（浙江专用）2017年高考数学 专题五 数列练习（打包8套）.zip

1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 32 练 数列的概念及其表示练习训练目标 (1)数列的概念与性质；(2)数列的前 n 项和 Sn与 an的关系.训练题型(1)由数列的前几项写数列的通项公式；(2)递推数列问题；(3)由 Sn求 an的问题.解题策略(1)由数列前几项写通项公式时，可将各项适当变形，观察各项与项数之间的关系；(2)数列是特殊的函数，其自变量只能取正整数，可从函数观点研究数列；(3) an＝Error!一、选择题1．已知数列 ， ， ， ，…，则 5 是数列的( )3 7 11 15 3A．第 18 项 B．第 19 项C．第 17 项 D．第 20 项2．已知数列{ an}的通项公式为 an＝ ，则数列{ an}的第 5 项为( )2n2＋ nA．5 B．15 C. D.15 1153．已知数列{ an}的前 n 项和 Sn＝2 n2－3 n＋1，那么这个数列的通项公式是( )A． an＝4 n－5 B． an＝Error!C． an＝4 n－1 D． an＝Error!4．(2015·洛阳一模)设 an＝－2 n2＋29 n＋3，则数列{ an}的最大项是( )A．107 B．108 C. D．10986585．(2015·深圳五校联考)已知数列{ an}满足 a1＝3， an＋1 ＝ ，则 a2 016等于( )5an－ 133an－ 7A．3 B．2 C．1 D．－16．(2015·合肥一模)已知 an＝ ，设 am为数列{ an}的最大项，则 m 等于( )n－ 7n－ 52A．7 B．8 C．9 D．107．(2015·宁波期末考试)已知数列{ an}的前 4 项分别为 2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{ an}的通项公式的是( )A． an＝1＋(－1) n＋1 B． an＝2sinnπ2C． an＝1－cos nπ D． an＝Error!28．(2015·安徽江南十校联考)在数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝ an＋ln(1＋ )，则 an等于( )1nA．2＋ln n B．2＋( n－1)ln nC．2＋ nln n D．1＋ n＋ln n二、填空题9．(2015·安庆教学检测)根据下面 5 个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第 n 个图中有________个点．10．(2015·张家界统考)已知数列{ an}的通项公式为 an＝( n＋2)( )n，则当 an取得最大值时，78n＝________.11．(2015·石家庄灵寿一中月考)数列{ an}满足：a1＋3 a2＋5 a3＋…＋(2 n－1)· an＝( n－1)·3 n＋1 ＋3( n∈N *)，则数列{ an}的通项公式an＝________.12．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数 x， y 都有 f(x·y)＝ f(x)＋ f(y)，若数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且满足 f(Sn＋2)－ f(an)＝ f(3)(n∈N *)，则 an＝________.3答案解析1．B [观察知数列的通项公式为 an＝ ，令 5 ＝ 得 k＝19.]4n－ 1 3 4k－ 12．D [ a5＝ ＝ .]225＋ 5 1153．B [当 n＝1 时， a1＝ S1＝0，当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n2－3 n＋1－2( n－1) 2＋3( n－1)－1＝4 n－5，∴ an＝Error! ]4．B [因为 an＝－2 n2＋29 n＋3＝－2( n－ )2＋ ， n∈N *，所以当 n＝7 时， an取得最大294 8658值 108.]5．B [由于 a1＝3， an＋1 ＝ ，5an－ 133an－ 7所以 a2＝ ＝1，5×3－ 133×3－ 7a3＝ ＝2，5×1－ 133×1－ 7a4＝ ＝3，5×2－ 133×2－ 7所以数列{ an}是周期为 3 的周期数列，所以 a2 016＝ a672×3＝ a3＝2.]6．B [设函数 f(x)＝ ＝1＋ ，x－ 7x－ 52 52－ 7x－ 52作出函数 f(x)的图象(图略)可得，当 x＝8 时，函数取得最大值，故 a8是数列{ an}的最大项，故 m＝8.]7．B [若 an＝2sin ，则 a1＝2sin ＝2， a2＝2sin nπ2 π 2π＝0， a3＝2sin ＝－2， a4＝2sin 2π＝0，不符合题意，故选 B.]3π28．