垂直 .考点三 直 线 、平面垂直的 综 合 应 用(1)设 M是 PC上的一点，求 证 ：平面 MBD⊥ 平面 PAD；(2)求四棱 锥 P－ ABCD的体 积 .规 律方法 平行、垂直关系 综 合 题 的 类 型及解法(1)三种垂直的 综 合 问题 ， 一般通 过 作 辅 助 线进 行 线线 、线 面、面面垂直 间 的 转 化 .(2)垂直与平行 结 合 问题 ， 求解 时应 注意平行、垂直的性 质及判定的 综 合 应 用 .(3)垂直与体 积结 合 问题 ， 在求体 积时 ， 可根据 线 面垂直得到表示高的 线 段 ， 进 而求得体 积 .第 5讲 空 间 向量及其运算最新考 纲 1.了解空 间 向量的概念 ， 了解空 间 向量的基本定理及其意 义 ， 掌握空 间 向量的正交分解及其坐 标 表示；2.掌握空 间 向量的 线 性运算及其坐 标 表示； 3.掌握空 间 向量的数量 积 及其坐 标 表示 ， 能用向量的数量 积 判断向量的共 线 和垂直 .知 识 梳 理1.空 间 向量的有关概念名称 定 义空 间 向量 在空 间 中，具有大小和 _______的量相等向量 方向 ________且模 ______的向量共 线 向量 表示空 间 向量的有向 线 段所在的直 线 互相 _____或 _________共面向量 平行于 _____________的向量方向相同 相等平行 重合同一平面2.空 间 向量中的有关定理(1)共 线 向量定理： 对 空 间 任意两个向量 a， b(b≠ 0)，a∥ b⇔ 存在 λ∈ R，使 a＝ _____.(2)共面向量定理：若两个向量 a， b不共 线 ， 则 向量 p与向量 a， b共面 ⇔ 存在唯一的有序 实 数 对 (x， y)，使 p＝______.(3)空 间 向量基本定理：如果三个向量 a， b， c不共面，那么 对 空 间 任一向量 p，存在一个唯一的有序 实 数 组 {x， y， z}使得 p＝ ____________，其中 {a， b， c}叫做空 间 的一个基底 .λbxa＋ ybxa＋ yb＋ zc3.两个向量的数量 积(1)非零向量 a， b的数量 积 a·b＝ |a||b|cos〈 a， b〉 .(2)空 间 向量数量 积 的运算律① 结 合律： (λa)·b＝ λ(a·b)；② 交 换 律： a·b＝ b·a；③ 分配律： a·(b＋ c)＝ a·b＋ a·c.4.空 间 向量的坐 标 表示及其 应 用设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3).a1b1＋ a2b2＋ a3b3a1＝ λb1， a2＝ λb2， a3＝ λb3a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0诊 断 自 测1.判断正 误 (在括号内打 “√” 或 “×” ) (1)空 间 中任意两非零向量 a， b共面 ( )(2)对 任意两个空 间 向量 a， b，若 a·b＝ 0， 则 a⊥ b( )(3)若 {a， b， c}是空 间 的一个基底， 则 a， b， c中至多有一个零向量 ( )(4)若 a·b＜ 0， 则 〈 a， b〉是 钝 角 ( )√×××答案 A解析 由 题 意 a·(a－ λb)＝ 0， 即 a2－ λa·b＝ 0， 又 a2＝14， a·b＝ 7， ∴ 14－ 7λ＝ 0， ∴ λ＝ 2.答案 D4.已知向量 a＝ (1， 0，－ 1)， 则 下列向量中与向量 a成 60°夹 角的是 ( )A.(－ 1， 1， 0) B.(1，－ 1， 0)C.(0，－ 1， 1) D.(－ 1， 0， 1)答案 B5.有下列命 题 ：① 若 p＝ xa＋ yb(x， y∈ R)， 则 p与 a， b共面；② 点 O， A， B， C为 空 间 四点，且向量，，不构成空 间 的一个基底，那么点 O， A， B， C一定共面；③ 已知向量 a， b， c是空 间 的一个基底， 则 向量 a＋ b， a－ b， c也是空 间 的一个基底；④ 若 P， M， A， B共面， 则 ＝ x＋ y， 则 其中正确的命 题 序号是 ________.解析 显 然 ① ， ② 正确 ， 对 于 ③ ， 若 a＋ b， a－ b， c不是空 间 的一个基底 ， 则 c＝ x(a＋ b)＋ y(a－ b)＝ a(x＋ y)＋ b(x－ y)， ∴ c与 a， b共面 ， 与向量 a， b， c是空 间 的一个基底矛盾 ， 因此 ③ 正确 .④ 中若 M， A， B共 线 ， 点 P不在此直 线上 ， 则 ＝ x＋ y不正确 .答案 ①②③考点一 空 间 向量的 线 性运算规 律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量 ， 这是用向量解决立体几何问题的基本要求 .用已知基向量表示指定向量时 ， 应结合已知和所求向量观察图形 ， 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 ，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算 .(2)首尾相接的若干向量之和 ， 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 ， 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 .提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 .考点二 共 线 定理、共面定理的 应 用【例 2】 已知 E， F， G， H分 别 是空 间 四 边 形 ABCD的 边AB， BC， CD， DA的中点，用向量方法求 证 ：(1)E， F， G， H四点共面；(2)BD∥ 平面 EFGH.考点三 空 间 向量数量 积 的 应 用【例 3】 如 图 所示，已知空 间 四 边 形 ABCD的各边 和 对 角 线 的 长 都等于 a，点 M， N分 别 是 AB， CD的中点 .(1)求 证 ： MN⊥ AB， MN⊥ CD；(2)求异面直 线 AN与 CM所成角的余弦 值 .【 训练 3】 如 图 ，在平行六面体 ABCD－ A1B1C1D1中，以 顶点 A为 端点的三条棱 长 度都 为 1，且两两 夹 角 为 60°.[思想方法 ]1.利用向量的 线 性运算和空 间 向量基本定理表示向量是向量 应 用的基 础 .2.利用共 线 向量定理、共面向量定理可以 证 明一些平行、共面 问题 ；利用数量 积 运算可以解决一些距离、 夹 角 问题 .3.利用向量解立体几何 题 的一般方法：把 线 段或角度转 化 为 向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通 过 向量的运算或 证 明去解决 问题 .其中合理 选 取基底是 优 化运算的关 键 .