A [∵ an＋1 ＝ an＋ln(1＋ )＝ an＋ln1n n＋ 1n＝ an＋ln( n＋1)－ln n，∴ a2＝ a1＋ln 2， a3＝ a2＋ln 3－ln 2，…， an＝ an－1 ＋ln n－ln( n－1)，将上面 n－1 个式子左右两边分别相加，得 an＝ a1＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋(ln 4－ln 3)＋…＋[ln n－ln( n－1)]＝ a1＋ln n＝2＋ln n．]49． n2－ n＋1解析 观察题图中 5 个图形点的个数分别为 1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第 n个图中点的个数为( n－1)× n＋1＝ n2－ n＋1.10．5 或 6解析 当 an取得最大值时，有Error!∴Error!解得Error! ∴ n＝5 或 6.11．3 n解析 a1＋3 a2＋5 a3＋…＋(2 n－3)· an－1 ＋(2 n－1)· an＝( n－1)·3 n＋1 ＋3，把 n 换成n－1，得 a1＋3 a2＋5 a3＋…＋(2 n－3)· an－1 ＝( n－2)·3 n＋3，两式相减得 an＝3 n.12．( )n－132解析 由题意知 f(Sn＋2)＝ f(an)＋ f(3)(n∈N *)，∴ Sn＋2＝3 an， Sn－1 ＋2＝3 an－1 (n≥2)，两式相减得 2an＝3 an－1 (n≥2)．又 n＝1 时， S1＋2＝3 a1＝ a1＋2，∴ a1＝1，∴数列{ an}是首项为 1，公比为 的等比数列，32∴ an＝( )n－1 .321【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 33 练 等差数列练习训练目标(1)等差数列的概念；(2)等差数列的通项公式和前 n 项和公式；(3)等差数列的性质.训练题型(1)等差数列基本量的运算；(2)等差数列性质的应用；(3)等差数列的前 n 项和及其最值.解题策略(1)等差数列中的五个基本量知三求二；(2)等差数列{ an}中，若 m＋ n＝ p＋ q，则am＋ an＝ ap＋ aq；(3)等差数列前 n 项和 Sn的最值求法：找正负转折项或根据二次函数的性质.一、选择题1．等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2， S3＝12，则 a6等于( )A．8 B．10 C．12 D．142．在等差数列{ an}中， a9＝ a12＋6，则数列{ an}的前 11 项和 S11等于( )12A．24 B．48 C．66 D．1323．(2015·兰州二模)已知数列{ an}，{ bn}都是等差数列， Sn， Tn分别是它们的前 n 项和，并且 ＝ ，则 等于( )SnTn 7n＋ 1n＋ 3 a2＋ a5＋ a17＋ a22b8＋ b10＋ b12＋ b16A. B．5 C. D.345 314 3154．(2015·泉州质检)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 a5＋ a14＝10，则 S18等于( )A．20 B．60 C．90 D．1005．设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S190， S200 并且 S11＝0，若Sn≤ Sk对 n∈N *恒成立，则正整数 k 构成的集合为( )A．{5} B．{6} C．{5,6} D．{7}8．(2015·通州模拟)已知{ an}是等差数列， Sn为其前 n 项和，若 S21＝ S4 000， O 为坐标原点，P(1， an)， Q(2 011， a2 011)，则 · 等于( )OP→ OQ→ A．2 011 B．－2 011C．0 D．1二、填空题9．设数列{ an}的通项公式为 an＝2 n－10( n∈N *)，则| a1|＋| a2|＋…＋| a15|＝________.10．(2015·东北三省三校联考)已知正项数列{ an}满足 a1＝2， a2＝1，且＋ ＝2，则 a12＝________.anan＋ 1 anan－ 111．(2015·浙江新高考单科综合调研)已知等差数列{ an}，{ bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn，若对于任意的自然数 n，都有 ＝ ，则 ＋ ＝________.SnTn 2n－ 34n－ 1 a3＋ a152(b3＋ b9) a3b2＋ b1012．(2015·湖南名校联盟 2 月联考)设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S5，则满足SkSk＋1 0， S20＝10( a10＋ a11)0， a110， S11＝0，得S10＝ 0⇒a1＋ a100⇒a5＋ a60，10(a1＋ a10)24S11＝ ＝0⇒ a1＋ a11＝2 a6＝0，11(a1＋ a11)2故可知等差数列{ an}是递减数列且 a6＝0，所以 S5＝ S6≥ Sn，其中 n∈N *，所以 k＝5 或 6.]8．A [由 S21＝ S4 000，得 a22＋ a23＋…＋ a4 000＝0，由于 a22＋ a4 000＝ a23＋ a3 999＝…＝2 a2 011，所以 a22＋ a23＋…＋ a4 000＝3 979 a2 011＝0，从而 a2 011＝0，故 · ＝2 011＋ a2 011an＝2 011.]OP→ OQ→ 9．130解析 ∵ an＝2 n－10，∴当 n≥5 时， an≥0，当 n0， a7＝ S7－ S60，则 S11＝ ＝11 a60，11(a1＋ a11)2S12＝ ＝ 0，12(a1＋ a12)2 12(a6＋ a7)2S13＝ ＝13 a70，13(a1＋ a13)2所以 S12S130，即满足 SkSk＋1 0 的正整数 k＝12.1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 34 练 等比数列练习训练目标(1)等比数列的概念；(2)等比数列的通项公式和前 n 项和公式；(3)等比数列的性质训练题型(1)等比数列基本量的运算；(2)等比数列性质的应用；(3)等比数列前 n 项和及应用.解题策略(1)等比数列的五个量 a1， n， q， an， Sn中知三求二；(2)等比数列前 n 项和公式要分 q＝1 和 q≠1 讨论；(3)等比数列中的项不能含 0，在解题中不能忽略.一、选择题1．在等比数列{ an}中， a1＝1，公比为 q，且| q|≠1.若 am＝ a1a2a3a4a5，则 m 等于( )A．9 B．10 C．11 D．122．在等比数列{ an}中，若 a2a3a6a9a10＝32，则 的值为( )a29a12A．4 B．2 C．－2 D．－43．(2015·内蒙古鄂尔多斯统考)已知 q 是等比数列{ an}的公比，则“ qa1a2…an的最大正整数 n 的值为________．11．(2015·天津蓟县期末)公差不为零的等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn，若 a4是 a3与 a7的等比中项， S8＝32，则 S10＝________.12．(2015·海南实验中学上学期期中)设 x， a1， a2， y 成等差数列， x， b1， b2， y 成等比数列，则 的取值范围是________________．(a1＋ a2)2b1b23答案解析1．C [∵ a1＝1，∴ am＝ a1a2a3a4a5＝ q·q2·q3·q4＝ q10，即 am＝ a1·q10，∴ m＝11.故选 C.]2．B [根据等比数列的性质，有 a2a10＝ a3a9＝ a ，26又已知 a2a3a6a9a10＝32，则 a ＝32，56即 a6＝2， a1q5＝2，所以 ＝ ＝ a1q5＝2，故选 B.]a29a12 (a1q8)2a1q113．D [当 q0，即 log3 ＝1，解得 ＝3，an＋ 1an an＋ 1an所以数列{ an}是公比为 3 的等比数列．因为 a5＋ a7＋ a9＝( a2＋ a4＋ a6)q3，所以 a5＋ a7＋ a9＝9×3 3＝3 5.所以 log (a5＋ a7＋ a9)＝log 3513 13＝－log 335＝－5.选 B.]6．A [根据题意知，{ an}是等比数列．a1＝ S1＝3＋ k， a2＝ S2－ S1＝6， a3＝ S3－ S2＝18.则 62＝18(3＋ k)，解得 k＝－1.故选 A.]7．A [依题意，数列 S10， S20－ S10， S30－ S20， S40－ S30成等比数列，因此有( S20－ S10)2＝ S10(S30－ S20)，4即( S20－10) 2＝10(70－ S20)，故 S20＝－20 或 S20＝30.又 S200，因此 S20＝30， S20－ S10＝20，S40＝10＋20＋40＋80＝150.]8．B [由题意可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{ an}，则 a1＝1＋4＝5， a2＝5×4＋5＝25，…， an＝5 an－1 ，故数列{ an}为等比数列，首项 a1＝5，公比 q＝5，故第 20 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 a20＝5×5 19＝5 20只蜜蜂．]9．5解析 a1a5＝ a ＝4，∴ a3＝2，23∴log 2a1＋log 2a2＋log 2a3＋log 2a4＋log 2a5＝log 2(a1·a2·a3·a4·a5)＝log 2a ＝5log 22＝5.5310．12解析 设等比数列{ an}的公比为 q(q0)．由 a5＝ ， a6＋ a7＝3，可得 (q＋ q2)＝3，12 12即 q2＋ q－6＝0，所以 q＝2(舍去负值)，所以 an＝2 n－6 ，数列{ an}的前 n 项和 Sn＝2 n－5 －2 －5 ，所以 a1a2…an＝( a1an) ＝2 ，n2 n(n－ 11)2由 a1＋ a2＋…＋ ana1a2…an，可得 2n－5 －2 －5 2 ，n(n－ 11)2可求得 n 的最大值为 12，而当 n＝13 时，2 8－2 －5 0 时， ＋ ≥2，故 ≥4；xy yx (a1＋ a2)2b1b2当 xy0 时， ＋ ≤－2，故 ≤0.xy yx (a1＋ a2)2b1b21【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 35 练 等差数列与等比数列交汇题练习训练目标 (1)等差数列、等比数列知识的综合应用；(2)学生解题能力的培养.训练题型(1)利用基本量法求数列通项；(2)利用数列的性质求解数列问题；(3)数列和函数的综合应用.解题策略(1)用列方程(组)的方法可以解决等差、等比数列基本量的问题；(2)恰当选用数列的性质可简化计算.一、选择题1．(2015·福建闽南四校期末)已知数列{ an}是公差为 2 的等差数列，且 a1， a2， a5成等比数列，则 a2的值为( )A．3 B．－3 C．2 D．－22．(2015·洛阳期末)已知等差数列{ an}的公差和首项都不等于 0，且 a2， a4， a8成等比数列，则 等于( )a1＋ a5＋ a9a2＋ a3A．2 B．3 C．5 D．63．(2015·郑州质检)已知各项不为 0 的等差数列{ an}满足 a4－2 a ＋3 a8＝0，数列{ bn}是等27比数列，且 b7＝ a7，则 b2b8b11等于( )A．1 B．2 C．4 D．84．(2015·河北邢台一中期末)已知正项等差数列{ an}满足 an＋1 ＋ an－1 ＝ a (n≥2)，等比数2n列{ bn}满足 bn＋1 bn－1 ＝2 bn(n≥2)，则 log2(a2＋ b2)等于( )A．－1 或 2 B．0 或 2C．2 D．15．(2015·达州统考)已知数列{ an}为等差数列，数列{ bn}是各项为正数的等比数列，其公比 q≠1.若 a4＝ b4， a12＝ b12，则( )A． a8＝ b8 B． a8b8C． a8b8或 a8 ＝ ＝ b8.]a4＋ a122 a4a12 b4b126．50解析 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln a1a2…a20，而 a1a20＝ a2a19＝…＝ a9a12＝ a10a11＝e 5，所以 ln a1a2…a20＝ln(e 5)10＝50.7. 或 212解析 设公差为 d，公比为 q，若去掉 a1，则 a ＝ a2a4，即( a1＋2 d)2＝( a1＋ d)(a1＋3 d)，23所以 d＝0(舍去)；若去掉 a2，则 a ＝ a1a4，即( a1＋2 d)2＝ a1(a1＋3 d)，23所以 a1＝－4 d，则 q＝ ＝ ＝ ＝ ；a3a1 a1＋ 2da1 － 2d－ 4d 12若去掉 a3，则 a ＝ a1a4，即( a1＋ d)2＝ a1(a1＋3 d)，2所以 a1＝ d，则 q＝ ＝ ＝2；a2a1 a1＋ da1若去掉 a4，则 a ＝ a1a3，24即( a1＋ d)2＝ a1(a1＋2 d)，所以 d＝0(舍去)．8.19解析 ∵ a⊥ b，∴ a·b＝2 Sn－ n(n＋1)＝0，∴ Sn＝ ，∴ an＝ n.n(n＋ 1)2∴ ＝ ＝ ，anan＋ 1·an＋ 4 n(n＋ 1)(n＋ 4) 1n＋ 4n＋ 5当 n＝2 时， n＋ 取最小值 4，4n此时 取到最大值 .anan＋ 1an＋ 4 199. ＋n24 7n4解析 由题意设等差数列公差为 d，则 a1＝2， a3＝2＋2 d， a6＝2＋5 d.又∵ a1， a3， a6成等比数列，∴ a ＝ a1a6，23即(2＋2 d)2＝2(2＋5 d)，整理得 2d2－ d＝0.∵ d≠0，∴ d＝ ，12∴ Sn＝ na1＋ d＝ ＋ .n(n－ 1)2 n24 7n410．(1)解 a1＝ S1＝ ＝1.1×2×36(2)解 当 n1 时， an＝ Sn－ Sn－1 ＝ － ＝ n(2n－1)．n(n＋ 1)(4n－ 1)6 (n－ 1)n(4n－ 5)6当 n＝1 时， n(2n－1)＝1＝ a1，∴∀ n∈N *， an＝ n(2n－1) ．(3)证明 由(2)知，当 n1 时，＝ ＝ ，n2a2n 1(2n－ 1)2 14n2－ 4n＋ 1 14n(n－ 1)∴ ＋ ＋…＋ 1＋ ＋ ＋…＋1a21 4a2 n2a2n 14×2×1 14×3×2 14n(n－ 1)＝1＋( － )＋( － )＋…＋[ － ]14 14×2 14×2 14×3 14×(n－ 1) 14n＝1＋( － )1＋ ＝ .14 14n 14 54当 n＝1 时， ＝1 .1a21 545∴∀ n∈N *， ＋ ＋…＋ .1a21 4a2 n2a2n541【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 36 练 数列的通项及求法练习训练目标 (1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用.训练题型 (1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前 n 项和求通项.解题策略 求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.一、选择题1．已知 a1， a2－ a1， a3－ a2，…， an－ an－1 ，…是首项为 1，公比为 的等比数列，则 an等13于( )A. (1－ ) B. (1－ )32 13n 32 13n－ 1C. (1－ ) D. (1－ )23 13n 23 13n－ 12．已知 Sn为数列{ an}的前 n 项和，且 log2(Sn＋1)＝ n＋1，则数列{ an}的通项公式为( )A． an＝2 n B． an＝Error!C． an＝2 n－1 D． an＝2 n＋13．在数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝－2 an＋3，则数列{ an}的通项公式为( )A． an＝(－2) n－1 ＋1 B． an＝2 n－1 ＋1C． an＝(－2) n－1 D． an＝(－2) n＋1 －14．已知数列{ an}满足 a1＝2， an＋1 ＝2 nan，则数列{ an}的通项公式 an等于( )A．2 B．2n(n＋ 1)2 n2－ n＋ 12C．2 D．2 n2－ n＋1n2－ n＋ 225．(2015·温州适应性考试)已知数列{ an}中， a1＝1， nan＋1 ＝2( a1＋ a2＋…＋ an)(n∈N *)，则数列{ an}的通项为( )A． an＝ n＋1 B． an＝ n＋2C． an＝ n D． an＝ n－1二、填空题6．数列{ an}满足 an＋1 ＝ ， a8＝2，则 a1＝________.11－ an27．(2015·衢州质检)已知数列{ an}满足 a1＋ a2＋…＋ an＝3 n＋1，则13 132 13na1＝________； an＝________.8．已知在正项数列{ an}中， a1＝2， an＋1 ＝2 an＋3×2 n，则数列{ an}的通项公式为an＝________.9．已知数列{ an}满足 a1＝－1， a2a1，| an＋1 － an|＝2 n，若数列{ a2n－1 }单调递减，数列{ a2n}单调递增，则数列{ an}的通项公式为 an＝________.三、解答题10．(2015·湖北武汉四中第三次质量检测)数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝ (n∈N *)．2n＋ 1anan＋ 2n(1)证明：数列{ }是等差数列；2nan(2)求数列{ an}的通项公式 an；(3)设 bn＝ an，求数列{ bn}的前 n 项和 Sn.1n·2n＋ 13答案解析1．A [由题意得 an＝ a1＋( a2－ a1)＋( a3－ a2)＋…＋( an－ an－1 )＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝13 132 13n－ 1＝ (1－ )．]1－ 13n1－ 13 32 13n2．B [由 log2(Sn＋1)＝ n＋1，得 Sn＝2 n＋1 －1，n＝1 时， a1＝ S1＝3； n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1 ＝2 n，所以数列{ an}的通项公式为 an＝Error!故选 B.]3．A [由已知可得 an＋1 －1＝－2( an－1)，所以数列{ an－1}是等比数列，首项为 1，公比为－2，故 an－1＝(－2) n－1 ，即 an＝(－2) n－1 ＋1.故选 A.]4．C [由题意得 ＝2 n，an＋ 1an所以 ＝2， ＝2 2， ＝2 3，…， ＝2 n－1 ，a2a1 a3a2 a4a3 anan－ 1累乘得 an＝ a1· · ·…· ＝2 .]a2a1 a3a2 anan－ 1 n2－ n＋ 225．C [∵ nan＋1 ＝2( a1＋ a2＋…＋ an)，①∴当 n≥2 时，( n－1) an＝2( a1＋ a2＋…＋ an－1 )，②①－②得 nan＋1 －( n－1) an＝2 an，即 nan＋1 ＝( n＋1) an，∴ ＝ ，an＋ 1an n＋ 1n∴ an＝ a1· ·…· ＝1· ·…· ＝ n.a2a1 anan－ 1 21 nn－ 1当 n＝1 时，结论也成立．∴ an＝ n.]6.12解析 由已知得 an＝1－ ， a8＝2，1an＋ 1所以 a7＝1－ ＝ ， a6＝1－ ＝－1， a5＝1－ ＝2，1a8 12 1a7 1a6a4＝1－ ＝ ， a3＝1－ ＝－1， a2＝1－ ＝2，1a5 12 1a4 1a3a1＝1－ ＝ .1a2 1247．12 Error!解析 由题意可得，当 n＝1 时， a1＝4，解得 a1＝12.13当 n≥2 时， a1＋ a2＋…＋ an－1 ＝3 n－2，13 132 13n－ 1所以 an＝3， n≥2，即 an＝3 n＋1 ， n≥2，13n又当 n＝1 时， an＝3 n＋1 不成立，所以 an＝Error!8．(3 n－1)×2 n－1解析 在 an＋1 ＝2 an＋3×2 n的两边同时除以 2n＋1 ，得 ＝ ＋ ，an＋ 12n＋ 1 an2n 32即 － ＝ ，an＋ 12n＋ 1 an2n 32所以数列{ }是以 ＝1 为首项、 为公差的等差数列，an2n a12 32由等差数列的通项公式得 ＝1＋( n－1)× ＝ n－ ，an2n 32 32 12所以 an＝( n－ )×2n＝(3 n－1)×2 n－1 .32 129.(－ 2)n－ 13解析 由题意得 a1＝－1， a2＝1， a3＝－3，a4＝5， a5＝－11， a6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得 an＋1 － an＝(－1) n＋1 2n，则利用累加法即得an＝ a1＋( a2－ a1)＋( a3－ a2)＋…＋( an－ an－1 )＝－1＋2－2 2＋…＋(－1) n2n－1＝ ＝ .(－ 1)[1－ (－ 2)n]1－ (－ 2) (－ 2)n－ 1310．(1)证明 由已知可得， ＝ ，an＋ 12n＋ 1 anan＋ 2n即 ＝ ＋1，2n＋ 1an＋ 1 2nan即 － ＝1，2n＋ 1an＋ 1 2nan所以数列{ }是公差为 1 的等差数列．2nan5(2)解 由(1)知 ＝ ＋( n－1)×1，2nan 2a1所以数列{ an}的通项公式 an＝ .2nn＋ 1(3)解 由(2)知 bn＝ ＝ ( － )，12n(n＋ 1) 121n 1n＋ 1所以 Sn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )]＝ .12 12 12 13 1n 1n＋ 1 n2(n＋ 1)1【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 37 练 数列的前 n 项和及求法练习训练目标 (1)求数列前 n 项和的常用方法；(2)数列通项求和的综合应用.训练题型 (1)一般数列求和；(2)数列知识的综合应用.解题策略数列求和的常用方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)并项法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法；(6)错位相减法.一、选择题1．已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn＝ n2－6 n(n∈N *)，则{| an|}的前 n 项和 Tn等于( )A．6 n－ n2 B． n2－6 n＋18C.Error! D.Error!2．若数列{ an}的通项公式是 an＝(－1) n(2n－1)，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100等于( )A．－200 B．－100 C．200 D．1003．已知等比数列{ an}中， a1＝1， q＝2，则 Tn＝ ＋ ＋…＋ 的结果可化为( )1a1a2 1a2a3 1anan＋ 1A．1－ B．1－14n 12nC. (1－ ) D. (1－ )23 14n 23 12n4．已知函数 f(x)＝ x2＋2 bx 过(1,2)点，若数列{ }的前 n 项和为 Sn，则 S2 016的值为( )1f(n)A. B.2 0162 015 2 0152 016C. D.2 0172 016 2 0162 0175．设函数 f(x)＝ ＋log 2 ，定义 Sn＝ f( )＋ f( )＋…＋ f( )，其中， n∈N *， n≥2，12 x1－ x 1n 2n n－ 1n则 Sn等于( )A. B. －log 2(n－1)n(n－ 1)2 n－ 12C. D. ＋log 2(n－1)n－ 12 n－ 12二、填空题6．若数列{ an}是 1，(1＋ )，(1＋ ＋ )，…，(1＋ ＋ ＋…＋ )，…，则数列{ an}的12 12 14 12 14 12n－ 12前 n 项和 Sn＝________.7．已知数列{ an}满足 a1＝2， an＋1 ＝ (n∈N *)，则数列{ an}的前 100 项和为5an－ 133an－ 7________．8．(2015·贵阳一模)已知等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， a4＝4， S4＝10，则数列{ }的1anan＋ 1前 2 015 项和为________．9．设{ an}是等比数列，公比 q＝ ， Sn为{ an}的前 n 项和．记 Tn＝ ， n∈N *.设217Sn－ S2nan＋ 1Tn0为数列{ Tn}的最大项，则 n0＝________.三、解答题10．数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝2 an(n∈N *)， Sn为其前 n 项和，数列{ bn}为等差数列，且满足 b1＝ a1， b4＝ S3.(1)求数列{ an}，{ bn}的通项公式；(2)设 cn＝ ，数列{ cn}的前 n 项和为 Tn，证明： ≤ Tn3 时， an0.所以 Tn＝Error!]2．D [由题意知， a1＋ a2＋ a3＋…＋ a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1) 100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100，选 D.]3．C [依题意， an＝2 n－1 ， ＝1anan＋ 1 12n－ 1·2n＝ ＝ × ，122n－ 1 12 14n－ 1所以 Tn＝ ＝ [1－( )n]，故选 C.]12[1－ (\f(1,4))n]1－ 14 23 144．D [由已知得 b＝ ，所以 f(n)＝ n2＋ n，12所以 ＝ ＝ ＝ － ，1f(n) 1n2＋ n 1n(n＋ 1) 1n 1n＋ 1所以 S2 016＝1－ ＋ － ＋…＋ －12 12 13 12 016 12 017＝1－ ＝ .故选 D.]12 017 2 0162 0175．C [因为 f( )＋ f( )＝1，1n n－ 1n所以 2Sn＝[ f( )＋ f( )]＋[ f( )＋ f( )]＋…＋[ f( )＋ f( )]＝ n－1.1n n－ 1n 2n n－ 2n n－ 1n 1n故 Sn＝ .]n－ 126．2 n－2＋12n－ 1解析 an＝1＋ ＋ ＋…＋12 14 12n－ 14＝ ＝2(1－ )，1－ (\f(1,2))n1－ 12 12n所以 Sn＝2[(1－ )＋(1－ )＋…＋(1－ )]12 122 12n＝2[ －( ＋ ＋…＋ )](1＋ 1＋ …＋ 1)12 122 12n＝2[ n－ ]12(1－ \f(1,2n))1－ 12＝2[ n－(1－ )]12n＝2 n－2＋ .12n－ 17．200解析 设 Sn为数列{ an}的前 n 项和，由递推公式可得a1＝2， a2＝3， a3＝1， a4＝2， a5＝3， a6＝1，…所以数列{ an}是周期为 3 的周期数列，∴ S100＝33( a1＋ a2＋ a3)＋ a1＝200.8.2 0152 016解析 设等差数列{ an}的公差为 d，则 a4＝ a1＋3 d＝4，S4＝4 a1＋6 d＝10，联立解得 a1＝ d＝1，所以 an＝ a1＋( n－1) d＝ n，＝ ＝ － ，1anan＋ 1 1n(n＋ 1) 1n 1n＋ 1所以数列{ }的前 2 015 项和为(1－ )＋( － )＋…＋( － )＝1－ ＝1anan＋ 1 12 12 13 12 015 12 016 12 016.2 0152 0169．4解析 由等比数列的公比 q＝ 得 Sn＝ ，2a1[1－ (\r(2))n]1－ 2an＝ a1·( )n－1 ，2∴ Tn＝17·a1[1－ (\r(2))n]1－ 2 － a1[1－ (\r(2))2n]1－ 2a1·(\r(2))n5＝17[1－ (\r(2))n]－ [1－ (\r(2))2n](1－ \r(2))·(\r(2))n＝ ＝ ≤ ＝9( ＋1)．16－ 17·(\r(2))n＋ (\r(2))2n(1－ \r(2))·(\r(2))n 16(\r(2))n＋ (\r(2))n－ 171－ 2 8－ 171－ 2 2当且仅当( )2n＝16，即 n＝4 时，等号成立，即 T4为数列{ Tn}的最大项，此时 n0＝4.210.(1)解 因为数列{ an}满足 a1＝1， an＋1 ＝2 an(n∈N *)，所以数列{ an}是等比数列，公比为 2，首项为 1，所以 an＝1×2 n－1 ＝2 n－1 .设等差数列{ bn}的公差为 d，满足 b1＝ a1， b4＝ S3，所以 b1＝1， b1＋3 d＝1＋2＋2 2，解得 d＝2，所以 bn＝1＋2( n－1)＝2 n－1，所以 an＝2 n－1 ， bn＝2 n－1.(2)证明 cn＝ ＝1bn·log2a2n＋ 2 1(2n－ 1)·log222n＋ 1＝1(2n－ 1)(2n＋ 1)＝ ( － )，12 12n－ 1 12n＋ 1所以数列{ cn}的前 n 项和为Tn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )]12 13 13 15 12n－ 1 12n＋ 1＝ (1－ )，因为数列{1－ }为单调递增数列，12 12n＋ 1 12n＋ 1所以 T1＝ ≤ Tn ，13 12所以 ≤ Tn .13 121【步步高】 （浙江专用）2017 年高考数学 专题五 数列 第 38 练 数列的综合应用练习训练目标 (1)数列知识的综合应用；(2)中档大题的规范练.训练题型(1)等差数列、等比数列的综合；(2)一般数列的通项与求和；(3)数列与其他知识的综合应用.解题策略(1)用方程(组)思想可解决等差、等比数列的综合问题；(2)一般数列的解法思想是转化为等差或等比数列；(3)数列和其他知识的综合主要是从条件中寻找数列的通项公式或递推公式.1．已知{ an}是等差数列，满足 a1＝3， a4＝12，数列{ bn}满足 b1＝4， b4＝20，且{ bn－ an}为等比数列．(1)求数列{ an}和{ bn}的通项公式；(2)求数列{ bn}的前 n 项和．2．(2015·安徽)已知数列{ an}是递增的等比数列，且 a1＋ a4＝9， a2a3＝8.(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 Sn为数列{ an}的前 n 项和， bn＝ ，求数列{ bn}的前 n 项和 Tn.an＋ 1SnSn＋ 123．(2015·衡水下学期联考)已知等差数列{ an}的各项互不相等，其前两项的和为 10，且 a3是 a1与 a7的等比中项．(1)求数列{ an}的通项公式；(2)设 bn＝ ，其前 n 项和是 Tn，求证： Tn2n＋1 － 成立的最小正整数 n 的值．15043答案解析1．解 (1)设等差数列{ an}的公差为 d，由题意得 d＝ ＝ ＝3，a4－ a13 12－ 33所以 an＝ a1＋( n－1) d＝3 n(n＝1,2，…)．设等比数列{ bn－ an}的公比为 q，由题意得， q3＝ ＝ ＝8，b4－ a4b1－ a1 20－ 124－ 3解得 q＝2.所以 bn－ an＝( b1－ a1)qn－1 ＝2 n－1 ，从而 bn＝3 n＋2 n－1 (n＝1,2，…)．(2)由(1)知， bn＝3 n＋2 n－1 (n＝1,2，…)，数列{3 n}的前 n 项和为 n(n＋1)，32数列{2 n－1 }的前 n 项和为 1× ＝2 n－1，1－ 2n1－ 2所以数列{ bn}的前 n 项和为 n(n＋1)＋2 n－1.322．解 (1)由题设知 a1·a4＝ a2·a3＝8.又 a1＋ a4＝9，可解得Error!或Error!(舍去)．由 a4＝ a1q3得公比 q＝2，故 an＝ a1qn－1 ＝2 n－1 .(2)Sn＝ ＝2 n－1，a1(1－ qn)1－ q又 bn＝ ＝ ＝ － ，an＋ 1SnSn＋ 1 Sn＋ 1－ SnSnSn＋ 1 1Sn 1Sn＋ 1所以 Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn＝ ＋ ＋…＋(1S1－ 1S2) (1S2－ 1S3) (1Sn－ 1Sn＋ 1)＝ － ＝1－ .1S1 1Sn＋ 1 12n＋ 1－ 13．(1)解 设等差数列{ an}的公差为 d(d≠0)，由已知，得Error!即Error!解得Error! ∴ an＝4＋( n－1)×2＝2 n＋2.(2)证明 bn＝ ＝ ＝ ，an2×4n 2n＋ 22×4n n＋ 14n其前 n 项和 Tn＝ ＋ ＋…＋ ，24 342 n＋ 14n4Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ，14 242 343 n4n n＋ 14n＋ 1∴ Tn－ Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ －14 24 142 143 14n n＋ 14n＋ 1＝ ＋ －1414(1－ \f(1,4n))1－ 14 n＋ 14n＋ 1＝ － ，712 3n＋ 73×4n＋ 1∴ Tn＝ － 0.当 n≥1 时， ＝2 an＋1 － an＝2 d.bn＋ 1bn∴数列{ bn}是首项为 2a1，公比为 2d的等比数列．(2)解 将函数 f(x)＝2 x求导，得 f′( x)＝2 xln 2，∴ f(x)＝2 x在( a2， b2)处的切线方程为y－ b2＝2 a2ln 2(x－ a2)，令 y＝0，得－ b2＝2 a2ln 2(x－ a2)， x＝ a2－ ＝2－ ，1ln 2 1ln 2∴ a2＝2.∴ d＝2－1＝1，∴ an＝ n， bn＝2 n.∴ anb ＝ n·4n，其前 n 项和2nSn＝1×4＋2×4 2＋3×4 3＋…＋( n－1)·4 n－1 ＋ n·4n，①4Sn＝1×4 2＋2×4 3＋3×4 4＋…＋( n－1)·4 n＋ n·4n＋1 ，②①－②，得－3 Sn＝4＋4 2＋4 3＋…＋4 n－ n·4n＋1＝ － n·4n＋1 ＝ .4n＋ 1－ 43 (1－ 3n)4n＋ 1－ 43∴ Sn＝ .(3n－ 1)4n＋ 1＋ 495．解 (1)由 Sn＝ an＋1 － ，得 Sn－1 ＝ an－ (n≥2)，12 12两式作差得 an＝ an＋1 － an，即 2an＝ an＋1 (n≥2)，∴ ＝2( n≥2)，an＋ 1an又 a1＝ S1＝ a2－ ，得 a2＝1，125∴ ＝2，a2a1∴数列{ an}是首项为 ，公比为 2 的等比数列．12则 an＝ ·2n－1 ＝2 n－2 ，12Sn＝ an＋1 － ＝2 n－1 － .12 12(2)bn＝log 2(2Sn＋1)－2＝log 22n－2＝ n－2，∴ cn·bn＋3 ·bn＋4 ＝1＋( n＋1)( n＋2)·2 bn，即 cn(n＋1)( n＋2)＝1＋( n＋1)( n＋2)·2 n－2 ，∵ cn＝ ＋2 n－2 ＝ － ＋2 n－2 ，1(n＋ 1)(n＋ 2) 1n＋ 1 1n＋ 2∴ Tn＝( － )＋( － )＋…＋( － )12 13 13 14 1n＋ 1 1n＋ 2＋(2 －1 ＋2 0＋…＋2 n－2 )＝ － ＋12 1n＋ 2 12(1－ 2n)1－ 2＝ － － ＋2 n－112 1n＋ 2 12＝2 n－1 － .1n＋ 2由 4Tn2n＋1 － ，1504得 4(2n－1 － )2n＋1 － .1n＋ 2 1504即 2 014.4n＋ 2 1504∴使 4Tn2n＋1 － 成立的最小正整数 n 的值为 2 015.1504